Zbadać zbieżność ciągu:
, dla
Sprawdzamy czy ciąg funkcyjny jest zbieżny punktowo. Ustalamy w tym celu
i traktujemy
jako ciąg liczbowy. Otrzymujemy zatem granicę punktową:
Dla
brak zbieżności jednostajnej, gdyż ciąg funkcji ciągłych zmierza jednostajnie tylko do funkcji ciągłej. W tym przypadku dla
mamy punkt nieciągłości funkcji granicznej.
Jednak dla przedziału
, gdzie
, funkcja graniczna jest funkcją ciągłą. Sprawdzamy zatem, czy jest to zbieżność jednostajna? Musi być w takim przypadku spełniony warunek:
Badamy zatem pochodną:
Wyrażenie pod supremum jest funkcją malejącą dla
, stąd wniosek:
Zatem w powyższym przedziale występuje zbieżność jednostajna danej funkcji do
.
Warto zauważyć, że dla
wartość supremum jest równa 1, zatem wówczas brak zbieżności jednostajnej, pomimo ciągłości funkcji granicznej.