Analiza matematyczna/Ciągi i szeregi liczbowe/Przykład 5

Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}+3^{n}}{4^{n}+5^{n}}}\;$

Można ten problem rozwiązać na trzy sposoby:

Sposób 1

Z kryterium Cauchy'ego dla szeregów liczbowych otrzymamy zależność:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {2^{n}+3^{n}}{4^{n}+5^{n}}}}=\;$

$={\frac {\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{2^{n}+3^{n}}}}{\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{4^{n}+5^{n}}}}}=\;$

Prawdziwe są jednak nierówności:

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{3^{n}}}<\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{2^{n}+3^{n}}}<\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{2\cdot 3^{n}}}\;$

oraz

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{5^{n}}}<\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{4^{n}+5^{n}}}<\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{2\cdot 5^{n}}}\;$

Skąd otrzymujemy ostatecznie:

$={\frac {3}{5}}\;$

Zatem z kryterium Cauchy'ego nasz wyjściowy szereg jest zbieżny.

Sposób 2

Oszacujemy od góry wyrażenie pod znakiem sumy:

${\frac {2^{n}+3^{n}}{4^{n}+5^{n}}}<{\frac {2\cdot 3^{n}}{2\cdot 4^{n}}}={\left({\frac {3}{4}}\right)}^{n}\;$

Co na mocy I-go kryterium porównawczego oznacza, że szereg jest zbieżny.