25% Status

Wikipedysta:Persino/Wprowadzenie do równań teorii sprężystości

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Definicja tensora odkształcenia[edytuj]

Przemieszczenie danego punktu w ciele sprężystym, którego początkowe położenie jest xi, a końcowe x'i, nazywamy wyrażenie, która jest różnicą tychże właśnie wielkości, i jest wyrażona:

(1)

Odległość pomiędzy dwoma infinitezymalnymi punktami, do którego możemy skorzaystać z twierdzenia Pitogarasa, jest pierwiastkiem sumy kwadratów infinitezymalnych odległości dla poszczególnych współrzędnych, jest określana przed i po odkształceniu:

(2)
(3)

Do kwadratu infinitezymalnej odległości (3) możemy wykorzystać wzór współrzędną przemieszczenia (1) i w ten sposób możemy otrzymać wzór przy pomocy definicji kwadratu pomiędzy punktami inifinitezylanie odległych od siebie (2):

(4)

W drugim wyrazie we wzorze (4) występują wskaźniki nieme "i" i "k", zatem wyrażenie (4) możemy przestawić je na w sposób:

(5)

Z definiujemy teraz tensor odkształcenia, który jest połową czynnika występujących się w drugim wyrazie dla równości (5), i który zależy od pochodnych wektora przemieszczenia ui względem względem współrzędnych xi;

(6)

Na podstawie definicji tensora odkształcenia (6) tożsamość (5) możemy przepisać przy pomocy tensora uik w postaci:

(7)

Patrzać na definicję tesnora odkształcenia (6) dochodzimy do wniosku, że on jest tesnorem symetrycznym, tzn. możemy zapisać:

(8)

W definicji tensora odkształcenia (6) możemy pomnąc człon kwadratowy, bo on jest o wiele mniejszy od członów liniowych, zatem po zastosowaniu tejże własności nasz wspomniany tensor jest zapisywany przy pomocy:

(9)

Możemy tak wybrać osie główne układu w taki sposób, że tylko jego składowe diagonalne są nierówne zero, a pozostałe elementy tensora odkształcenia są elementami zerowymi, wtedy odległości infinitezymalne możemy przestawić przy pomocy infinitezylanych zmian współrzędnych przed odkształceniem w postaci:

(10)

Patrząc na wnioski wynikłe z równania (10) możemy napisać wzór na infinitezymalną zmianę objętości, który możemy przepisać do:


(11)

Równanie (7) możemy zapisać we współrzędnych uogólnionych, by potem wyprowadzić uik wyprowadzić we współrzędnych uogólnionych:

(12)

Wyznaczmy teraz współrzędne tensora deformacji we współrzędnych cylindrycznych (r,rθ,z) według wzoru końcowego (12) na współczynnik deformacji wynikających ze wspomnianego wzoru:


(13)

(14)
(15)


(16)

(17)

(18)