Analiza matematyczna/Całka podwójna

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

W układzie współrzędnych dany mamy prostokąt :

oraz funkcję określoną i ograniczoną na tym prostokącie.

nazywać będziemy podział na prostokąty o polach równych i przekątnych długości , prowadząc proste równoległe do osi współrzędnych.

– średnica podziału, największa spośród liczb

– Suma całkowa funkcji dwóch zmiennych na całym prostokącie.

Zmiana całki podwójnej na iterowaną[edytuj]

Aby obliczyć całkę podwójną, najłatwiej przekształcić ją w całkę iterowaną

, gdzie , , ,  to odpowiednie boki prostokąta

Przykład
Obliczanie całki na prostokącie na prostokącie


Interpretacje całki podwójnej[edytuj]

  1. Jeśli jest tożsamościowo równa 1 (), to:
        – pole prostokąta
  2. Jeśli jest ciągła na i nie przyjmuje w żadnym punkcie ujemnych wartości (), to:
        – objętość bryły ograniczonej płaszczyznami: i powierzchnią dla
  3. gęstość -> masa
  4. środek ciężkości