Analiza matematyczna/Ciągłość funkcji

Ciągłość funkcji

Jedną z własności funkcji jest jej ciągłość. Intuicyjnie możemy rozumieć funkcję ciągłą jako taką, której wykres możemy narysować bez odrywania ręki. Funkcja jednak może wykazywać różną ciągłość w różnych punktach wykresu. Przybliżymy sobie pojęcie ciągłości w punkcie.

DEFINICJA

Funkcja $f (x)$ określona na przedziale $(p, q)$ jest ciągła w punkcie $a$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a \in (p, q)$ oraz $f (a) = lim_{x \to a} f (x)$ .

Przyjrzyjmy się funkcji:

f (x) = {\begin{matrix} x + 3, & x ⩽ 1 \\ - x^{2} + 2 x + 3, & x > 1 \end{matrix}

Interesować nas będzie punkt 1; musimy sprawdzić wpierw, czy istnieje dla tej funkcji w tym punkcie obustronna granica. Łatwo możemy potwierdzić jej istnienie. Lewostronna granica funkcji będzie równa:

lim_{x \to 1^{-}} (x + 3) = 1 + 3 = 4

Prawostronna zaś:

lim_{x \to 1^{+}} (- x^{2} + 2 x + 3) = - (1^{2}) + 2 \cdot 1 + 3 = - 1 + 2 + 3 = 4

Zatem $lim_{x \to 1} f (x) = 4$ . Widzimy też, że $f (1) = 1 + 3 = 4 = lim_{x \to 1} f (x)$ , więc funkcja ta jest ciągła w punkcie 1.

Po narysowaniu wykresu funkcji możemy zobaczyć, iż rzeczywiście jest ona ciągła w tym punkcie:

Oprócz ciągłości w punkcie, możemy mówić o ciągłości w przedziale oraz w zbiorze:

DEFINICJA

Funkcja $f (x)$ jest ciągła w przedziale $(p, q)$ , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie należącym do $(p, q)$ .

Funkcja $f (x)$ jest ciągła w zbiorze $A$ , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie należącym do $A$ .

Podstawowe własności funkcji ciągłych

TWIERDZENIE

Jeżeli funkcje $f (x)$ i $g (x)$ są ciągłe w $a$ , to funkcje $f (x) \pm g (x)$ oraz $f (x) \cdot g (x)$ również są ciągłe w $a$ .

Ponadto jeśli $g (a) \neq 0$ , funkcja $\frac{f (x)}{g (x)}$ również będzie ciągła w punkcie $a$ .

TWIERDZENIE

Funkcja tożsamościowa $f (x) = x$ oraz funkcja stała $g (x) = a$ będą ciągłe w każdym $x \in ℝ$ .

Z powyższych własności wynika, że:

Każdy wielomian $W_{n} (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ jest ciągły w zbiorze $ℝ$ .
Każda funkcja wymierna będąca ilorazem wielomianów $f (x) = \frac{W_{m} (x)}{W_{n} (x)}$ jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.