Wikipedysta:Persino/Pochodne n-tego rzędu

Pochodne n-tego rzędu według wzoru Leibniza

\frac{\partial^{n} f (x) g (x)}{\partial x^{n}} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) f^{(i)} (x) g^{(n - i)} (x)

A teraz udowodnijmy to twierdzenie za pomocą indukcji zupełnej. Jeśli n=1, to mamy:

\frac{\partial f (x) g (x)}{\partial x^{2}} = \sum_{i = 0}^{1} (\binom{1}{i}) f^{(i)} (x) g^{(1 - i)} (x)

Po dalszych przekształceniach mamy:

f^{(1)} (x) g (x) + f (x) g^{(1)} (x) = f^{(1)} (x) g (x) + f (x) g^{(1)} (x)

, czyli dla n=1 wzór jest udowodniony.

Udowodnijmy teraz dla n+1, zakładając, że owe twierdzenie jest spełnione dla n.

\frac{\partial^{n + 1} f (x) g (x)}{\partial x^{n + 1}} = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial^{n} f (x) g (x)}{\partial x^{n}} = \frac{\partial}{\partial x} {(\binom{n}{i}) f^{(i)} (x) g^{(n - i)} (x)} =

= {\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) f^{(i + 1)} (x) g^{(n - i)} (x)} + {\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) f^{(i)} (x) g^{(n - i + 1)} (x)}

Weźmy dla pierwszego członu: $i^{'} = i + 1$

{\sum_{i = 1}^{n} (\binom{n}{i - 1}) f^{(i)} (x) g^{(n - i + 1)} (x)} + {\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) f^{(i)} (x) g^{(n - i + 1)} (x)} =

= \sum_{i = 0}^{n} ((\binom{n}{i - 1}) + (\binom{n}{i})) f^{(i)} (x) g^{(n - i + 1)} (x) = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n + 1}{i}) f^{(i)} (x) g^{(n + 1 - i)} (x)

Co kończy dowód.