Analiza matematyczna/Ciągi i szeregi liczbowe/Przykład 6

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:

Skorzystamy tym razem z kryterium całkowego, w związku z czym musimy zbadać funkcję całkowalną taką, że:

Wówczas jeżeli istnieje całka niewłaściwa , to jest to równoważne zbieżności szeregu .

Zatem należy zbadać istnienie całki:

Po podstawieniu oraz otrzymamy:

Po kolejnym analogicznym podstawieniu:

Co, po powrocie do pierwotnych zmiennych, da nam:

Ostatecznie całka oznaczona będzie miała postać:

Ponieważ całka niewłaściwa nie istnieje, szereg jest rozbieżny.