Jeżeli funkcja
ma granicę
w punkcie
, piszemy:
.
Najczęściej używane są dwie formalne definicje granicy funkcji, definicja Heinego i definicja Cauchy'ego. Są one równoważne.
Jeżeli
, mówimy, że w punkcie
funkcja
ma granicę niewłaściwą.
Granice jednostronne funkcji
[edytuj]
Granicę
nazywamy również granicą obustronną funkcji. Niekiedy będziemy rozpatrywać również granice jednostronne funkcji.
Przyjrzyjmy się granicy funkcji
w punkcie
. Posługując się definicją Heinego, znajdziemy ciąg
zbieżny do
. Najprostszym takim ciągiem będzie
. Zauważmy, że:
![{\displaystyle \lim _{a_{n}\to 0}f(a_{n})=\lim _{a_{n}\to 0}{\frac {1}{a_{n}}}=\lim _{n\to +\infty }n=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/615901e40bbbdb33adf91041b1a6e98181c0c741)
Posłużmy się jednak teraz ciągiem
, również zbieżnym do
:
![{\displaystyle \lim _{b_{n}\to 0}f(b_{n})=\lim _{b_{n}\to 0}{\frac {1}{b_{n}}}=\lim _{n\to +\infty }-n=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01cfcdf0ed1afbd60c452c607fbdbaa712310051)
Widzimy, że wyznaczone granice różnią się. Oznacza to, że granica obustronna funkcji
nie istnieje. W takich przypadkach będziemy wyznaczać granicę lewostronną oraz granicę prawostronną funkcji.
Granicę lewostronną funkcji
w punkcie
zapisujemy
, granicę prawostronną zaś zapisujemy
.
Przyjrzyjmy się teraz funkcji
. Znajdziemy jej granice w punkcie 2.
![{\displaystyle \lim _{x\to 2^{-}}{\frac {x+2}{x-2}}=\left[{\frac {2+2}{2-2}}\right]=\left[{\frac {4}{0^{-}}}\right]=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3a5831204ed5279a180870fab46826a9115428e)
![{\displaystyle \lim _{x\to 2^{+}}{\frac {x+2}{x-2}}=\left[{\frac {2+2}{2-2}}\right]=\left[{\frac {4}{0^{+}}}\right]=+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8564ca014a3e42f893a87a6d83f6e4b96c9663a4)
Widzimy, że funkcja posiada granicę lewostronną
oraz granicę prawostronną
, co znaczy, że nie posiada granicy obustronnej.
Zależności między granicami funkcji
[edytuj]
Dla granic funkcji zachodzą podobne zależności, co dla granic ciągu.
|
TWIERDZENIE
Jeżeli istnieją granice i , to:
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(a\cdot f(x))=a\cdot \lim _{x\to x_{0}}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f54b6a8d1396c1ab8d3621955b4f169e28a7f076)
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)\pm g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\pm \lim _{x\to x_{0}}g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6e6aea6f70abcf44f8997a13c2e5169bee627b)
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\cdot \lim _{x\to x_{0}}g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daeffbdaf214eed87f62ca16c583a3ac9f1e1d8e)
Jeżeli , zachodzi również zależność:
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\cfrac {\lim _{x\to x_{0}}f(x)}{\lim _{x\to x_{0}}g(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eabed68f10cac427c8f96f846d9e29bdeee6625)
|
Rozpatrzmy dla przykładu granicę funkcji
w 1:
.
Twierdzenie o trzech funkcjach
[edytuj]
Spróbujmy znaleźć granicę
. Kuszące mogłoby się wydawać zastosowanie zależności:
.
Jednak granica
nie istnieje, więc nie możemy zastosować tej zależności. Czy wobec tego granica
również nie istnieje?
Znane jest nam już twierdzenie o trzech ciągach. Istnieje analogiczne twierdzenie o trzech funkcjach, którym możemy się tu posłużyć.
Zastanówmy się nad zadaniem jeszcze raz. Wiemy, że największą wartością funkcji
będzie 1, a najmniejszą będzie −1; inaczej mówiąc,
. Podstawiając owe wartości za
, otrzymujemy dwie granice:
oraz
.
Ponieważ granice obu funkcji równe są 0, możemy wnioskować, że:
.