Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Wyznaczniki funkcjonalne i ich własności
[edytuj]
Definicja wyznacznika funkcjonalnego jest następująca:
![{\displaystyle {{D(u,v)} \over {D(x,y)}}={\begin{vmatrix}({{\partial u} \over {\partial x}})_{y}&({{\partial v} \over {\partial x}})_{y}\\({{\partial u} \over {\partial y}})_{x}&({{\partial v} \over {\partial y}})_{x}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}({{\partial u} \over {\partial x}})_{y}&({{\partial u} \over {\partial y}})_{x}\\({{\partial v} \over {\partial x}})_{y}&({{\partial v} \over {\partial y}})_{x}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7efe800766929eeae88f7103a9cf5f0ae1d74c71)
Mamy bardzo ważny wzór:
![{\displaystyle {{D(V,p)} \over {D(T,p)}}=\left({{\partial V} \over {\partial T}}\right)_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac8d681bccf3c538a225c73d4082ed1cdb1147e8)
Udowodnijmy, powyższą tożsamość:
,
Zachodzi również:
![{\displaystyle {{D(u,v)} \over {D(x,y)}}={{D(u,v)} \over {D(p,q)}}{{D(p,q)} \over {D(x,y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ad7470e32f1ca49e249e98397821d3c338708e)
Dowód powyższy polega na twierdzeniu znanych z algebry, tzn.:
![{\displaystyle \operatorname {det} (AB)=\operatorname {det} A\operatorname {det} B\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4933cf4194702118ccb12dd8425f4d4d66d7aad3)
Oraz twierdzeniu:
![{\displaystyle {{D(A_{1},..,A_{n})} \over {D(x_{1},...,x_{n})}}=\operatorname {det} \left[{{\partial A_{i}} \over {\partial x_{j}}}\right]_{n\times n}=\operatorname {det} \left[\sum _{k}{{\partial A_{i}} \over {\partial y_{k}}}{{\partial y_{k}} \over {\partial x_{j}}}\right]_{n\times n}=\operatorname {det} \left[{{\partial A_{i}} \over {\partial y_{k}}}\right]_{n\times n}\operatorname {det} \left[{{\partial y_{k}} \over {\partial x_{j}}}\right]_{n\times n}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de36b860116d26af4cbb2920cc34f89667ab546d)
![{\displaystyle ={{D(A_{1},...,A_{n})} \over {D(y_{1},..,y_{n})}}{{D(y_{1},..,y_{n})} \over {D(x_{1},..,x_{n})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1d9c9709f674bd6b7d921af89f5b10329e6667)
A zatem udowodniliśmy w sposób ogólny,że:
![{\displaystyle {{D(A_{1},..,A_{n})} \over {D(x_{1},...,x_{n})}}={{D(A_{1},...,A_{n})} \over {D(y_{1},..,y_{n})}}{{D(y_{1},..,y_{n})} \over {D(x_{1},..,x_{n})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092b326887b85ca6f8237f33512047d177d9a4ec)
Co kończy dowód.