Algebra liniowa/Wyznaczniki

Motywacja geometryczna

Wyznacznik opisuje zorientowaną miarę układu wektorów; w przypadku dwuwymiarowym jest to skierowane pole powierzchni, a w trójwymiarowym -- skierowana objętość. Taka nieformalna definicja pozwala na wyprowadzenie wzorów dla tych szczególnych przypadków, a także definicji aksjomatycznej, którą można uogólnić na dowolny wymiar.

Ogólna definicja

W ogólności wyznacznik to forma n-liniowa, antysymetryczna i wynosząca 1 na bazie kanonicznej. Czasem formy n-liniowe antysymetryczne nazywa się formami objętości.

Aspekt obliczeniowy

Definicja prowadzi do wzoru permutacyjnego (Leibniza?), jednak jest on bardzo nieefektywny obliczeniowo. Uproszczenie go rozwinięciem Laplace'a działa w wyjątkowych sytuacjach, kiedy macierz zawiera wiele zer. Efektywne metody obliczania wyznacznika są oparte na schodkowaniu i na opisanej dalej diagonalizacji.

Wzory Cramera

Pozwalają one na rozwiązywanie niektórych układów równań liniowych. W szczególności to na nich opiera się opisany dalej wzór na macierz odwrotną.