Wikipedysta:Persino/Fizyka matematyczna/Analiza matematyczna/Ciągi w matematyce

W tym rozdziale zajmować się będziemy ciągami nieskończonymi, tzn. poszczególne jej składowe są numerowane przy pomocy zbiorów licz naturalnych.

Ciągi nieskończone

Ciągiem nazywamy zbiór licz rzeczywistych numerowanych liczbami naturalnymi, tzn. są to ciągi które piszemy jako:

$u_1,u_2,\mathrm{...},u_n,\mathrm{...}\text{ lub }\{u_n\}$

(1)

Ciąg arytmetyczny

Są to ciągi, którego różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała i jest równa r, co matematycznie możemy zapisać poniżej, również w tej samej linijce wyrazimy wyraz a_n+1 w zależności od wyrazu a_n, zatem możemy napisać:

$a_{n+1}-a_n=r\Rightarrow a_{n+1}=a_n+r$

(2)

Wyznaczmy pierwszy, drugi i trzeci wyraz ciągu arytmetycznego wykorzystując drugą zależność wyrażonej w punkcie (2), zatem wtedy mamy:

$a_2=a_1+r$ (3)

$a_3=a_2+r=a_1+r+r=a_1+2r=a_1+(3-1)r$ (4)

$a_4=a_1+2r+r=a_1+3r=a_1+(4-1)r$

(5)

Jeśli popatrzymy na wyraz pierwszy, drugi i trzeci i czwarty, to wtedy ogólny wzór określający wartość ciągu określamy względem jej wartości początkowej a₁, i numeru wyrazu, który mamy wyznaczyć, zatem tą zależność matematycznie określamy wzorem:

$a_n=a_1+(n-1)$

(6)

Wzór (6) możemy udowodnić metodą indukcji matematycznej. Dla n=1 mamy według wzoru (6), czyli wtedy otrzymujemy tożsamość. Udowodnijmy teraz twierdzenie mając wyraz a_n udowodnimy, że dla a_n+1 mamy ${}_{a_{n+1}=a_1+nr}$, co jego dowód przy wykorzystaniu drugiego wzoru z (2), zatem wtedy zapisujemy następująco nasz drugi poziom indukcji matematycznej:

$a_{n+1}=a_n+r=a_1+(n-1)r+r=a_1+nr=a_1+(n+1-1)r$

(7)

Otrzymany końcowy wzór (7) zgadza się ze wzorem (7) zatem dowód ostatnio wspomnianego wzoru jest prawdziwy.

Suma n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego

Suma n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego określamy następującym wzorem matematycznych określanym według schematu:

$S_n=a_1+a_2+\mathrm{...}+a_n=\frac{a_1+a_n}{2}n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}n$

(8)

Udowodnijmy wzór (8) przy pomocy twierdzenia na indukcję zupełną gdy pozostaje nam jeden wyraz do sumowania, zatem wtedy mamy ${}_{S_1=\frac{a_1+a_1}{2}=a_1}$, zatem co się zgadza z pierwsza tezą w tymże twierdzeniu. Przejdźmy do następnej tezy, zatem:

$S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}n+a_{n+1}=\frac{2a_{1}n+(n-1)rn+2a_1+2nr}{2}=$
$=\frac{2a_1(n+1)+nrn-rn+2nr}{2}=\frac{2a_1(n+1)+nrn+nr}{2}=$
$=\frac{2a_1(n+1)+nr(n+1)}{2}=\frac{2a_1+nr}{2}(n+1)$

(9)

Udowodniliśmy, że według pierwszej i drugiej tezy (9). bo zachodzi w poprzedniku twierdzenia (8) indukcji matematycznej wzór (8) jest poprawnym wzorem na sumę ciągu arytmetycznego.

Ciąg geometryczny

Są to ciągi, którego iloraz wyrazu o numerze n+1 i wyrazu o numerze n jest równy q, co matematycznie możemy zapisać poniżej, oraz w tej samej linijce wyrazimy wyraz a_n+1 w zależności od wyrazu a_n, zatem:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\Rightarrow a_{n+1}=a_{n}q$

(10)

Wyznaczmy pierwszy, drugi i trzeci wyraz ciągu geometrycznego wykorzystując drugą zależność wyrażonej w punkcie (3.2), zatem wtedy mamy:

$a_2=a_{1}q$ (11)

$a_3=a_{2}q=a_{1}qq=a_1{q}^2$ (12)

$a_4=a_{3}q=a_1{q}^{2}q=a_1{q}^{n+1}$ (13)

Jeśli popatrzymy na wyraz pierwszy, drugi i trzeci i czwarty, to wtedy ogólny wzór określający wartość ciągu określamy względem jej wartości początkowej a1, i numeru wyrazu, który mamy wyznaczyć, zatem tą zależność matematycznie określamy wzorem:

$a_n=a_1{q}^{n-1}$

(14)

Wzór (14) możemy udowodnić metodą indukcji matematycznej. Dla n=1 mamy według wspomnianego wyżej wzoru , czyli wtedy otrzymujemy tożsamość. Udowodnijmy teraz twierdzenie mając wyraz a_n udowodnimy, że dla a_n+1, mamy ${}_{a_{n+1}=a_1{q}^n}$, co jego dowód przy wykorzystaniu drugiego wzoru z (10), zatem wtedy zapisujemy następująco nasz drugi poziom indukcji matematycznej:

$a_{n+1}=a_{n}q=a_1{q}^{n-1}q=a_1{q}^n$

(15)

Dowód twierdzenia (14) na podstawie pierwszej i drugiej tezy dowodu indukcji matematycznej (15) udowodniliśmy nasze wspomniane twierdzenie.

Suma n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego

Są to ciągi, którego iloraz wyrazu o numerze n+1 i wyrazu o numerze n jest równy q, co matematycznie możemy zapisać poniżej, oraz w tej samej linijce wyrazimy wyraz an+1 w zależności od wyrazu an, zatem:

$S_n=a_1+a_2+\mathrm{...}+a_n=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+\mathrm{...}+a_1{q}^{n-1}=a_1(1+q+q^2+\mathrm{...}+q^{n-1})=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$

(16)

Udowodnijmy wzór (16) metodą indukcji matematycznej, ale najpierw sprawdźmy jego prawdziwość dla n=1, czyli ${}_{S_1=a_1\frac{1-q^1}{1-q}=a_1}$. Udowodjmy nasze twierdzenie, gdy jesli jest spełþnione dla n, to powinno być spełnione dla n+1, zatem wtedy możemy napisać, że następuje:

$S_{n+1}=S_n+a_1{q}^n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}+a_1{q}^n=a_1\frac{1-q^n+q^n-q^{n-1}}{1-q}=a_1\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

(17)

Dowód dwóch tez twierdzenie przebiegł wyśmienicie poprawnie, zatem z racji bytu prawdziwe jest twierdzenie (16).

Granica ciągu

Ciągi mające pewną skończoną granicę

Załóżmy, że mamy ciąg określony przez ciąg nieskończony (1), wtedy granicą ciągu {x_n} nazywamy taką liczbę rzeczywistą, jeśli dla każdego dodatniego ε istnieje taka liczba N, że wyrazy ciągu x_n mają wskaźnik większy od liczby N, czyli powinno zachodzić n>N, czyli spełniają warunek:

$\underset{ϵ>0}{\bigwedge }\underset{n>N}{\bigvee }|x_n-a|<ϵ$

(18)

Wtedy granicę ciągu {x_n} zapisujemy następująco:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$

(19)

Ciągi mające pewną nieskończoną granicę

Gdy granicą ciągu {a_n} jest liczba nieskończenie duża, wtedy możemy napisać wzór na granicę ciągu wspomnianego wcześniej:

$\underset{M>0}{\bigwedge }\underset{n>N}{\bigvee }{x}_n>M$

(20)

Wtedy granicę ciągu {x_n} spełniającego twierdzenie (20) zapisujemy i oznaczając wartość nieskończoną znakiem ∞, zatem piszemy następująco:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\mathrm{\infty }$

(21)

Ważne twierdzenie o dwóch ciągach

Niech mamy dwa ciągi {a_n} i {b_n}, którego spełniają warunek:

$a_n<b_n$

(22)

Ale z teorii granic (18) mamy: a_n<a+ε i a_{n</ub>>a-\epsilon;, wtedy wzór (19) przyjmuje postać:}

$a-ϵ<b+ϵ$

(23)

Ale ε może być dowolnie małe, ale załóżmy, że ciągi {a_n} i {b_n} dążą do tej samej granicy, wtedy warunek (23) jest automatycznie spełniony, a w pozostałych przypadkach przy dowolnym ε zachodzi a<b, zatem możemy powiedzieć, że powinno być:

$a_n<b_n\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n$

(24)

Twierdzenie od trzech ciągach

Załóżmy, że mamy {a_n}, {b_n}, a także {c_n}, takich by dla pewnego n większego od N, czyli n>N zachodziło

$a_n\le u_n\le b_n$

(25)

Jeśli dodatkowo mamy warunki na granicę dwóch skrajnych ciągów w twierdzeniu (25), tzn.:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=g$

(26)

to wtedy ciąg {u_n dąży do zera.

• Aby udowodnić to twierdzenie należ skorzystać z twierdzenia (24), wtedy warunek (26) przechodzi w warunek, z którego wynika, że ciąg {u_n} ma granicę równą g:

$g\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n\le g\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=g$

(Niedopasowany uchwyt: 3.28)

Granica ciągu niemalejącego mającą górną granicę

Załóżmy, że mamy ciąg niemalejący, załóżmy od pewnego n>N, i który jest ograniczony pewną liczbą M, tzn. zawsze zachodzi a_n\leq M, i który jest określony następującym wzorem matematycznym:

$a_n\le a_{n+1}\wedge a_n\le M$

(Niedopasowany uchwyt: 3.28)

Jeśli M określimy jako najmniejsza liczba ograniczona z góry, przy ciągu niemalejącym począwszy od pewnego n>N wtedy kolejna różnica między liczbą M a wyrazem a_n staje się coraz mniejsza, wtedy M staje się granicą tegoż ciągu, wtedy dochodzimy do wniosku:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=M$

(29)

Twierdzenie Stolza

Twierdzenie to mówi, że jesli przy rosnącym y_n począwszy od pewnego wskaźnika n>N i jeśli istnieje granica po prawej stronie wzoru opisanego poniżej, wtedy to twierdzenie piszemy następującym wzorem:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_n}{y_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$

(30)

Niech istnieje granica równa l, dla granicy po prawej stronie twierdzenia (30), wtedy mamy$\underset{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=l}{}$, wtedy z teorii granic (18) dostajemy stąd wniosek:

$|\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}-l|<\frac{1}{2}ϵ$

(31)

Wzór (31) zapisujemy w sposób równoważny korzystając korzystając z teorii wartości bezwzględnej następująco:

$l-\frac{1}{2}ϵ<\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}<l+\frac{1}{2}ϵ\Rightarrow (l-\frac{1}{2}ϵ)(y_n-y_{n-1})<x_n-x_{n-1}<(l+\frac{1}{2}ϵ)(y_n-y_{n-1})$

(32)

Mając nierówności (32) dla n=N,N+1,N+2,..,n, wtedy ostatni wzór po sumowaniu tych wszystkich nierówności tak otrzymanych występujących i określanych przez końcowy wzór (32) dla n>N, wtedy dostajemy wniosek po podzieleniu tak uzyskanej nierówności przez x_n-x_N, zatem wtedy dochodzimy do wniosku:

$l-\frac{1}{2}ϵ<\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}<l+\frac{1}{2}ϵ$

(33)

Napiszmy teraz tożsamość, którą łatwo udowodnić w następujący sposób:

$\frac{x_n}{y_n}-l=\frac{x_N-l{y}_N}{y_n}+(1-\frac{y_N}{y_n})(\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-l)$

(34)

Jeśli jak zakładaliśmy w twierdzeniu (30) y_n jest funkcją rosnącą począwszy od pewnego N, to wtedy mamy y_n>y_N, to wtedy na podstawie tożsamości (34) dostajemy wniosek, że następuje:

$|\frac{x_n}{y_n}-l|\le \left|\frac{x_N-l{y}_N}{y_n}\right|+|\frac{x_n-x_N}{y_n-y_N}-l|$

(35)

Drugio składnik staje się mniejszy niż ${}_{\frac{1}{2}ϵ}$, bo na mocy wzoru (33), a pierwszy na mocy y_n>y_N staje się też od tej samej liczby staje sie mniejszy, zatem wtedy mamy:

$|\frac{x_n}{y_n}-l|<ϵ$

(36)

Gdy granicą $\underset{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_n}{y_n}=\mathrm{\infty }}{}$ sprowadza się do przypadku już rozważanego, tzn. do przypadku:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{y_n}{x_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}=0$

(37)

Twierdzenie d'Alemberta

Iloraz wyrazu a_n+1 przez a_n jest większy niż jeden wtedy granicą ciągu jest nieskończoność, a gdy jest mniejsza niż jeden wtedy granicą ciągu jest zero, to matematycznie będziemy liczyli granicę ciągu według wzoru poniżej i w zależności od p mamy granicę wypowiedzianą na początku tego zdania.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=p$

(38)

Ze wzoru (38) możemy napisać, że zachodzi a_n+1>a_n(p+ε), wtedy możemy napisać następującą tożsamość wynikającą ze ostatnio wspomnianego wzoru:

$a_n>(p-ϵ)a_{n-1}>(p-ϵ{)}^{n-N}{a}_N$

(39)

Jeśli we wzorze (39) obierzemy zamiast ε ciąg ε_n=1/n, wtedy dochodzimy do wniosku, że jeśli p>1, wtedy ciąg {a_n} dąży do nieskończoności bo p-ε_nM>1 i z ważności wspomnianego wzoru dostajemy:

$p>1\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$

(40)

Gdy p<1 w granicy policzonego według wzoru (25) i z definicji granicy ciągu {a_n}, czyli (18), co możemy napisać jako a_n<(p+ε)a_n-1, zatem wtedy możemy napisać następującą tożsamość:

$a_n<(p+ϵ)a_{n-1}<(p+ϵ{)}^{n-N}{a}_N$

(41)

Gdy za dowolny ε wsadzimy ciąg ε=1/n i założenia p<1 w granicy ciągu (38) dochodzimy do wniosku, że mamy:

$p<1\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$

(42)

Gdy p=1, to nie można określić granicy do jakiej granicy ciąg {a_n} dąży, czyli w takim momencie granica ciągu jest nieokreślona.

Twierdzenie Cauchy'ego

Całkowicie równoważnym twierdzeniem do twierdzenia d'Alemberta jest twierdzenie Cauchy'ego mówiącą, że granica pod względem n z pierwiastka wyrazu ciągu a_n stopnia n jest równa pewnej wartości w zależności od której wyznaczamy granicę ciągu {a_n}, czyli:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}=p$

(43)

Twierdzenie mówi gdy p>1, to wtedy z teorii granic na ciągach i dla dowolnie małego ε dostajemy następujący na pewno wniosek dla n większego od pewnej liczby N:

$a_n>(p-ϵ{)}^n$

(44)

Gdy za ε we wzorze (44) wsadzimy ciąg ε_n dążący do zera dla rozważonego p, wtedy dostajemy następujący wniosek z teorii granic o nieskończonych wartości określanych, zatem:

$p>1\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty };$

(45)

Gdy p<1, wtedy dostajemy następujący wniosek wynikający z (43) i dla bardzo małego ε i dla n spełniających warunek n>N, zatem zachodzi następujący wniosek:

$a_n<(p+ϵ{)}^n$

(46)

Jeśli p<1 i dla dowolnego ciągu ε_n ddążącego do zera (gdy zastąpimy ε przez ε_n we wzorze (43)), wtedy dochodzimy do wniosku, że następuje:

$p<1\Rightarrow \underset{n\Rightarrow \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$

(47)

Równoważność twierdzeń d'Alemberta i Cauchy'ego

W celu udowodnienia równoważności twierdzeń d'Alemberta i Cauchy'ego, należy skorzystać z twierdzenia Stolza (30), zatem należy policzyć wyrażenie i zobaczymy co wyjdzie:

$\ln \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\ln \sqrt[n]{a_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\ln a_n^{\frac{1}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln a_n}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln a_{n+1}-\ln a_n}{n+1-n}=$
$=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\ln \frac{a_{n+1}}{a_n}=\ln \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}$

(48)

Na podstawie dowodu (48) udowodniliśmy, że granice obliczone za pomocą twierdzeń d'Alemberta i Cauchy'ego są takie same.