Analiza matematyczna/Przykład ciągu 1

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zbadać zbieżność ciągu:

, dla

Sprawdzamy czy ciąg funkcyjny jest zbieżny punktowo. Ustalamy w tym celu i traktujemy jako ciąg liczbowy. Otrzymujemy zatem granicę punktową:

Dla brak zbieżności jednostajnej, gdyż ciąg funkcji ciągłych zmierza jednostajnie tylko do funkcji ciągłej. W tym przypadku dla mamy punkt nieciągłości funkcji granicznej.

Jednak dla przedziału , gdzie , funkcja graniczna jest funkcją ciągłą. Sprawdzamy zatem, czy jest to zbieżność jednostajna? Musi być w takim przypadku spełniony warunek:

Badamy zatem pochodną:

Wyrażenie pod supremum jest funkcją malejącą dla , stąd wniosek:

Zatem w powyższym przedziale występuje zbieżność jednostajna danej funkcji do .

Warto zauważyć, że dla wartość supremum jest równa 1, zatem wówczas brak zbieżności jednostajnej, pomimo ciągłości funkcji granicznej.