Analiza matematyczna/Przebieg zmienności funkcji

Przebieg zmienności funkcji. Pokazuję nam przyblizony wykres funkcji.

Aby zbadać przebieg zmienności funkcji musimy sprawdzić następujące rzeczy:

1. Dziedzinę (Najczęściej R bez jakiejś części).
2. Granice na wszystkch końcach dziedziny (nie dotyczy wielomianów)
3. Parzystość i nieparzystość
4. Monotoniczność i ekstrema funkcji
5. Wypukłości i punkty przegięcia
6. Miejsca zerowe
7. Miejsce przecięcia z osią OY

Dziedzina funkcji

Dziedziną funkcji jest najczęściej zbiór liczb rzeczywistych, jednakże wiele funkcji ma mniejsze dziedziny np.

${\frac {a}{x}},\quad D_{x}=R\setminus \{0\}$

${\sqrt[{a}]{x}},\quad D_{x}=[0,\infty )$

$log_{a}x,\quad D_{x}=(0,\infty )$

$a^{x},\quad D_{x}=(0,\infty )\cup Z$

Granice

W przypadku kiedy dziedziną funkcji jest całe R granic zazwyczaj się nie określa. W przeciwnym jednak wypadku badamy granice we wszystkich krańcach fragmentów dziedziny. Co istotne, jeśli z dziedziny wyrzucamy jeden punkt, to należy policzyć zarówno granicę lewo jak i prawostronną. Więcej o granicach w dziale Granice funkcji

Parzystość i nieparzystość

Parzystość i nieprzystość funkcji mówi nam, czy istnieje symetria względem punktu $<0.0>$ lub osi OY. W przypadku stwierdzenia symetrii, czyli parzystości bądź nieparzystości funkcji, zajmujemy się tylko argumentami dodatnimi, gdyż ujemna część wykresu powstaje przez odbice.

funkcja parzysta

funkcja spełniająca równanie $f(-x)=f(x)$;

funkcja nieparzysta

funkcja spełniająca równanie $f(-x)=-f(x)$.

Uwaga To że funkcja nie jest parzysta nie oznacza odrazu, że funkcja jest nieparzysta! Jedyną fukcją jednocześnie parzystą i nieparzystą jest $y=0$

Monotoniczność i ekstrema funkcji

W celu określenia monotoniczności i ekstremów funkcji najwygodniej jest posłużyć się do tego pierwszą pochodną. W ekstremach pochodna się zeruje. Jednakże jeśli pochodna w punkcie jest równa zero nie oznacza to, że pochodna tam musi być, wykorzystując jednak prawo kontrapozycji możemy stwierdzić, że jeśli pochodna jest różna od zera to tam nie może być ekstremów. Żeby upewnić się czy w danym punkcie jest ekstremum możemy albo sprawdzić znak pochodnej w sąsiedztwie prawo i lewostronnym albo policzyć drugą pochodną w punkcie. Jeśli wyjdzie nam że pochodna najpierw była dodatnia a potem ujemna znaczy to że mamy maksimum lokalne jeśli z lewej strony jest ujemna a z prawej dodatnia to mamy minimum, jeśli jednak nie zmieniła znaku to żadnego ekstremum tam nie ma (jednakże może być w tym miejscu coś ciekawego). W przypadku policzenia drugiej pochodnej jeśli druga pochodna jest dodatnia to mamy minimum a jeśli ujemna maksimum jeśli zero to najprawdopodobniej jakiś punkt przegięcia.

Przykład Znana nam dobrze funkcja kwadratowa $y=x^{2}$
liczymy pochodną
$y'=2x$
zerujemy pochodną
$y'=0\Leftrightarrow 2x=0\Leftrightarrow x=0$
czyli $x=0$ jest podejrzane o bycie ekstremum sprawdzamy $y'>0\Leftrightarrow 2x>0\Leftrightarrow x>0$
i $y'<0\Leftrightarrow 2x<0\Leftrightarrow x<0$
wniosek pochodna zmienia znak więc w punkcie $x=0$ jest ekstremum a dokładnie minimum lokalne

Przykład 2 Znana nam dobrze funkcja $y=x^{3}$ liczymy pochodną
$y'=3x^{2}$
zerujemy pochodną
$y'=0\Leftrightarrow 3x^{2}=0\Leftrightarrow x=0$
czyli $x=0$ jest podejrzane o być ekstremum sprawdzamy $y'>0\Leftrightarrow 3x^{2}>0\Leftrightarrow x\in R\setminus \{0\}$
i $y'<0\Leftrightarrow 3x^{2}<0$
takich punktów w zbiorze liczb rzeczywistych nie ma.
wniosek pochodna nie zmienia znaku więc w punkcie $x=0$ nie ma ekstremum.

Wypukłość i punkty przegięcia

Wypukłość i punkty przegięcia liczy się w sposób analogiczny do monotoniczności i ekstremów z tą różnicą że zamiast pierwszej używamy drugą a zamiast drugiej trzecią pochodną oraz tym że jeśli druga pochodna jest dodatnia to funkcja jest wypukła w górę a jeśli ujemna to w dół natomiast w miejscach zerowania się drugiej pochodnej mogą wystąpić punkty przegięcia (chociaż nie muszą).

Miejsca zerowe

Po policzeniu dziedziny, granic, parzystości, monotoniczności i wypukłości nadchodzi czas na miejsca zerowe. Miejsc zerowych może być: jedno, dwa, kilka, nieskończenie wiele lub wcale. Nie ma żadnego uniwersalnego wzoru na miejsca zerowe tak jak to było w przypadku ekstremów lub punktów przegięcia. Czasem nawet miejsca zerowe możemy podać tylko z pewnym przybliżeniem a czasem jedynie stwierdzić że jest przynajmniej jedno (nie mogąc wskazać nawet konkretnej ilości takich miejsc). Miejsca zerowe są jednak istotne gdyż w miejscach zerowych z funkcją może się coś dziać. Może okazać się, że naszą funkcje byśmy chcieli złożyć z funkcją, która może przyjmować tylko wartości dodatnie lub nie może przyjmować wartości 0.

Można jednak podać kilka właściwości miejsc zerowych: 1. funkcja stała nie ma miejsc zerowych z wyjątkiem funkcji $y=0$, która ma ich nieskończenie wiele
2. Wielomian nie może mieć wiecej miejsc zerowych niż stopień najwyższej potęgi (może mieć mniej a nawet wcale)
3. Funcja liniowa postaci $y=ax+b$, która nie jest stała ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe ${\frac {-b}{a}}$
4. Jeżeli funkcja ciągła zmienia znak to musi mieć przynajmniej jedno miejsce zerowe.

Miejsce zerowe funkcji X0

X0-Miejsce zerowe funkcji, jest to taka wartość x dla której y=0 (w tym miejscu wykres przecina oś x)

Przykład:

y=0

y(x)=0

y(x)=-3x-1

0=-3x-1

x=-1/3

Przykład badania zmienności funkcji

Przykład 1

Dobrze nam znana funkcja $x^{2}$

1.$D_{x}=R$ Gdyż to wielomian
2.Granice w $+\infty$ i $-\infty$ równe $\infty$, ale i tak to wielomian więc to jest opcjonalne
3.$f(x)=x^{2},f(-x)=x^{2},-f(x)=-x^{2}$ Funkcja jest parzysta
4.$y=x^{2}$
liczymy pochodną
$y'=2x$
zerujemy pochodną
$y'=0\Leftrightarrow 2x=0\Leftrightarrow x=0$
czyli $x=0$ jest podejrzane o bycie ekstremum sprawdzamy $y'>0\Leftrightarrow 2x>0\Leftrightarrow x>0$
i $y'<0\Leftrightarrow 2x<0\Leftrightarrow x<0$
wniosek pochodna zmienia znak więc w punkcie $x=0$ jest ekstremum a dokładnie minimum lokalne
5.$y=x^{2}$
liczymy pochodną
$y'=2x$
potem drugą pochodną $y''=2$
zerujemy drugą pochodną
$y'=0\Leftrightarrow 2=0$
jednak $2\neq 0,2>0$
więc nie mamy punktów przegięca, funkcja jest wypukła w dół.
6. $y=0\Leftrightarrow x^{2}=0\Leftrightarrow x=0$
7. $y=0^{2}\Leftrightarrow y=0$

Koniec teraz wszystko wkładamy w tabele

.	$-\infty$	$(-\infty ,0)$	0	$(0,\infty )$	$\infty$
y'	-	-	0	+	+
y	+	+	+	+	+
y	$\infty$	$\searrow$	0	$\nearrow$	$\infty$