Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Twierdzenie o długości odcinka łączącego środki przekątnych trapezu [ edytuj ]
Dany jest dowolny trapez ABCD, gdzie zakładamy że:
|
A
B
|
=
a
{\displaystyle |AB|=a}
|
C
D
|
=
b
{\displaystyle |CD|=b}
Wyliczyć z kolei musimy odległość między środkami przekątnych tego trapezu, przez co wprowadzamy kolejne założenia:
|
A
K
|
=
|
A
C
|
2
{\displaystyle |AK|={\frac {|AC|}{2}}}
|
B
L
|
=
|
B
D
|
2
{\displaystyle |BL|={\frac {|BD|}{2}}}
|
K
L
|
=
a
−
b
2
{\displaystyle |KL|={\frac {a-b}{2}}}
Omawiany trapez przedstawia się w sytuacji jak na załączonym rysunku.
Odcinek KL zawiera się w środkowej trapezu ( prosta MN ), co pozwala wprowadzić następujące oznaczenia:
|
A
M
|
=
|
A
D
|
2
{\displaystyle |AM|={\frac {|AD|}{2}}}
|
B
N
|
=
|
B
C
|
2
{\displaystyle |BN|={\frac {|BC|}{2}}}
|
K
L
|
=
|
M
L
|
−
|
M
K
|
{\displaystyle |KL|=|ML|-|MK|}
Dla ułatwienia można przedstawić sytuacje w postaci dwóch trójkątów:
△
A
B
D
{\displaystyle \triangle ABD}
i
△
A
D
C
{\displaystyle \triangle ADC}
Trójkąt ADC:
W trójkącie ADC mamy odcinek MK, który jest równy
b
2
{\displaystyle {\frac {b}{2}}}
, ponieważ trójkąty AMK i ADC są podobne (podobieństwo kkk).
|
A
M
|
=
|
A
D
|
2
{\displaystyle |AM|={\frac {|AD|}{2}}}
i
|
A
K
|
=
|
A
C
|
2
{\displaystyle |AK|={\frac {|AC|}{2}}}
Tak więc i między odcinkami MK i DC zachodzi następująca proporcja:
|
A
M
|
|
A
D
|
=
|
M
K
|
|
D
C
|
⟺
1
2
=
|
M
K
|
|
D
C
|
⟺
|
M
K
|
=
|
D
C
|
2
{\displaystyle {\frac {|AM|}{|AD|}}={\frac {|MK|}{|DC|}}\iff {\frac {1}{2}}={\frac {|MK|}{|DC|}}\iff |MK|={\frac {|DC|}{2}}}
|
D
C
|
=
b
⇒
|
M
K
|
=
b
2
{\displaystyle |DC|=b\quad \Rightarrow \quad |MK|={\frac {b}{2}}}
Trójkąt ABD:
W trójkącie ABD mamy odcinek ML, który jest równy
a
2
{\displaystyle {\frac {a}{2}}}
, ponieważ trójkąty DML i ABD są podobne (podobieństwo kkk).
|
A
M
|
=
|
A
D
|
2
{\displaystyle |AM|={\frac {|AD|}{2}}}
i
|
D
L
|
=
|
D
B
|
2
{\displaystyle |DL|={\frac {|DB|}{2}}}
Tak więc i między odcinkami ML i AB zachodzi następująca proporcja:
|
A
M
|
|
A
D
|
=
|
M
L
|
|
A
B
|
⟺
1
2
=
|
M
L
|
|
A
B
|
⟺
|
M
L
|
=
|
A
B
|
2
{\displaystyle {\frac {|AM|}{|AD|}}={\frac {|ML|}{|AB|}}\iff {\frac {1}{2}}={\frac {|ML|}{|AB|}}\iff |ML|={\frac {|AB|}{2}}}
|
D
C
|
=
b
⇒
|
M
L
|
=
a
2
{\displaystyle |DC|=b\quad \Rightarrow \quad |ML|={\frac {a}{2}}}
Wniosek ostateczny:
|
M
L
|
=
a
2
∧
|
M
K
|
=
b
2
⟺
|
K
L
|
=
|
M
L
|
−
|
M
K
|
=
a
−
b
2
{\displaystyle |ML|={\frac {a}{2}}\;\land \;|MK|={\frac {b}{2}}\iff |KL|=|ML|-|MK|={\frac {a-b}{2}}}
|
K
L
|
=
a
−
b
2
{\displaystyle |KL|={\frac {a-b}{2}}}