Wikipedysta:Persino/Fizyka matematyczna/Algebra/Macierze i wyznaczniki

25% Status
Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.

Zapoznamy się tutaj co to są właściwie macierze, jak je do siebie się dodaje lub odejmuje, jak się mnoży je. Kiedy te działania wspomniane wcześniej są wykonywalne, a kiedy niewykonywalne. Zapoznamy się z postulatami jakie wyznacznik macierzy kwadratowej powinien spełniać. Na tej podstawie wyprowadzimy jak w sposób ogólny liczymy wartości tychże wyznaczników. Jak liczymy macierz odwrotną. zapoznamy się również z teorią rozwiązywania układu n równań o liczbie niewiadomych równych liczbie równań lub nie.

Definicja macierzy[edytuj]

Macierzą nazywamy obiekt o n wierszach i m kolumnach, którego matematycznie piszemy wedle:

(1)

Mnożenie macierzy przez parametr[edytuj]

Pomnóżmy macierz przez parametry λ, wtedy otrzymamy końcową macierz, w którym wszystkie elementy zostaną pomnożone przez ten wspomniany parametr.

(2)

W formie skróconej bardziej przejrzyściej niż (2) używając ogólnego zapisu macierzy o n wierszach i m kolumnach piszemy następująco:

(3)

Dodawanie i odejmowanie macierzy[edytuj]

Dodawaniem (odejmowaniem) dwóch macierzy nazywamy dodawanie (odejmowanie) elementów do siebie o takich samych wskaźnikach, i w ten sposób otrzymujemy następującą końcową macierz:

(4)

Przy liczeniu sumy dwóch macierz w punkcie (4) ilość wierszy i kolumn w pierwszej macierzy powinna być taka sama jak w drugiej macierzy. Ogólnie dodawanie (odejmowanie) dwóch macierzy piszemy wedle sposobu;

(5)

Mnożenie macierzy[edytuj]

Iloczynem dwóch macierzy nazywamy takie działanie matematyczne zdefiniowane następująco:

(6)

Ogólnie w postaci uproszczonej mnożenie dwóch niedowolnych macierzy zapisujemy wedle sposobu:

(7)

Ilość kolumn w pierwszej macierzy (m) powinna być równa ilości wierszy (m) w drugiej macierzy, tak aby działanie mnożenia dwóch macierzy było w naszym przypadku wykonywalne. Czyli pierwszą macierz mamy jako n×m a drugą m× r, a końcową macierz jako wynik mnożenia dwóch wspomnianych macierzy mamy jako n×r.

Rozdzielność mnożenia względem dodawania[edytuj]

Macierze spełniają prawo rozdzielności mnożeni względem dodawania, którego zapis matematyczny wygląda następująco:

(8)

Dowód prawa (8) polega na wykorzystaniu definicji mnożenia dwóch odpowiednich macierzy (7), zatem do dzieła:


(9)

Na podstawie obliczeń (9) udowodniliśmy prawo (8) dotyczącej macierzy.

Łączność dodawania trzech macierzy[edytuj]

Łączność dodawania trzech macierzy polega na dowodzie:

(10)

Dowód prawa (10) polega na wykorzystaniu definicji dodawania dwóch macierzy, zatem udowodnijmy to twierdzenie dla macierzy. Lewa strona prawa (10):

(11)

Prawa strona równania (10):

(12)

Porównując obie strony wyliczeń (11) i (12) dochodzimy do wniosku, że są one tożsamościowo równe, zatem na pewno jest spełnione twierdzenie (10).

Łączność mnożenia trzech macierzy[edytuj]

W tym przypadku należy udowodnić następujące prawo:

(13)

Dowód prawa (10) polega na wykorzystaniu definicji mnożenia dwóch odpowiednich macierzy (7), zatem do dzieła. Lewa strona równania (13):

(14)

Praw strona równania (13):

(15)

Porównując (14) i (15) do siebie, dochodzimy do wniosku, że obie te strony są równe nawzajem, zatem jest spełnione prawo łączności trzech macierzy (13).

Postulaty co do właściwości wyznaczników[edytuj]

Weźmy sobie macierz kwadratową, którego każdą kolumną oznaczymy Hi, który ma liczbę wierszy równą n, zatem na podstawie tego możemy przystąpić do postulatów istnienia macierzy. A oto postulaty:

  • Postulat pierwszy, tzn. parametr λ stojąca przy j-tej kolumnie można wycjągnąc ten przez ten wyznacznik.
(16)
  • Postulat drugi, tzn. jeśli dwie dowolne kolumny są takie same w tejże wyznaczniku, to cały wyznacznik jest równy jeden.
(17)
  • Postulat trzeci, tzn. wyznacznik dowolnej macierzy jedynkowej tożsamościowo równej macierzy jedynkowej jest równa jeden.
(18)
  • Postulat trzeci, tzn. zamiana miejscami kolumn wyznacznika powoduje pojawienie się przed wyznacznikiem znaku minus.
(19)
  • Postulat czwarty, tzn. dodawanie dwóch wyznaczników stopnia n-tego różniące się tylko jedną kolumną.

(20)

Wyprowadzenie bardziej eleganckiej postaci wyznacznika, tożsamość Cauchy'ego[edytuj]

Aby udowodnić twierdzenie Cauchy'ego najpierw przestawmy weźmy, że Hi to są kolumny macierzy A, zatem nasz iloczyn AB możemy zapisać wedle sposobu:

(21)

Wtedy wyznacznik macierzy AB, czyli (21) piszemy wedle sposobu:


(22)

Wyznaczniku końcowym (22) elementy Hsi mogą się powtarzać, a jeśli się powtarzają to wyznacznik tam występujący jest równy zero, to stąd dostajemy, że wskaźnik si przyjmuje swoje unikalne wartości. Ale ponieważ si przyjmuje wszystkie własności z zakresu od 1 do n, czyli tożsamość (22) przepiszemy wedle sposobu:

(23)

Ponieważ elementy wyznacznika występująca we wzorze (23) są poukładane w złym porządku, zatem musimy je poukładać w dobrym porządku, zatem ten wyznacznik piszemy jako:

(24)
  • gdzie sqn(σ) przedstawia czy permutacja liczb 1,2,3,..,i,..,n jest parzysta, wtedy ta funkcja przyjmuje wartość jeden, gdy nieparzysta, to minus jeden.

Równość (23) na podstawie tożsamości (24) piszemy wedle sposobu:

(25)

Obierzmy sobie w (23), że macierz A jest macierzą jednostkową, zatem wtedy mamy naszą jawną definicję wyznacznika macierzy A.

(26)

Również dobrze wzór (25) przy definicji macierzy A i definicji wyznacznika (24), zatem dochodzimy do wniosku, że wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników macierzy, którego postać matematyczną tego prawa piszemy jako:

(27)

Równość wyznacznika macierzy transponowanej a nie transponowaną[edytuj]

Mamy sobie definicję wyznacznika (26), w którym te czynniki bσ(i) tak poukładajmy by pierwszy wskaźnik przy "b" by numerowany od jeden do n, a drugi był pewną permutacją liczb 1,2,3,...,n. Zatem ta permutacja ma taką samą parzystość, co permutacja σ, zatem powinno zachodzić sqn(σ)-1=sqn(σ). Matematyczny dowód wyznacznik macierzy prostej jest równa wyznacznikowi macierzy odwrotnej, zatem:


(28)

Powyżej wszystkie permutacje σ należą do zbioru Sn, zatem permutacje odwrotne σ-1 też należą do zbioru Sn, zatem zachodzi ostatnia równość (28). W ten sposób udowodniliśmy, że wyznacznik macierzy zwykłej jest równy wyznacznikowi macierzy transponowanej. Co matematycznie piszemy:

(Niedopasowany uchwyt: 2.29)

Wyznacznik iloczynu parametru i macierzy kwadratowej[edytuj]

Wykorzystując wzór (25) rozpiszmy następujące wyrażenie poniżej. Każde λ stojące przy bσ(i)i wyłączamy przez sumę i w rezultacie otrzymujemy n-tą potęgę parametru λ przed definicją macierzy A , przy założeniu, że n jest to stopień wspomnianej macierzy.


(Niedopasowany uchwyt: 2.29)

Wynik wynikający z obliczeń (Niedopasowany uchwyt: 2.29) możemy przepisać dla przejrzystości wykładu w następujący sposób:

(31)

Twierdzenie Laplace'a[edytuj]

Naszym celem jest udowodnienie twierdzenia Laplace'a, w tym celu udowodnijmy cząstkowe lematy, by potem powiedzieć, że występują takie a nie inne ogólne wzoru Laplace'a. Wzorów Laplace'a jest dwa, tzn. rozwinięcia wyznacznika względem kolumny i jak powiemy dlaczego względem wiersza.

Napiszmy sobie wyznacznik, który napiszemy korzystając ze ogólnego wzoru na wyznacznik macierzy stopnia parzystego, tzn. z (26) i policzymy czemu on jest równy.


(32)

Następnie załóżmy, że w pierwszej kolumnie macierzy znajduje się na jakimś wierszu niezerowy element ai1, wtedy ten wiersz możemy zamienić z pierwszym i skorzystać już udowodnionego lematu (32), zatem wtedy mamy:


(33)

Następnym krokiem naszego dowodu jest skorzystanie ze pierwsza kolumna składa się z ogólnie niezerowych składników, wtedy wykorzystując postulat (20), możemy taką naszą macierz rozłożyć na sumę n wyznaczników, w których każdym takim składniku w pierwszej kolumnie występuje tylko jedna wartość niezerowa, zatem dla każdego takiego składnika wykorzystując udowodniony lemat (33), wtedy będzie można wtedy powiedzieć:

(34)

Naszym następnym krokiem wyznaczniku det A jest zamienienie kolumny j-tej z pierwszą, wtedy będzie można zastosować wzór (34). Ależ już po rozwinięciu w wyznaczniku Ai1 tak zamieniamy w mim miejscami kolumny by kolejność wierszy była znów normalna (pierwszego wskaźnika ma wzrastać w stronę zwiększających się numerów), w tym celu tych przestawień jest "j". Zatem ze wzoru (34) wynika ogólne twierdzenie matematyczne zwane twierdzeniem Lapace'a rozwinięcia względem kolumny:

(35)

Ponieważ wyznacznik macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy transponowanej, wtedy drugi wzór Laplace'a piszemy wedle sposobu, ale tym razem rozwinięcia względem wiersza.

(36)

Obliczanie macierzy drugiego i trzeciego stopnia metodą Sarrusa[edytuj]

Wyznacznik stopnia drugiego liczymy według następującego sposobu:

(37)

Mając już wyznacznik stopnia trzeciego wyznaczmy go z metody Laplace'a i dowiemy się, że taki sam wynik wyjdzie tez licząc tego typu wyznacznik za pomocą metody według rysunku obok zwanej metodą Sarrusa, zatem jej wartość jest wedle następującego sposobu:

Metoda Sarrusa dla wyznacznika stopnia trzeciego



(38)

Ten sam końcowy wzór (38) możemy wyznaczyć z definicji wyznacznika stopnia trzeciego ze wzoru (26).

Macierz odwrotna[edytuj]

Udowodnijmy następujący lemat, który będzie nam potrzebny do dalszych obliczeń, zatem:

(39)

Aby udowodnić (39) dla i=j, to należy skorzystać z twierdzenia Laplace'a (35), zatem dla tego przypadku mamy det A. Gdy l≠ j, zatem weźmy macierz B, który można otrzymać gdy zastąpimy j-ty wiersz i tym wierszem, wtedy oczywiste jest, tak powstały wyznacznik jest równy zero na podstawie postulatu (17), i rozwijając ten wyznacznik z macierzy B go względem j-tej kolumny, wtedy mamy tutaj na tej kolumnie wyrazy o pierwszym wskaźniku równej j, i w ten sposób otrzymaliśmy wyrażenie takie same jak dla lewejs trony (39) dla i≠ j.

Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A (1) nazywamy macierz w postaci:

(40)

Aby sprawdzić, czy macierz (40) jest macierzą odwrotną do A, to sprawdźmy, czy jest na pewno poniższa macierz jest równa macierzy jednostkowej korzystając już z udowodnionego lematu (39):

(41)

Na podstawie obliczeń (41) udowodniliśmy, że rzeczywiście macierz (40) jest macierzą odwrotną do macierzy A.

Twierdzenie Cramera[edytuj]

Weźmy sobie układ n równań n niewiadomych w następującej postaci:

(42)

Obierzmy sobie macierz A zbudowany na podstawie współczynników strojących przy niewiadomych xi a także macierz Wi zbudowanych na podstawie macierzy A, tyko i-ta kolumna jest zastąpiona przez wyrazy wolne bi, zatem te macierze piszemy jako:

(43)
(44)

I-te rozwiązanie układu równań (42), gdy zachodzi na pewno det A≠ 0, wtedy piszemy go następująco:

(45)

Widzimy, że to rozwiązanie jest zbudowane przy pomocy wyznacznika macierzy Wi (44) i przy pomocy wyznacznika macierzy A (42).

Układ równań (40) możemy napisać w równoważnej postaci ale macierzowej:

(46)

W celu sprawdzenia czy rzeczywiście (45) jest rozwiązaniem układu równań należy (45) podstawić do lewej strony (46) i sprawdźmy czy otrzymamy prawą stronę, zatem korzystając przy tym z (39) możemy wtedy napisać;


(47)

Na podstawie obliczeń (47) udowodniliśmy, że jednak (45) jest poprawnym rozwiązaniem cramerowskim układu n-równań n-niewiadomych (42), gdy macierz A nie jest macierzą osobliwą, tzn. det A nie jest równy zero, wtedy istnieje jedno rozwiązanie według Cramera. Szablon:Fizyka matematyczna/Nawigacja