Wikipedysta:Persino/Pochodne n-tego rzędu

Pochodne n-tego rzędu według wzoru Leibniza

${{\partial ^{n}f(x)g(x)} \over {\partial x^{n}}}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x)$

A teraz udowodnijmy to twierdzenie za pomocą indukcji zupełnej. Jeśli n=1, to mamy:

${{\partial f(x)g(x)} \over {\partial x^{2}}}=\sum _{i=0}^{1}{1 \choose i}f^{(i)}(x)g^{(1-i)}(x)$

Po dalszych przekształceniach mamy:

$f^{(1)}(x)g(x)+f(x)g^{(1)}(x)=f^{(1)}(x)g(x)+f(x)g^{(1)}(x)\;$, czyli dla n=1 wzór jest udowodniony.

Udowodnijmy teraz dla n+1, zakładając, że owe twierdzenie jest spełnione dla n.

${{\partial ^{n+1}f(x)g(x)} \over {\partial x^{n+1}}}={{\partial } \over {\partial x}}{{\partial ^{n}f(x)g(x)} \over {\partial x^{n}}}={{\partial } \over {\partial x}}\left\{{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x)\right\}=$

$=\left\{\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i+1)}(x)g^{(n-i)}(x)\right\}+\left\{\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x)\right\}$

Weźmy dla pierwszego członu:$i'=i+1$

$\left\{\sum _{i=1}^{n}{n \choose {i-1}}f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x)\right\}+\left\{\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x)\right\}=$

$=\sum _{i=0}^{n}\left({n \choose i-1}+{n \choose i}\right)f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x)=\sum _{i=0}^{n}{n+1 \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n+1-i)}(x)$

Co kończy dowód.