Algebra liniowa/Ogólne przestrzenie liniowe

Definicja i proste fakty

Ogólna definicja przestrzeni liniowej jest aksjomatyczna; jest to układ złożony ze zbioru wektorów z działaniem dodawania, zbioru skalarów oraz działania skalowania wektorów, in. mnożenia ich przez skalar. Bardzo formalnie jest to czwórka (V,+,K,*), gdzie (V,+) jest grupą przemienną, K jest ciałem, a działanie *:K V V spełnia cztery aksjomaty:

1. łączność: (ab)v = a(bv);
2. rozdzielność względem dodawania wektorów: a(u+v) = au + uv;
3. rozdzielność względem dodawania skalarów: (a+b)v = av + bv;
4. zgodność jedynek: 1v = v.

Przemienność grupy wektorów była tutaj założeniem, jednak wypływa ona z tych czterech założeń, co można udowodnić w ramach ćwiczenia. Inne proste konsekwencje tych aksjomatów to: 0v=0 oraz (-1)v = -v. Warto zauważyć, że aksjomaty te są niezależne – żadnego z nich nie da się wyprowadzić z trzech pozostałych.

Przykłady

Cały wachlarz przykładów przynoszą rozważania funkcji rzeczywistych, zwłaszcza z perspektywy analizy matematycznej. Przestrzenie liniowe nieskończonego wymiaru to między innymi:

• wielomiany dowolnego stopnia: R[X]; równoważnie: ciągi ostatecznie zerowe, tj. o skończonym nośniku: c_00;
• ciągi zbieżne do zera: c_0;
• ciągi zbieżne: c;
• ciągi ograniczone (obustronnie): b;
• wszystkie ciągi liczb rzeczywistych: R^N;
• wszystkie funkcje o wartościach rzeczywistych i danej dziedzinie: R^X;
• funkcje ciągłe: C,
• funkcje gładkie;
• funkcje analityczne;
• funkcje klasy C^n;
• funkcje całkowalne w sensie Riemanna;
• funkcje całkowalne w sensie Lebesgue'a;
• funkcje całkowalne w.s.L. z określoną potęgą: L^p.

Przestrzeniami funkcyjnymi tego typu zajmują się analiza funkcjonalna i harmoniczna. Z tej algebraicznej perspektywy różniczkowanie jest operatorem liniowym, całkowanie (oznaczone) – funkcjonałem liniowym, a transformata Fouriera to rozkład funkcji okresowej w bazie prostych funkcji trygonometrycznych. Rozważanie przestrzeni dualnych do niektórych przestrzeni funkcyjnych pozwoliło ściśle zdefiniować dystrybucje jak delta Diraca.

Skalary nierzeczywiste

Cenną klasą przestrzeni liniowych są te zespolone, tj. z zespolonymi skalarami. Wektorami są tam krotki takich liczb lub inne funkcje o wartościach zespolonych. Dla przestrzeni tego typu również rozważa się iloczyny skalarne, konkretniej tzw. półtoraliniowe – ich definicja aksjomatyczna ma osłabione warunki symetrii i dwuliniowości; przestrzenie z takimi iloczynami bywają nazywane unitarnymi. Odpowiednikami przekształceń ortogonalnych i symetrycznych są w tym kontekście odwzorowania unitarne i hermitowskie. Zespolone przestrzenie liniowe to podstawa mechaniki kwantowej, gdzie opisują przestrzenie stanów układu. Są również chlebem powszednim analizy harmonicznej – rozkład na funkcje trygonometryczne wygodnie jest rozważać w dziedzinie zespolonej, korzystając z tożsamości Eulera.