Definicja tensora odkształcenia[ edytuj ]
Przemieszczenie danego punktu w ciele sprężystym, którego początkowe położenie jest xi , a końcowe x'i , nazywamy wyrażenie, która jest różnicą tychże właśnie wielkości, i jest wyrażona:
u
i
=
x
u
′
−
x
i
{\displaystyle u_{i}=x_{u}^{'}-x_{i}\;}
(1)
Odległość pomiędzy dwoma infinitezymalnymi punktami, do którego możemy skorzaystać z twierdzenia Pitogarasa, jest pierwiastkiem sumy kwadratów infinitezymalnych odległości dla poszczególnych współrzędnych, jest określana przed i po odkształceniu:
d
l
=
d
x
1
2
+
d
x
2
2
+
d
x
3
2
=
d
x
i
2
{\displaystyle dl={\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}={\sqrt {dx_{i}^{2}}}\;}
(2)
d
l
′
=
d
x
1
′
2
+
d
x
2
′
2
+
d
x
3
′
2
=
d
x
i
′
2
{\displaystyle dl^{'}={\sqrt {{dx_{1}^{'}}^{2}+{dx_{2}^{'}}^{2}+{dx_{3}'}^{2}}}={\sqrt {{dx_{i}^{'}}^{2}}}\;}
(3)
Do kwadratu infinitezymalnej odległości (3 ) możemy wykorzystać wzór współrzędną przemieszczenia (1 ) i w ten sposób możemy otrzymać wzór przy pomocy definicji kwadratu pomiędzy punktami inifinitezylanie odległych od siebie (2 ):
d
l
′
2
=
d
x
i
′
2
=
(
d
x
i
+
d
u
i
)
2
=
d
x
i
2
+
2
d
x
i
d
u
i
+
d
u
i
2
=
d
l
2
+
2
∂
u
i
∂
x
k
d
x
i
d
x
k
+
∂
u
i
∂
x
k
∂
u
i
∂
x
l
d
x
k
d
x
l
{\displaystyle {dl^{'}}^{2}={dx_{i}^{'}}^{2}=(dx_{i}+du_{i})^{2}=dx_{i}^{2}+2dx_{i}du_{i}+du_{i}^{2}=dl^{2}+2{{\partial u_{i}} \over {\partial x_{k}}}dx_{i}dx_{k}+{{\partial u_{i}} \over {\partial x_{k}}}{{\partial u_{i}} \over {\partial x_{l}}}dx_{k}dx_{l}\;}
(4)
W drugim wyrazie we wzorze (4 ) występują wskaźniki nieme "i" i "k", zatem wyrażenie (4 ) możemy przestawić je na w sposób:
d
l
′
2
=
d
l
2
+
(
∂
u
i
∂
x
k
+
∂
u
k
∂
x
i
+
∂
u
l
∂
x
k
∂
u
l
∂
x
)
d
x
i
d
x
k
{\displaystyle {dl^{'}}^{2}=dl^{2}+\left({{\partial u_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial u_{k}} \over {\partial x_{i}}}+{{\partial u_{l}} \over {\partial x_{k}}}{{\partial u_{l}} \over {\partial x}}\right)dx_{i}dx_{k}\;}
(5)
Z definiujemy teraz tensor odkształcenia, który jest połową czynnika występujących się w drugim wyrazie dla równości (5 ), i który zależy od pochodnych wektora przemieszczenia ui względem względem współrzędnych xi ;
u
i
k
=
1
2
(
∂
u
i
∂
x
k
+
∂
u
k
∂
x
i
+
∂
u
l
∂
x
k
∂
u
l
∂
x
)
{\displaystyle u_{ik}={{1} \over {2}}\left({{\partial u_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial u_{k}} \over {\partial x_{i}}}+{{\partial u_{l}} \over {\partial x_{k}}}{{\partial u_{l}} \over {\partial x}}\right)\;}
(6)
Na podstawie definicji tensora odkształcenia (6 ) tożsamość (5 ) możemy przepisać przy pomocy tensora uik w postaci:
d
l
′
2
=
d
l
2
+
2
u
i
k
d
x
i
d
x
k
{\displaystyle {dl^{'}}^{2}=dl^{2}+2u_{ik}dx_{i}dx_{k}\;}
(7)
Patrzać na definicję tesnora odkształcenia (6 ) dochodzimy do wniosku, że on jest tesnorem symetrycznym, tzn. możemy zapisać:
u
i
k
=
u
k
i
{\displaystyle u_{ik}=u_{ki}\;}
(8)
W definicji tensora odkształcenia (6 ) możemy pomnąc człon kwadratowy, bo on jest o wiele mniejszy od członów liniowych, zatem po zastosowaniu tejże własności nasz wspomniany tensor jest zapisywany przy pomocy:
u
i
k
=
1
2
(
∂
u
i
∂
x
k
+
∂
u
k
∂
x
i
)
{\displaystyle u_{ik}={{1} \over {2}}\left({{\partial u_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial u_{k}} \over {\partial x_{i}}}\right)\;}
(9)
Możemy tak wybrać osie główne układu w taki sposób, że tylko jego składowe diagonalne są nierówne zero, a pozostałe elementy tensora odkształcenia są elementami zerowymi, wtedy odległości infinitezymalne możemy przestawić przy pomocy infinitezylanych zmian współrzędnych przed odkształceniem w postaci:
d
l
′
2
=
(
δ
i
k
+
2
u
i
k
)
d
x
i
d
x
k
=
(
1
+
2
u
11
)
d
x
1
2
+
(
1
+
2
u
22
)
d
x
2
2
+
(
1
+
2
u
33
)
d
x
3
2
{\displaystyle {dl^{'}}^{2}=(\delta _{ik}+2u_{ik})dx_{i}dx_{k}=(1+2u_{11})dx_{1}^{2}+(1+2u_{22})dx_{2}^{2}+(1+2u_{33})dx_{3}^{2}\;}
(10)
Patrząc na wnioski wynikłe z równania (10 ) możemy napisać wzór na infinitezymalną zmianę objętości, który możemy przepisać do:
d
V
′
=
d
V
1
+
2
u
11
1
+
2
u
22
1
+
2
u
33
≃
{\displaystyle dV^{'}=dV{\sqrt {1+2u_{11}}}{\sqrt {1+2u_{22}}}{\sqrt {1+2u_{33}}}\simeq \;}
≃
d
V
(
1
+
u
11
)
(
1
+
u
22
)
(
1
+
u
33
)
≃
d
V
(
1
+
u
11
+
u
22
+
u
33
)
=
d
V
(
1
+
u
i
i
)
{\displaystyle \simeq dV(1+u_{11})(1+u_{22})(1+u_{33})\simeq dV(1+u_{11}+u_{22}+u_{33})=dV(1+u_{ii})\;}
(11)
Równanie (7 ) możemy zapisać we współrzędnych uogólnionych, by potem wyprowadzić uik wyprowadzić we współrzędnych uogólnionych:
d
l
′
2
=
d
l
2
+
2
∂
u
i
∂
x
k
d
x
i
d
x
k
=
d
l
2
+
d
u
i
d
x
i
=
d
l
2
+
2
1
2
(
∂
u
i
∂
q
l
∂
x
i
∂
q
m
+
∂
u
i
∂
q
m
∂
x
i
∂
q
l
)
d
q
l
d
q
m
{\displaystyle {dl^{'}}^{2}=dl^{2}+2{{\partial u_{i}} \over {\partial x_{k}}}dx_{i}dx_{k}=dl^{2}+du_{i}dx_{i}=dl^{2}+2{{1} \over {2}}\left({{\partial u_{i}} \over {\partial q_{l}}}{{\partial x_{i}} \over {\partial q_{m}}}+{{\partial u_{i}} \over {\partial q_{m}}}{{\partial x_{i}} \over {\partial q_{l}}}\right)dq_{l}dq_{m}\;}
(12)
Wyznaczmy teraz współrzędne tensora deformacji we współrzędnych cylindrycznych (r,rθ,z) według wzoru końcowego (12 ) na współczynnik deformacji wynikających ze wspomnianego wzoru:
u
r
r
=
cos
θ
(
∂
u
r
∂
r
cos
θ
−
∂
u
θ
∂
r
sin
θ
)
+
sin
θ
(
∂
u
r
∂
r
sin
θ
+
∂
u
θ
∂
r
cos
θ
)
=
{\displaystyle u_{rr}=\cos \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial r}}\cos \theta -{{\partial u_{\theta }} \over {\partial r}}\sin \theta \right)+\sin \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial r}}\sin \theta +{{\partial u_{\theta }} \over {\partial r}}\cos \theta \right)=\;}
=
(
cos
2
θ
+
sin
2
θ
)
∂
u
r
∂
r
=
∂
u
r
∂
r
{\displaystyle =(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta ){{\partial u_{r}} \over {\partial r}}={{\partial u_{r}} \over {\partial r}}\;}
(13)
u
θ
θ
=
1
r
2
[
−
r
sin
θ
(
∂
u
r
∂
θ
cos
θ
−
sin
θ
u
r
−
∂
u
θ
∂
θ
sin
θ
−
u
θ
cos
θ
)
+
{\displaystyle u_{\theta \theta }={{1} \over {r^{2}}}{\Bigg [}-r\sin \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial \theta }}\cos \theta -\sin \theta u_{r}-{{\partial u_{\theta }} \over {\partial \theta }}\sin \theta -u_{\theta }\cos \theta \right)+\;}
+
r
cos
θ
(
∂
u
r
∂
θ
sin
θ
+
cos
θ
θ
u
r
+
∂
u
θ
∂
θ
cos
θ
−
u
θ
sin
θ
)
]
=
1
r
∂
u
θ
∂
θ
+
u
r
r
{\displaystyle +r\cos \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial \theta }}\sin \theta +\cos \theta \theta u_{r}+{{\partial u_{\theta }} \over {\partial \theta }}\cos \theta -u_{\theta }\sin \theta \right){\Bigg ]}={{1} \over {r}}{{\partial u_{\theta }} \over {\partial \theta }}+{{u_{r}} \over {r}}\;}
(14)
u
z
z
=
∂
u
z
∂
z
{\displaystyle u_{zz}={{\partial u_{z}} \over {\partial z}}\;}
(15)
u
r
θ
=
1
2
r
[
−
r
sin
θ
(
∂
u
r
∂
r
cos
θ
−
∂
u
θ
∂
r
sin
θ
)
+
r
cos
θ
(
∂
u
r
∂
r
sin
θ
+
∂
u
θ
∂
r
cos
θ
)
+
{\displaystyle u_{r\theta }={{1} \over {2r}}{\Bigg [}-r\sin \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial r}}\cos \theta -{{\partial u_{\theta }} \over {\partial r}}\sin \theta \right)+r\cos \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial r}}\sin \theta +{{\partial u_{\theta }} \over {\partial r}}\cos \theta \right)+\;}
+
cos
θ
(
∂
u
r
∂
θ
cos
θ
−
sin
θ
u
r
−
∂
u
θ
∂
θ
sin
θ
−
u
θ
cos
θ
)
+
{\displaystyle +\cos \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial \theta }}\cos \theta -\sin \theta u_{r}-{{\partial u_{\theta }} \over {\partial \theta }}\sin \theta -u_{\theta }\cos \theta \right)+\;}
+
sin
θ
(
∂
u
r
∂
θ
sin
θ
+
cos
θ
θ
u
r
+
∂
u
θ
∂
θ
cos
θ
−
u
θ
sin
θ
)
=
1
2
(
∂
u
θ
∂
r
−
u
θ
r
+
1
r
∂
u
θ
∂
θ
)
]
{\displaystyle +\sin \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial \theta }}\sin \theta +\cos \theta \theta u_{r}+{{\partial u_{\theta }} \over {\partial \theta }}\cos \theta -u_{\theta }\sin \theta \right)={{1} \over {2}}\left({{\partial u_{\theta }} \over {\partial r}}-{{u_{\theta }} \over {r}}+{{1} \over {r}}{{\partial u_{\theta }} \over {\partial \theta }}\right){\Bigg ]}\;}
(16)
u
r
z
=
1
2
[
∂
u
z
∂
z
+
cos
θ
(
∂
u
r
∂
z
cos
θ
−
∂
u
θ
∂
z
sin
θ
)
+
sin
θ
(
∂
u
r
∂
z
sin
θ
+
∂
u
θ
∂
z
cos
θ
)
]
=
{\displaystyle u_{rz}={{1} \over {2}}\left[{{\partial u_{z}} \over {\partial z}}+\cos \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial z}}\cos \theta -{{\partial u_{\theta }} \over {\partial z}}\sin \theta \right)+\sin \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial z}}\sin \theta +{{\partial u_{\theta }} \over {\partial z}}\cos \theta \right)\right]=\;}
=
1
2
[
∂
u
z
∂
z
+
∂
u
r
∂
z
]
{\displaystyle ={{1} \over {2}}\left[{{\partial u_{z}} \over {\partial z}}+{{\partial u_{r}} \over {\partial z}}\right]\;}
(17)
u
θ
z
=
1
2
r
[
∂
u
z
∂
θ
−
r
sin
θ
(
∂
u
r
∂
z
cos
θ
−
∂
u
θ
∂
z
sin
θ
)
+
r
cos
θ
(
∂
u
r
∂
z
sin
θ
+
∂
u
θ
∂
z
cos
θ
)
]
=
{\displaystyle u_{\theta z}={{1} \over {2r}}{\Bigg [}{{\partial u_{z}} \over {\partial \theta }}-r\sin \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial z}}\cos \theta -{{\partial u_{\theta }} \over {\partial z}}\sin \theta \right)+r\cos \theta \left({{\partial u_{r}} \over {\partial z}}\sin \theta +{{\partial u_{\theta }} \over {\partial z}}\cos \theta \right){\Bigg ]}=\;}
=
1
2
(
1
r
∂
u
z
∂
θ
+
∂
u
θ
∂
z
)
{\displaystyle ={{1} \over {2}}\left({{1} \over {r}}{{\partial u_{z}} \over {\partial \theta }}+{{\partial u_{\theta }} \over {\partial z}}\right)\;}
(18)