25% Status

Wikipedysta:Persino/Fizyka matematyczna/Analiza matematyczna/Funkcje uwikłane

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Pochodne cząstkowe funkcji uwikłanej względem argumentu wartości[edytuj]

Zauważmy, że mamy funkcje uwikłaną, którego definicja jest zapisana wzorem , zatem korzystając z definicji funkcji uwikłanej według analizy matematycznej możemy napisać nastepującym wzorem poniżej, która jest sumą iloczynów pochodnych cząstkowych funkcji f względem zmiennej xi i różniczki zupełnej zmiennej xi, dla n wartości i, a n ma taka wartość jaką jest liczba zmiennych funkcji f:

(1)

Załóżmy, że mamy dodatkowy warunek na dxi, który zapisujemy wedle sposobu , a pozotałe różniczki dla są równe zero dxj=0, można to zrobić, gdyż jest taka idea różniczki cząstowej. Zatem wzór (1) da się przestawić jako:

(2)

Wzór (2) możemy zapisać w sposób bardzo równoważny, ale trochę w innej postaci dzieląc obustronnie wspomniany wzór przez , który z założenia jest nierówny zero, zatem możemy napisać:

(3)

Transformacje pochodnych względem układu współrzędnej dla funkcji prostej[edytuj]

W tym rozdziale będziemy rozważać funkcję , zatem jeśli mamy macierz transformacji współrzędnych z jednego układu współrzędnych do drugiego, zatem te transformacje piszemy wedle następującego schematu:

(4)

Pochodna cząstkowa funkcji f względem zmiennej xi przestawimy jako kombinacja pochodnej f względem zmiennej x'i, zakładając przy tym, że macierz ∇ jest macierzą poziomą, zatem wtedy możemy napisać:

(5)

Udowodniona tożsamość (5) możemy przestawić w postaci zwartej wedle następującego sposobu:

(6)

Transformacje pochodnych względem układu współrzędnej dla funkcji uwikłanej[edytuj]

Macierz transformującą operator ∇ z jednego układu współrzędnych do drugiego przestawiamy wedle wzoru określonego w punkcie (6), ale tu przestawiając operatorowo:

(7)

Transformację macierzy drugich pochodnej względem układu współrzędnych, dla funkcji prostej[edytuj]

Macierz drugich pochodnych funkcji f przedstawiamy wedle następującego wzoru:

(8)
  • gdzie macierz Df jest to macierz drugich pochodnych funkcji f względem n argumentów jawnych jaki ona posiada, są to pochodne cząstkowe mieszane, ale drugiego rzędu:
(9)

Aby udowodnić wzór (8) musimy wykorzystać twierdzenie napisane w punkcie (6), którego dowód wzoru ostatnio wspomnianego, który transformuje drugie pochodne z jednego układu współrzędnych do drugiego przeprowadzamy wedle następującego sposobu poniżej.

(10)

Transformację macierzy drugich pochodnej względem układu współrzędnych, dla funkcji uwikłanej[edytuj]

Wyznaczmy wyznacznik macierzy drugich pochodnych w układzie K' względem układu K mając pewną macierz transformacji, zatem możemy napisać wedle (Niedopasowany uchwyt: 2.27), zatem wtedy możemy napisać, że:

(11)

Wzór (9) możemy w bardziej wyrazistą postać wede sposobu:

(12)

Ale trzeba pamiętać, że i są wyznacznikami pochodnych n-rzędu, a dla funkcji uwikłanej jest z n-zmiennymi. Według wzoru (12) wyznacznik drugich pochodnych funkcji f w nowym układzie współrzędnych ma ten sam znak co wstarym układzie współrzędnych bo kwadrat wyznacznika |α| jest większy od zera. Szablon:Fizyka matematyczna/Nawigacja