Przejdź do zawartości

Wikipedysta:Persino/Ciecz z tarciem wewnętrznym (ciecz leppka)

25% Status
Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Spis treści

Tensor napięć a równania ruchu cieczy Naviera-Stokesa[edytuj]

Wexmy sobie teraz objętość zamkniętą, w której znajdować sie będzie ciecz ogólnie ścisliwa, wtedy siła powierzchniowa działająca na elementarny element tejże objętości zapisanej w drugiej zasadzie dynamiki Netwona zapisujemy formalnie:

(1)

Ale ponieważ zachodzi dla współrzednej siły powierzchniowej, który jest definicją tensorów naprężeń zapisujemy wiedząc, że wektor jest wektorem jednostkowym na zewnatrz powierzchni w danym punkcie powierzchni zamkniętej, jest w postaci:

(2)

Wtedy równania ruchu przestawiamy podstawiając (2) do końcowego wzoru (3), i zamieniając prawą stronę równości na całkę powierchniową z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, wtedy mamy:

(3)

Tensdor naprężeń jest zdefiniowany w punkcie (2), pomocy skalaru ciśnienia i tesnora tarcia Rij i delty Kroneckera, w postaci:

(4)

w którym definicja tensora tarcia jest tak skonstruowana, by poszczególne jego elementy prędkości powinny zależeć od pochodnych prędkości względem połozeń, bo równe elementy cieczy poruszające się z różnymi prędkościami, oddiziałuwują między sobą przy pomocy tracia. Jeśli gradienty prędkości nie są zbyt wielkie, to tesnor tracia powinien zależweć od pierwszych pochodnych predkości. Gdy ciecz wykonuje ruch obrotowy z prędkościami zależnymi od połozenia , to poszczególne elementy cieczy niedodziaływują ze sobą, wtedy powinno być równe zero.

(5)

Tensor tracia jest tak zdefiniowany by sumowaniu i=k wyraz występujący w nawiasie by równy zero. Jak można udowodnić, że współczynniki lepkości η i ξ są zawsze większe od zera. Jeśli tesnor tarcia (5) postawimy do tensora napięć, a to do równania ruchu cieczy, i w ten sposób otrzymamy równość:

(6)

Rółnanie ruchu (6) możemy perzepisać w postaci wektorowej, które nazwiemy równaniem Navbiera-Stokesa, i którego wygląd jest w postaci skalarnej w postaci trzech równań:

(7)

Jeśli weźniemy prztypadek cieczy nieścisliwej, to wtedy dywergecja z prędkości jest równa zero , i wtedy równanie (7) przechodzi w dla naszego przypadku:

(8)

Tensor napięć dla cieczy nieściśliwej, patrząć na wzór (5), przyjmuje bardziej prostą postać zależna od cisnienia "p" i tensora prędkości występującej jako drugi wyraz pod nawiasem ponoższego wzoru po jego prawej stronie:

(9)

Zdefiniujemy teraz współczynnik leppkości kinematycznej, która jest stosunkiem zwykłej leppkości i gęstości cieczy, którego definicja jest:

(10)

Jeśli wykorzystamy obliczenia (Niedopasowany uchwyt: 1.13), wtedy równania dla acieczy nieściśliwej i wykorzystując tożsamość termodynamiczną (Niedopasowany uchwyt: 1.11) przyjmuje wtedy postać:

(11)

Na równanie (9) działamy równanie operatorem rotacji, i wtedy danej wszystko możemy powiedzieć przy definicji leppkości kinematycznej ν (10):

(12)

Przy definicji współrzędnych prędkości vx (Niedopasowany uchwyt: 1.54), i vy (Niedopasowany uchwyt: 1.55) możemy napisać tożsamości (Niedopasowany uchwyt: 1.57) i (Niedopasowany uchwyt: 1.59), zatem na podstawie tychże tożsamości możemy napisać tożsamość fizyczną (12) w postaci:

(13)

Równanie (12) możemy zapisać w troszeczkę innej postaci wykorzuystując, że mamy nieścisliwą ciecz, tzn. dywergencja prędkości pozostaje równa zero, wykorzustując obliczenia przy definicji symboli Leviego-Civity (Niedopasowany uchwyt: 1.33):


(14)

Tożąsamość udowodniona w punkcie (14) możemy wykorzystać w tożsamości (12), która jest słuszna przy bezródłowości cieczy, tzn. dywergecja prędkości jest równa zero, i w ten sposób:

(15)

Tensory naprężeń w dowolnym układzie współrzędnych[edytuj]

Tensor naprężeń (9) jest zdefiniowany w układzie kartezjańskim. Z definicji transformacji tensora z jednych współrzędnych do drugich możemy zrobić według sposobu:


(16)

Tensory naprężeń w układzie cylindrycznym[edytuj]

Przy liczeniu tensora naprężeń w układzie cylindrycznym wyrazimy współrzędne vi układu kartezjańskiego względem współrzędnych cylindrycznych przy definicji wersorów w panujących w tym układzie (Niedopasowany uchwyt: 7.12), (Niedopasowany uchwyt: 7.15), (Niedopasowany uchwyt: 7.18), wtedy możemy przstąpić do ich liczenia:

(17)

(18)
(19)


(20)

(21)

(22)

Równanie ciągłości dla układu cylindrycznego dla cieczy nieścisliwej[edytuj]

Będziemy tutaj korzystali z definicji operatora ∇ we współrzędnycyh kulistych (Niedopasowany uchwyt: 7.19) i przestawienia wektora prędkości bazie układu cylindrycznego w postaci wzoru:

(23)

By potem napisać dywregencję zapisanej względem współrzędnych cylindrycznych względem wektora prędkości (23), który jest równaniem ciągłości dla cieczy nieściśliwej:


(24)

Równanie Nawiera Stokesa we współrzędnych cylindrycznych[edytuj]

Tutaj wyznaczmy równanie Nawiera-Stokesa we współrzędnych cylindrycznych, ale najpierw wykorzystajmy z definicji operatora ∇ w tych współrzędnych (Niedopasowany uchwyt: 7.36) mając na uwadze wersory w tych samych współrzędnych (Niedopasowany uchwyt: 7.12), (Niedopasowany uchwyt: 7.15) i (Niedopasowany uchwyt: 7.18) mając na uwadze zdefiniowaną predkość w tychże współrzędnych (21):






(25)

Dalej policzmy inne wyrażenie wektorowe:


(26)

Na sam koniec możemy sformułować równania Naviera-Stokesa (8) we współrzędnych cylindrycznych wykorzystując obliczenia (25) i (26):

(27)
(28)
(29)

Tensory naprężeń w układzie kulistym[edytuj]

Tensory naprężeń względem współrzędnych kulistych dla cieczy nieścisliwej:

(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)

Równanie ciągłości w ukłądzie kulistym[edytuj]

(36)

Rówwnanie Nawiera-Stokesa we współrzędnych kulistych[edytuj]

(37)
(38)

(39)

Straty energii w cieczy nieściśliwej[edytuj]

Istnienie ciepła prowadzi do zamienienia energii mechanicznej na ciepło. Całkowita energia kinetyczna dla cieczy nieścisliwej możemy przestawić licząc całkę po prędkopściach względem objętości tejże cieczy:

(40)

Weźmy sobie pod oszczał wyrażenie, które zapiszemy poniżej:

(41)

Do równania (41) podstawiamy równanie Naviera-Stokesa dla cieczy nieścisliwej (6), które przestawimy w postaci trzech równań skalarnych, za pochodną prędkości względem czasu , które to równanie najpierw przestawiamy jako:

(42)

Wtedy w takim wypadku:

(43)

Ponieważ w cieczy nieścisliwej dywergencja prędkości jest równa zero, wtedy pierwszey wyraz po prawej stronie równości (15) prędkość możemy przenieść pod znak dywergencji, i w ten sposób:

(44)

Wyznaczmy teraz całkę obustronną wyrażenia (44) względem objętości i potem skorzystajmy z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, by zamienić pierwszy wyraz po prawej stronie w całkę całkowanie po objetości na całkowanie po powierzchni:

(45)

Pierwsza całka po prawej stronie równości (45) możemy rozszerzyć do nieskończoności, wtedy prędkości w neiskończonościach sa równe zero, zatem znika pierwsza całka, która jest całką powierzchniową i pozostaje tylko jego drugi wyraz, w takim wypadku wykorzystując z symetryczności tensora tarcia i z jego definicji otrzymujemy:

(46)