Wikipedysta:Lethern/fizyka

Moje notatki, przemyślenia, "do zrobienia" oraz różne porcje materiału

////////////

+wektor wypadkowy (na przykładzie sił)

• dodawanie (na przykladzie 3 osób ciągnących coś równolegle) (dodawanie wektorów = "początek do końca poprzedniego")
• odejmowanie (na przykładzie hamowania, adnotacja co do przyłożenia sił - do ciała, ale przy liczeniu siły wypadkowej "odejmowanie wektorów" przykładamy wg zasady "początek do końca poprzedniego" + z odejmowania "dodajemy wektor przeciwny")
• działania z różnym kierunkiem (inaczej oblicza się wartość - z trygonometrii, jeśli kąt prosty, to z Pitagorasa)

+siła w ruchu po okręgu

+środek masy

+twierdzenie Steinera

+siła wypadkowa, rozkład sił, rozkład sił na równi

zasada dynamiki ruchu obrotowego, momenty pędu itd, energia kinetyczna ruchu obrotowego, energia całkowita toczącego się cała

dynamiki bryły sztywnej

-ruch postępowy i obrotowy

-moment bezwładności i energia kinetyczna

-moment pędu, moment siły

-analogie między ruchem obrotowym i postępowym

////////

hydrostatyka

Ciśnienie

Ciśnienie jest to siła działająca na jednostkę powierzchni, p = F/S (ciśnienie = siła / powierzchnię, na która działa). Jest skalarem, jednostką jest ${\frac {N}{m^{2}}}$, inaczej paskal (Pa).

analogia do nacisku ciał

parcie płynów (gazy, ciecze)

W przypadku słupa cieczy, tzn. ograniczonego naczyniem, możemy obliczyć ciśnienie płynu na dno naczynia, tzw. ciśnienie hydrostatyczne.

Ciśnienie hydrostatyczne możemy obliczyć, wiedząc że zależy od gęstości i wysokości tego płynu (w pojemniku) wg wzoru: ciśnienie = gętość * przyspieszenie g * wysokość płynu

ciśnienie p= \ro g h

prawo Pascala Ciśnienie w płynie, który jest zamknięte w naczyniu, przekazywane jest jednakowo na każdą część płynu i ściany naczynia. Oznacza to, że jeżeli płyn w naczyniu jest ściskany od zewnątrz, ciśnienie 'obejmuje' cały płyn, jak i ścianki naczynia, bez strat.

Ciśnienie atmosferyczne - jest to ciśnienie, jakie wywiera powietrze na obiekty, które się w nim znajdują (czyli na powierzchnię Ziemi i wszystko, co się na niej znajduje).

Spróbujmy wytłumaczyć działanie ciśnienie - masy powietrza są przyciągane przez grawitację, naciskają na obiekty znajdujące się 'pod sobą'.

Oczywiście, nie uświadczyny ciśnienia atmosferycznego w oceanie - ciśnienie tam jest wywierane przez wodę; na dużych głębokościach duża ilość wody wywiera ciśnienie niebezpiecznie duże dla człowieka (stąd nurkowie potrzebują m.in. specjalistycznego sprzętu, aby nie doznać obrażeń).

Skąd się bierze ciśnienie w gazie:

-cząsteczka gazu uderzając o ściankę naczynia doznaje zmiany pędu (tzn. odbija się). Skoro F=p/t, cząstka i ściana działają na siebie z pewną siłą. Biorąc pod uwagę wszystkie cząsteczki gazu, mamy całkowitą siłę, jaką gaz działa na ścianki, co wiąże się z ciśnieniem gazu.

Naczynia połączone

W naczyniu, w którym dwa słupy cieczy będą połączone, zachodzi zasada: ciśnienie w obu ramionach na pewnym poziomie jest identyczne. Jest to warunek równowagi cieczy.

Zadania

Zad. (naczynia połączone)
Do naczynia nalano wody, następnie do jednego ramienia dolano rtęci, po czym do drugiego dolano gliceryny, jak na rysunku. Oznaczmy odpowiednio: gęstość wody $\rho _{w}\,$, rtęci $\rho _{r}\,$, gliceryny $\rho _{g}\,$, wysokość słupa rtęci h_r, słupa gliceryny h_g. Wyznaczyć wzór na wysokość słupa rtęci.

Dla połączonych naczyń, w których zachodzi równowaga w poziomie cieczy, zachodzi: ciśnienie na dowolnym poziomie w obu ramionach jest takie samo. Możemy to zastosować do przyrównania ciśnienia p₁ wywieranego przez rtęć (w miejscu styku z wodą) do ciśnienia na tym samym poziomie, w drugim ramieniu, p₂, na które wpływa "nacisk" gliceryny oraz pewnej ilości wody. Zapisujemy, że ciśnienia na pewnym poziomie są sobie równe, obliczamy, jakie to ciśnienia:

$p_{1}=p_{2}\qquad p=h\cdot g\cdot \rho$

$h_{r}g\rho _{r}=h_{g}g\rho _{g}+h_{x}g\rho _{w}\,$

Nieznana nam wysokość słupa wody obliczamy jako h_r-h_g, po przekształceniach otrzymujemy wzór na wysokość słupa rtęci h_r.

podsumowanie

-ciśnienie p = F / S

-ciśnienie hydrostatyczne (płynu na dno naczynia) p=\ro g h

///////////////

gazy

• ściśliwość (gazy nie mają zbitej struktury cząsteczek, dlatego można 'zagęścić' - czyli zmniejszać objętość gazu. oczywiście, nie da się tego zrobić z cieczami, których cząstki są w 'zbitej strukturze')
• pod wpływem ciśnienia zmienia się objętość gazów
• stąd gęstość gazu zależy od ciśnienia
• różne ciśnienie i różna gęstość gazu na innych wysokościach (w najwyższych partiach atmosfery panuje niewielkie ciśnienie (why?))
• zmierzono ciśnienie, jakie panuje przy powierzchni Ziemi. przyjęto, że średnia jego wartość to ... i nazywa się to 1 atmosferą (1atm). bardziej zalecaną jednostką jest jednak bar

-prawo Archimedesa

opis - ciało położone na wodzie nie zawsze utrzyma się na jej powierzchni. Jeżeli będzie dość lekkie lub o dość dużej powierzchni, w związku z czym będzie miało małą siłę nacisku, wówczas powierzchnia wody będzie w stanie zrównoważyć tę siłę, a ciało będzie pływać

"pływanie" ciała jesteśmy w stanie szerzej opisać. woda próbuje równoważyć nacisk ciała pewną siłą, której wartość określa prawo Archimedesa:

"ciało zanurzone w płynie jest unoszone w górę siłą równą ciężarowi wypartego płynu"

-gdy ciało jest zanurzone, wypiera pewną ilość wody. Jeśli zmierzymy ciężar, czyli wartość siły ciężkości wody, którą wyparło ciało, będzie to wartość siły, jaką działa woda na ciało. W zależności, czy będzie ona dostatecznie duża, by zrównoważyć 'nacisk' ciała, ciało będzie pływać lub tonąć.

-gdy woda równoważyła 'nacisk' ciała, ciało pływa swobodnie na powierzchni wody, w tym celu ciało musi wypierać przynajmniej tyle wody, ile samo waży

/////

teoria gazów

• o cząsteczkach w gazie, o średniej drodze swobodnej

-droga swobodna - droga, jaką przebywa cząsteczka, podczas gdy nie zderza się z inną cząsteczką, czyli pomiędzy kolejnymi zderzeniami. Ponieważ działają wtedy tylko znikomo małe siły międzycząsteczkowe, ruch ten można uznać za jednostajny prostoliniowy.

• model gazu doskonałego (dlaczego i co to jest)

• -teoria kinetyczna gazów

pV=NkT

p - cisnienie gazu, V - objętość, N - liczba cząsteczek, T - temperatura, k - pewna stała ustalona dla gazów doskonałych (stała Boltzmanna)

Analizując przemiany pewnego gazu, a wiedząc, że wartości N i k są stałe, jesteśmy w stanie łatwo obliczać zmiany ciśnienia, objętości i temperatury dzięki zależności: pV~T.

• rozszerzone - o ciśnieniu (dowód z prędkością cząstki przy odbiciu)

analizując ruch cząstek i ich zmianę pędu przy zderzaniu ze ściankami naczynia, można otrzymać poniższy wzór (ciśnienie i objętość zależą od liczby cząsteczek i ich średniej energii kinetycznej)

• pV = 2/3 N (śr Ek)

Widać więc, że jeśli zwiększyła by się prędkość cząsteczek (energia kinetyczna) lub ich ilość, wiąże się to ze wzrostem ciśnienia i/lub objętości.

Porównując oba wzory z teorii gazów, tj. pV=NkT i pV=2/3N Ek, widać że

śr Ek = 3/2 k T

wynika z tego ważny wniosek. Ponieważ wartość k jest stała (pomijamy ją), więc Ek oraz T zmieniają się proporcjonalnie. Widać więc, że w gazie doskonałym temperaturę można utożsamiać ze średnią energią kinetyczną cząsteczek, a więc z ich średnią prędkością (Ek = mv^2/2). Oznacza to, że jeśli wzrosła temperatura gazu, jest to spowodowane wzrostem średniej prędkości cząsteczek.

-o Kelwinie (w skali bezwzględnej nie może być temperatur ujemnych, dlatego wprowadzono jednostkę Kelwina. Odpowiada ona stopniom Celsjusza, jednak jest względem niej tak przesunięta, aby nie było wartości ujemnych. I tak, 0 C jest równe 273,15K. Temperatura wrzenia wody wynosi więc 100 C lub 373,15 K. Najniższą możliwą temperaturą jest 0K (czyli -273,15 C), tzw. zero bezwzględne.

-o termometrze -termometr gazowy ze stałą objętością -> p~T

Ciekawostka.

• Zero bezwzględne nie zostało jeszcze osiągnięte (aczkolwiek osiągano temperaturę różniącą się od 0K o minimalne wartości). Według równania (śr Ek = 3/2 k T) w temperaturze 0K powinien ustać wszelki ruch cząsteczek. Jednak, według mechaniki kwantowej, cząsteczki nie są wówczas w bezruchu, ale wykonują tzw. drgania zerowe. Niezgodność ta powoduje, że prawo gazów doskonałych jest spełnione, ale dla temperatur odpowiednio odległych od zera bezwzględnego.

Ciekawostka 2.

• W temperaturze zbliżonej do zera bezwzględnego (np. kilka Kelwinów), materiały wykazują pewne szczególne właściwości. Wiele ciał stałych wykazuje w takiej temperaturze nadprzewodnictwo elektryczne, dzięki któremu zanika opór elektryczny dla prądu stałego. Skutkuje to np. tym, że raz wprowadzony do przewodnika może w nim krążyć niemal wiecznie, co może okazać się niezwykłą rzeczą w technice.

Ciekawostka 3.

• W przypadku bardzo dużych temperatur, o wartości np. zbliżonej do temperatury słońca, materia występuje w nowym stanie skupienia - pod postacią plazmy. Cząsteczki posiadają wóczas ładunek elektryczny oraz m.in. silnie oddziałują z polem elektrycznym i magnetycznym.

rozszerzalność cieplna

Załóżmy, że chcemy utrzymać stałe ciśnienie gazu i zwiększać temperaturę. Zwiększanie temperatury oznacza zwiększanie średniej prędkości cząsteczek. Wiąże się to z większą siłą wywieraną na ścianki naczynia (zwiększyła się prędkość i pęd przy uderzaniu). Jeśli chcemy zachować stałe ciśnienie, a wiemy, że p = F / S, musimy proporcjonalnie do rosnącej siły zwiększać powierzchnię ścianek - czyli zwiększać objętość, tak więc:

• -przy podwyższaniu temperatury gazu przy stałym ciśnieniu zwiększa się jego objętość

do opisu tego zjawiska posłużymy się odpowiednią wielkością, zwaną współczynnikiem rozszerzalności objętościowej:

• $\alpha ={\frac {{}_{\Delta }V}{V_{0}\;{}_{\Delta }t}}$

Jest to więc względna zmiana objętości na każdy stopień zmiany temperatury. Można go wyznaczyć doświadczalnie, jest on inny dla różnych substancji.

współczynnik rozszerzalności liniowej

$l=l_{0}(1+\lambda t)\;$

Ciekawostka. Anomalia wody

Jak wiadomo, substancja przy podwyższaniu temperatury zwiększa swoją objętość. Inaczej jest jednak z wodą w temperaturze 0-4 stopni, kiedy woda się kurczy. Odpowiemy na pytanie, dlaczego mimo ogrzewania (w zakresie od 0 do 4 stopni) woda zmniejsza swoją objętość.

Struktura lodu jest inna niż wody, atomy są ułożone luźniej, przez co lód ma mniejszą gęstość od wody. Gdy lód zacznie się topić i przemieniać w wodę, musi zagęścić swoją strukturę do takiej, jaką posiada woda (zmniejszy więc swoją objętość). Będzie to miało miejsce w zakresie bliskim punktowi topnienia lodu, właśnie w temperaturach od 0 do 4 stopni. Woda, jak każda substancja, poddaje się rozszerzalności cieplnej. Jednak dopiero stopiony lód zachowuje jeszcze luźną strukturę, zaczyna więc się zagęszczać. Początkowo zmniejszanie objętości dominuje nad rozszerzalnością, dlatego woda 'kurczy się'. Anomalia ta mija przy ogrzewaniu powyżej 4 stopni, kiedy zagęszczanie struktury przebiega słabiej i zwiększanie temperatury ponownie skutkuje zwiększaniem objętości.

///////////////////////

ekwipartycja energii

zerowa zasada termodynamiki

• -układ termodynamiczny - ciało lub zespół ciał wyodrębnionych z otoczenia (np. gaz zamknięty w naczyniu)
• -równowaga termiczna - stan układów, w którym nie zachodzi wymiana ciepła
• wnioski: jeśli ciało A jest w równowadze termicznej z ciałem B, a ciało B z ciałem C, to ciało A z ciałem C.
• -zasada ta określa prawidłowość w wymianie ciepła i równowadze cieplnej między ciałami. Jest dla nas oczywista, tzn. nie wnosi nic nowego w nasze rozumowanie, więc nie będziemy jej poświęcać więcej uwagi.

-Przeanalizujmy dwa ciała znajdują się w równowadze termicznej. Skoro ich temperatury są takie same, więc i średnie energie kinetyczne powinny być sobie równe:

${\frac {m_{1}{\overline {v_{1}}}^{\;2}}{2}}={\frac {m_{2}{\overline {v_{2}}}^{\;2}}{2}}$

zasada ekwipartycji energii

• -co to stopnie swobody (najmniejsza liczba niezależnych współrzędnych niezbędnych do określenia położenia cząstki w przestrzeni)

Zasada ekwipartycji energii brzmi

Na każdy stopień swobody przypada średnio ta sama ilość energii, równa ${\tfrac {kT}{2}}$

energia wewnętrzna

• -energia kinetyczna i potencjalna ciała zależą od jego ruchu i położenia względem innych ciał. Natomiast energię, która zależy od procesów zachodzących w ciele, nazywać będzięmy energią wewnętrzną.
• -suma wszystkich rodzajów energi to energia wewnętrzna układu, którą oznaczymy U

równanie clapeyrona

Mol - jest to jednostka, która określa liczność substancji. Jeden mol substancji to inaczej 6,02252 *10²⁶ cząsteczek tej substancji. Liczbę tę możemy w skrócie określać N_A, zwana jest liczbą Avogadra. Tak więc, jeśli weźmiemy substancję, na którą składa się N_A=6,02252 *10²⁶ cząsteczek, to mówimy w skrócie, że mamy 1 mol substancji. Oczywiście, cząsteczki np. węgla są cięższe od cząsteczek np. wodoru, dlatego istotne jest, że 1mol węgla będzie cięższy od 1molu wodoru.

• -liczba Avogadra N_A=6,02252 *10²⁶ [1/mol] Liczba taka została obrana ze względów praktycznych (łatwość wyznaczenia), jest równa liczbie atomów zawartych w masie 0,012kg izotopu węgla ¹²C
• -jeśli znamy ilość cząsteczek substancji, równą N, liczbę moli możemy więc policzyć jako np. $n={\tfrac {N}{N_{A}}}$

Wyróżnimy także wielkość, R, jest to iloczyn stałej Boltzmanna i liczby Avogadra.

• -uniwersalna stała gazowa R = kN_A

Równanie Clapeyrona uzyskamy ze wzoru pV=NkT, podstawiając uniwersalną stałą gazową, tzn. zamieniając:  $NkT={\tfrac {N}{N_{A}}}RT=nRT$,  gdzie  $n={\tfrac {N}{N_{A}}}$  (ilość moli).

• -iloczyn ciśnienia i objętości jest równy iloczynie moli, temperatury i uniwersalnej stałej gazowej
• -Równanie Clapeyrona $pV=nRT\;$

wymiana ciepła

• -ciepło - energia wewnętrzna przekazywana ciału przy zmianie jego temperatury, bez udziału pracy
• -przy zetknięciu ciał, ich cząsteczki zderzają się wzajemnie. Cząsteczki ciała cieplejszego poruszają się szybciej, przy zderzeniu przekazują część energii kinetycznej cząsteczkom ciała zimniejszego. Energia kinetyczna cząsteczek obu ciał zaczyna się wyrównywać, zmienia się temperatura ciał. Występuje przepływ energii wewnętrznej od ciała cieplejszego do chłodniejszego bez udziału pracy. Proces ten nazywa się przewodnictwem cieplnym.

Inną formą przepływu ciepła jest promieniowanie. Każde ciało emituje pewne ciepło w postaci promieniowania. Jak wiemy, nawet w ciemnościach można dostrzec człowieka, który emituje promieniowanie podczerwone. Przy wyższych temperaturach rodzaj promieniowania się zmienia, powyżej temperatury 800 stopni promieniowane jest światło widzialne (np. rozgrzane żelazo). Istotne jest również, że promieniowanie nie potrzebuje ośrodka, jak np. powietrza, rozchodzi się nawet w próżni (w ten sposób dociera do nas m.in. światło i ciepło wysyłane przez Słońce).

Wymiana ciepła może również zachodzić w wyniku konwekcji, występującej przy ruchu strumieni płynu. Nagrzewające się warstwy płynu, na skutek rozszerzalności cieplnej, zmniejszają swoją gęstość. Powoduje to, że unoszą się w górę (względem tej części płynu, która ma większą gęstość), a chłodniejszey płyn zajmuje ich miejsce.

Termodynamika

ciepło w fizyce oznacza przekaz energii między dwoma ciałami o różnych temperaturach, co zachodzi do momentu wyrównania temperatur. Ciepło oznaczamy przez Q; jest to zmiana energii, więc ma tę samą jednostkę J - dżul. Inną jednostką, stosowaną w przeszłości, jest cal - kaloria, 1 cal = 4,185J

Okręślmy jeszcze jedną wielkość - ciepło właściwe, c. Pomoże nam opisać, ile ciepła potrzebuje substancja, aby zmienić jej temperaturę. Jest to stosunek pobranego ciepła przez substancję do iloczynu jej masy i zmiany temperatury.

$c={\frac {Q}{m{}_{\Delta }T}}\qquad \left[{\tfrac {J}{kg\cdot K}}\right]$

Możemy też posłużyć się odpowiednikiem, jeśli zamiast masy używamy ilości moli - molowym ciepłem właściwym.

ciepło molowe $C={\frac {q}{n{}_{\Delta }T}}$, jednostka zmienia się na ${\tfrac {J}{mol\cdot K}}$

Ciepło właściwe różni się jednak, w zależności, w jakim procesie układ pobiera ciepło. W zależności od przebiegu pobierania ciepła, używać będziemy:

• w procesie, który zachodzi przy stałej objętości V, używamy c_V
• w procesie, który zachodzi przy stałym ciśnieniu p, używamy c_p

Do obliczania pobranego ciepła, przekształcimy wzór na ciepło właściwe, otrzymując

$Q=mc{}_{\Delta }T\;$

Przykład
Ile ciepła trzeba dostarczyć 2 litrom wody, aby zwiększyć jej temperaturę o 50 stopni? Ciepło właściwe wody wynosi 4185 ${\tfrac {J}{kg\cdot K}}$.

Korzystamy ze wzoru $Q=mc{}_{\Delta }T\;$, podstawiając dane. 2 litry -> 2kg wody, zmiana temperatury  ${}_{\Delta }T=50$  (stopni lub K, obie tak samo opisują zmianę temperatury), c = 4185.

Praca

Praca jest kolejnym sposobem przekazywania energii. Precyzując, jest to każdy proces przekazywania energii, z wyjątkiem procesu polegającego na różnicy temperatur (wymiany ciepła).

Rozważmy gaz w cylindrze, który jest ściskany przez tłok. Pracę określiśmy się jako iloczyn działającej siły i przebytej drogi, W=Fs. Tłok zadziała pewną siłą na gaz, przesuwając się o odległość, oznaczmy ją l. Możemy wzór przekształcić do bardziej użytecznej formy, zawierającej ciśnienie oraz objętość:

z definicji ciśnienia wyznaczamy, że $F=pS\;$

zmianę objętości możemy utożsamić z walcem, który 'zakreślił' tłok. Uracona przez gaz objętość daje się policzyć przez zwykły matematyczny wzó, pole powierzchni podstawy razy wysokość. W naszym przypadku, zmiana objętości  ${}_{\Delta }V=Sl$.

Po użyciu powyższych spostrzeżeń, przekształcamy  $W=Fl=pSl=\;p{}_{\Delta }V$

wykonana praca $W=p{}_{\Delta }V\;$

Pierwsza zasada termodynamiki

Do zmiany energii wewnętrznej układu dochodzi, gdy wykonywana jest praca (przez gaz lub wobec gazu) lub gdy dochodzi do zmiany energii wewnętrznej (podczas procesów przekazywania ciepła). Ogólnie więc, zmiana energii wewnętrznej jest równa wykonanej pracy oraz dostarczonemu ciepłu.

${}_{\Delta }U=W+Q\;$

W przypadku, gdy praca wykonywana jest przez gaz, energia jest "poświęcana" na pracę, więc nie energia nie będzie się zwiększać, a zmniejszać i ilość wykonanej pracy (odejmujemy pracę, zapisując  ${}_{\Delta }U=-W+Q\;$ ).

Pierwsza zasada termodynamiki

Ciepło dostarczone do układu zostaje zużyte na zwiększenie jego energii wewnętrznej oraz na pracę wykonaną przez układ przeciwko siłom zewnętrznym.

Wzór opisuje nam zmianę energii wewnętrznej jako  ${}_{\Delta }U=-W+Q\;$  (pracę wykonuje układ - energia jest zmniejszana o ilość pracy). Przekształćmy wzór, aby opisywał ciepło: $Q={}_{\Delta }U+W\;$ Powyższą zasadę symbolizuje więc zależność: $Q={}_{\Delta }U+W\;$.

zadania

• wyporność wody, pływająca bryła lodu
• przepływ cieczy przez rurkę
• przepływ cieczy, ciśnienie statyczne
• ruch przedmiotu, lepkość

//////////////////////////

Dynamika bryły sztywnej

-różnica między punktem materialnym i bryłą sztywna

-bryła sztywna - ciało, którego cząsteczki zachowują względem siebie stałe odległości (ciało takie istnieje w teorii, nie w rzeczywistości, ponieważ zaniedbujemy ruchy atomów i cząstek)

-co to moment siły (siła x ramię, gdzie ramię to odległość od osi obrotu, np. odległość od zawiasu)

-ruch postępowy - jeśli obierzemy dowolny odcinek w bryle, to po przemieszczeniu się odcinek będzie równoległy do poprzedniego. Będzie to więc ruch ciała, które nie obraca się ani nie skręca

-pęd oraz energię kinetyczną można obliczyć analogicznie jak dla punktu materialnego, jako sumę pędów lub sumę energii wszystkich punktów, ponieważ wszystkie poruszają się z jednakową prędkością i zakreślają taki sam tor

-ruch obrotowy - gdy bryła obraca się względem pewnej osi (dokładniej: gdy po przemieszczeniu się wszystkie punkty bryły zakreśliły łuki, to łóki te leżą w jednej płaszczyźnie (lub równoległych płaszczyznach) i mają wspólny środek (lub ich środki leżą na wspólnej prostej)

-różne punkty bryły w ruchu obrotowym mają różne prędkości, więc nie można ruchu tego utożsamiać z ruchem punktu materialnego. Jednak, podczas ruchu, wszystkie punkty bryły mają jednakową prędkość kątową, dzięki której można wyznaczyć: moment pędu, moment bezwładności i moment siły.

Energia kinetyczna

Moment bezwładności bryły sztywnej - jest to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym. Polega na tym, że im większy jest moment bezwładności, tym trudniej zmienić ruch obrotowy bryły (np. przyspieszyć). Moment ten jest sumą wartości $m_{i}+r_{i}^{\;2}$  wszystkich punktów tej bryły, które określane są masą m_i i odległością r_i od osi obrotu.

moment bezwładności  $I=m_{1}r_{1}^{\;2}+m_{2}r_{2}^{\;2}+\dots +m_{n}r_{n}^{\;2}\qquad [{\mbox{kg}}\cdot m^{2}]$

Energię kinetyczną bryły sztywnej w ruchu obrotowym możemy policzyć z wykorzystaniem powyżej wyprowadzonego momentu bezwładności oraz prędkości kątowej:

energia kinetyczna $E_{k}={\frac {I\omega ^{2}}{2}}$

We wzorze wykorzystano  $v=\omega r\,$   (zależność prędkości liniowej od kątowej) oraz pojęcie momentu bezwładności I. Wzór na energię kinetyczną z użyciem prędkości liniowej nie jest prawidłowy w przypadku ruchu obrotowego, poniżej przekształcenie dla pokazania zgodności:

w przybliżeniu: $E_{k}={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {mr^{2}\omega ^{2}}{2}}={\frac {I\omega ^{2}}{2}}$

Twierdzenie Steinera

Ponieważ we wzorze na moment bezwładności występuje odległość od osi obrotu (r), wartość momentu bezwładności będzie zależała od położenia tej osi. Dla osi obrotu przechodzącej przez środek masy bryły oznaczymy moment bezwładności przez I₀.

Twierdzenie Steinera mówi, jaka jest zależność między momentem bezwładności I dla dowolnej osi obrotu, która jest równoległa do osi przechodzącej przez środek masy bryły, dla której jest określony moment bezwładności I₀.

Jeżeli moment bezwładności wzlędem osi przechodzącej przez środek masy wynosi I₀, to moment bezwładności I określony względem innej, ale równoległej osi, wynosi $I=I_{0}+mr_{0}^{\;2}\;$, gdzie r₀  jest odległością między osiami.

Moment siły

Moment siły - jest to iloczyn siły przez promień obrotu. Wielkość ta lepiej charakteryzuje siłę przykładaną w punkcie oddalonym w pewnej odległości od punktu O - osi obrotu (w przypadku szalki, punktu oparcia szalki). Im większy jest promień, tym mniejszej siły trzeba użyć do uzyskania tego samego efektu. Obrazowo, jeśli mielibyśmy długą belkę podpartą (w pewnym punkcie O) - otrzymując huśtawkę, z jednej strony naciskał by dorosły mężczyzna w odległości 0,5m od punktu O, to jego wysiłkom mógłby się równać po drugiej stronie huśtawki chłopiec, który, choć z mniejszą siłą naciska, to siłę przykładałby w odległości 3m od punktu O.

M = Fd

W przypadku obracanej bryły będziemy mówić o wartości momentu siły jako o iloczynie siły i odległości d, zwanej ramieniem siły. Jest to najkrótsza odległość między osią obrotu a prostą zawierającą kierunek siły.