Analiza matematyczna/Przebieg zmienności funkcji zadania/Odpowiedzi

Zad1.1

Funkcja $y=x^{3}-x^{2}-x$

Dziedzina: R (Bo to wielomian)
Granice: w $\infty ,\infty$ w $-\infty ,-\infty$
Parzystość i nieparzystość: $f(x)=x^{3}-x^{2}-x,f(-x)=-x^{3}-x^{2}+x,-f(x)-x^{3}+x^{2}+x$ Funkcja nie jest parzysta ani nieparzysta
Monotoniczność i ekstrema:
Funkcja $y=x^{3}-x^{2}-x$
Pochodna $y'=3x^{2}-2x-1$
$y'=0\Leftrightarrow 0=3x^{2}-2x-1\Leftrightarrow x={\frac {-1}{3}}\lor x=1$
$y'>0\Leftrightarrow 0>3x^{2}-2x-1\Leftrightarrow x<{\frac {-1}{3}}\lor x>1$
$y'<0\Leftrightarrow 0<3x^{2}-2x-1\Leftrightarrow x>{\frac {-1}{3}}\land x<1$
czyli w punktach $x_{1}={\frac {-1}{3}}$ i $x_{2}=1$ Mamy ekstrema
Wypukłość i punkty przegięcia: Druga pochodna$y''=6x-2$ $y''=0\Leftrightarrow 6x-2=0\Leftrightarrow x={\frac {1}{3}}$ $y''>0\Leftrightarrow 6x-2>0\Leftrightarrow x<{\frac {1}{3}}$ $y''<0\Leftrightarrow 6x-2<0\Leftrightarrow x>{\frac {1}{3}}$ czyli w punkcie $x_{1}={\frac {-1}{3}}$ mamy punkt przegięcia do tego punktu funkcja jest wypukła w górę a za nim w dół.
Miejsca zerowe
$0=x^{3}-x^{2}-x$
$0=x(x^{2}-x-1)\Leftrightarrow x={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}},x=0,x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$
Przecięcie z osią OY
$y=0^{3}-0^{2}-0\Leftrightarrow y=0$

Koniec teraz wszystko wkładamy w tabele

.

$-\infty$

$(-\infty ,{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}})$

${\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$

$({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}},{\frac {-1}{3}})$

${\frac {-1}{3}}$

$({\frac {-1}{3}},0)$

$0$

$(0,1)$

$1$

$(1,{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})$

${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

$({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\infty$

$\infty$

y'

+

+

+

+

0

-

-

-

0

+

+

+

+

y

-

-

-

-

0

+

+

+

+

+

+

+

+

y

$\infty$

$\nearrow$

0

$\nearrow$

${\tfrac {-10}{27}}$

$\searrow$

0

$\searrow$

-1

$\nearrow$

0

$\nearrow$

$\infty$

Zad 1.2

Funkcja:${\sqrt {x}}$
Dziedzina: $<0,\infty )$
Granice
$\lim _{x\rightarrow 0}{\sqrt {x}}=0$
$\lim _{x\rightarrow \infty }{\sqrt {x}}=\infty$
Parzystość i nieparzystość Funkcja ma nie symetryczną dziedzinę więc nie może być ani parzysta ani nieparzysta
Monotoniczność i ekstrema $y'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$
$y'=0\Leftrightarrow {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}=0,\forall x{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}>0$ Funkcja stale rosnąca
wypukłość i pinkty przegięcia
$y''=-{\frac {1}{4{\sqrt[{2}]{3}}}}$
$y''=-{\frac {1}{4{\sqrt[{2}]{x^{3}}}}}=0,\forall x=-{\frac {1}{4{\sqrt[{2}]{x^{3}}}}}<0$
Funkcja stale wypukła w górę
Miejsca zerowe
$0={\sqrt {x}}\Leftrightarrow x=0$
Miejsce przecięcia z osią OY $y={\sqrt {0}}\Leftrightarrow y=0$

I tabelka

.	0	$(0,\infty )$	$\infty$
y'	+	+	+
y	-	-	-
y	0	$\nearrow$	$\infty$

Zad1.4

${\frac {sinx}{x}}$
Dziedzina: R\{0} (mianownik musi być różny od zera)
Granice:
$\lim _{x\rightarrow 0^{-}}{\frac {sinx}{x}}=1$
$\lim _{x\rightarrow 0^{+}}{\frac {sinx}{x}}=1$
$\lim _{x\rightarrow -\infty }{\frac {sinx}{x}}=0$
$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {sinx}{x}}=0$
Parzystość i nieparzystość
$f(-x)={\frac {-sinx}{-x}}={\frac {sinx}{x}}$
Funkcja jest parzysta Nieparzystości sprawdzać nietrzeba
Ekstrema i monotoniczność
$y'=cosx$
Ekstrema $y=k\pi +{\frac {\pi }{2}}$
Funkcja rośnie $y\subset (2k\pi -{\frac {\pi }{2}},2k\pi +{\frac {\pi }{2}})$
Funkcja maleje $y\subset (2k\pi +{\frac {\pi }{2}},2k\pi -{\frac {\pi }{2}})$
Punkty przegięcia
$y''=-sinx$
Punkty przegięcia $k\pi$
Funkcja wygięta w górę $(2k\pi ,2x\pi +\pi )$
Funkcja wygięta w dół$(2k\pi +\pi ,2x\pi )$
Miejsca zerowe
$y=k\pi$
Przecięcie z osią OY Poza dziedziną

Zad1.5

$y=e^{\frac {1}{1-x^{2}}}$
Dziedzina: R\{-1,1}
Granice:
$\lim _{x\rightarrow \infty }e^{\frac {1}{1-x^{2}}}=1$
$\lim _{x\rightarrow -\infty }e^{\frac {1}{1-x^{2}}}=1$
$\lim _{x\rightarrow -1^{-}}e^{\frac {1}{1-x^{2}}}=0$
$\lim _{x\rightarrow -1^{+}}e^{\frac {1}{1-x^{2}}}=\infty$