Algebra liniowa/Przekształcenia liniowe

Twierdzenie o rzędzie

null A + rank A = dim V. Bezpośrednią konsekwencją jest twierdzenie Kroneckera–Capelliego.

Wyznacznik przekształcenia

Opisuje on stosunek dwóch skierowanych miar: miary obrazu bazy przy tym przekształceniu do miary wyjściowej bazy.

Macierz przekształcenia

Przekształcenie liniowe można reprezentować macierzą, co bardzo upraszcza obliczenia. Składowe wyniku przekształcenia są wtedy "iloczynami skalarnymi" kolejnych wierszy z rzeczonym wektorem. Cudzysłów jest tutaj dlatego, że w ogólności iloczyn skalarny nie jest zdefiniowany przez wzór, lecz aksjomatycznie, przez co nie stosuje się do niektórych przestrzeni -- za to reguły reprezentacji przekształcenia macierzą są bardzo uniwersalne i stosują się też np. do skalarów z ciał skończonych.

Złożenia przekształceń i macierzy

Iloczyn macierzy – tak jak złożenie funkcji – jest łączny, ale nieprzemienny; właściwość tę można sprawdzić ręcznie, korzystając z definicji. Konsekwencją łączności jest uproszczenie iloczynu potęg: A^n A^m = A^(n+m). Za to nieprzemienność sprawia, że potęga iloczynu w ogólności nie jest iloczynem potęg: (AB)^n =/= A^n B^n.

Można też rozważać wykładniki ujemne oraz dużo rzadziej używane wykładniki ułamkowe. Wykładniki niewymierne też są teoretycznie możliwe, choć przy użyciu bardziej zaawansowanych narzędzi jak logarytm i eksponens macierzy -- podobnie jak przy ogólnym potęgowaniu liczb zespolonych. Taka definicja pozwala nawet na podnoszenie macierzy do potęgi macierzowej, jednak jest to głównie ciekawostka.

Wyznacznik złożenia to iloczyn wyznaczników – tak brzmi twierdzenie Cauchy'ego. Mówiąc bardziej abstrakcyjnie: wyznacznik jest homomorfizmem składania endomorfizmów i mnożenia macierzy kwadratowych.

Grupy i pierścienie endomorfizmów

• ogólna grupa liniowa: GL(n);
• szczególna (specjalna) grupa liniowa: SL(n).

Istotne są też inne grupy, np. ortogonalne i unitarne, jednak są zdefiniowane za pomocą pojęć wyłożonych dalej.

Za pomocą macierzy nxn można też reprezentować elementy n-tej grupy permutacji. Na mocy twierdzenia Cayleya pozwala to przedstawiać elementy dowolnej grupy skończonej.