Analiza matematyczna/Ciągi i szeregi liczbowe/Przykład 3

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log n}{n^{3}}}$

Jeżeli pod znakiem sumy szeregu pojawia się funkcja logarytmiczna, konieczne może się okazać skorzystanie z kryterium porównawczego. Skorzystamy w tej sytuacji z zależności:

$\ln x<x$

Teraz doprowadzimy wyrażenie do postaci zawierającej logarytm naturalny i dokonamy porównania:

${\frac {\log n}{n^{3}}}=$

$={\frac {\ln n}{\ln 10\cdot n^{3}}}<{\frac {n}{\ln 10\cdot n^{3}}}=$

$={\frac {1}{\ln 10}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}$

Szereg $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}$ jest zbieżny dla $\alpha >1$.

Zatem, ponieważ wyrazy naszego wyjściowego szeregu były szacowane od góry, to szereg ten jest także zbieżny na mocy kryterium porównawczego.