Analiza matematyczna/Ciągłość funkcji

Ciągłość funkcji

Jedną z własności funkcji jest jej ciągłość. Intuicyjnie możemy rozumieć funkcję ciągłą jako taką, której wykres możemy narysować bez odrywania ręki. Funkcja jednak może wykazywać różną ciągłość w różnych punktach wykresu. Przybliżymy sobie pojęcie ciągłości w punkcie.

DEFINICJA Funkcja $f(x)$ określona na przedziale $(p,q)$ jest ciągła w punkcie $a$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a\in (p,q)$ oraz $f(a)=\lim _{x\to a}f(x)$.

Przyjrzyjmy się funkcji:

$f(x)={\begin{cases}x+3,&x\leqslant 1\\-x^{2}+2x+3,&x>1\end{cases}}$

Interesować nas będzie punkt 1; musimy sprawdzić wpierw, czy istnieje dla tej funkcji w tym punkcie obustronna granica. Łatwo możemy potwierdzić jej istnienie. Lewostronna granica funkcji będzie równa:

$\lim _{x\to 1^{-}}(x+3)=1+3=4$

Prawostronna zaś:

$\lim _{x\to 1^{+}}(-x^{2}+2x+3)=-(1^{2})+2\cdot 1+3=-1+2+3=4$

Zatem $\lim _{x\to 1}f(x)=4$. Widzimy też, że $f(1)=1+3=4=\lim _{x\to 1}f(x)$, więc funkcja ta jest ciągła w punkcie 1.

Po narysowaniu wykresu funkcji możemy zobaczyć, iż rzeczywiście jest ona ciągła w tym punkcie:

Oprócz ciągłości w punkcie, możemy mówić o ciągłości w przedziale oraz w zbiorze:

DEFINICJA Funkcja $f(x)$ jest ciągła w przedziale $(p,q)$, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie należącym do $(p,q)$. Funkcja $f(x)$ jest ciągła w zbiorze $A$, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie należącym do $A$.

Podstawowe własności funkcji ciągłych

TWIERDZENIE Jeżeli funkcje $f(x)$ i $g(x)$ są ciągłe w $a$, to funkcje $f(x)\pm g(x)$ oraz $f(x)\cdot g(x)$ również są ciągłe w $a$. Ponadto jeśli $g(a)\neq 0$, funkcja ${\frac {f(x)}{g(x)}}$ również będzie ciągła w punkcie $a$.

TWIERDZENIE Funkcja tożsamościowa $f(x)=x$ oraz funkcja stała $g(x)=a$ będą ciągłe w każdym $x\in \mathbb {R}$.

Z powyższych własności wynika, że:

• Każdy wielomian $W_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ jest ciągły w zbiorze $\mathbb {R}$.
• Każda funkcja wymierna $f(x)={\frac {W_{m}(x)}{W_{n}(x)}}={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}$ jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny, czyli w zbiorze $\mathbb {R}$ z wyłączeniem pierwiastków wielomianu $W_{n}(x)$.