Analiza matematyczna/Ciągłość funkcji
Ciągłość funkcji
[edytuj]Jedną z własności funkcji jest jej ciągłość. Intuicyjnie możemy rozumieć funkcję ciągłą jako taką, której wykres możemy narysować bez odrywania ręki. Funkcja jednak może wykazywać różną ciągłość w różnych punktach wykresu. Przybliżymy sobie pojęcie ciągłości w punkcie.
![]() |
DEFINICJA Funkcja określona na przedziale jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy oraz . |
Przyjrzyjmy się funkcji:
Interesować nas będzie punkt 1; musimy sprawdzić wpierw, czy istnieje dla tej funkcji w tym punkcie obustronna granica. Łatwo możemy potwierdzić jej istnienie. Lewostronna granica funkcji będzie równa:
Prawostronna zaś:
Zatem . Widzimy też, że , więc funkcja ta jest ciągła w punkcie 1.
Po narysowaniu wykresu funkcji możemy zobaczyć, iż rzeczywiście jest ona ciągła w tym punkcie:
Oprócz ciągłości w punkcie, możemy mówić o ciągłości w przedziale oraz w zbiorze:
![]() |
DEFINICJA Funkcja jest ciągła w przedziale , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie należącym do . Funkcja jest ciągła w zbiorze , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie należącym do . |
Podstawowe własności funkcji ciągłych
[edytuj]![]() |
TWIERDZENIE Jeżeli funkcje i są ciągłe w , to funkcje oraz również są ciągłe w . Ponadto jeśli , funkcja również będzie ciągła w punkcie . |
![]() |
TWIERDZENIE Funkcja tożsamościowa oraz funkcja stała będą ciągłe w każdym . |
Z powyższych własności wynika, że:
- Każdy wielomian jest ciągły w zbiorze .
- Każda funkcja wymierna jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny, czyli w zbiorze z wyłączeniem pierwiastków wielomianu .
W przygotowaniu:
|