Analiza matematyczna/Ciągi i szeregi liczbowe/Przykład 4

$\sum _{n=1}^{\infty }\ln {\frac {n^{2}+1}{n^{2}}}$

Występuje pod znakiem sumy szeregu funkcja logarytmiczna. Naturalne zatem wydaje się skorzystanie z zależności:

$\ln x<x$

Otrzymamy wówczas:

$\ln {\frac {n^{2}+1}{n^{2}}}<{\frac {n^{2}+1}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{n^{2}}}$

Co niestety nie rostrzyga o zbieżności naszego wyjściowego szeregu, gdyż:

$\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{n^{2}}})=1$

Pozostaje zatem spróbować skorzystać z innej podobnej zależności funkcji logarytmicznej:

$\ln x\leq x-1$

Wtedy otrzymamy:

$\ln {\frac {n^{2}+1}{n^{2}}}\leq {\frac {n^{2}+1}{n^{2}}}-1=$

$={\frac {n^{2}+1-n^{2}}{n^{2}}}={\frac {1}{n^{2}}}$

A zatem:

$\lim _{n\to \infty }({\frac {1}{n^{2}}})<1$

Stąd odpowiedź, że nasz wyjściowy szereg jest zbieżny.