Analiza matematyczna/Przykład szeregu 1

Dany jest szereg :

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+2}{3^{n}}}(x-1)^{2n}\;$

Zadanie:

1. obliczyć jego promień zbieżności,
2. wyznaczyć zbiór zbieżności,
3. obliczyć sumę szeregu

Jest to specyficzny szereg potęgowy, w którym współczynniki przy nieparzystych potęgach $(x-1)\;$ są równe zeru. Aby uprościć obliczenia wprowadzimy podstawienie:

$t=(x-1)^{2}\;$

Wówczas nasz szereg potęgowy przyjmie postać:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+2}{3^{n}}}t^{n}\;$

Promień zbieżności

Promień zbieżności szeregu potęgowego obliczymy ze wzoru

$R_{t}={\frac {1}{\lambda }}\;$ , gdzie $\lambda =\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\;$

$\lambda =\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n+3}{3^{n+1}}}{\frac {3^{n}}{n+2}}=$

$={\frac {1}{3}}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n+3}{n+2}}=\;$

$={\frac {1}{3}}\;$

Zatem szukany promień zbieżności szeregu uproszczonego ma wartość $R_{t}=3\;$ .

Przedział (zbiór) zbieżności

Dla szeregu uproszczonego mamy zatem:

$t\in (t_{0}-R_{t},t_{0}+R_{t})\;$

tzn.

$t\in (-3,3)\;$

Korzystając z zastosowanego wcześniej podstawienia otrzymamy:

$(x-1)^{2}\in (-3,3)\;$

$x-1\in (-{\sqrt {3}},{\sqrt {3}})\;$

$x\in (-{\sqrt {3}}+1,{\sqrt {3}}+1)\;$

Nie wiemy jednak, co dzieje się na końcach przedziału zbieżności. Aby to sprawdzić, podstawiamy wartości na końcach przedziałów do danego wzoru na szereg. W wyniku tego otrzymamy dwa szeregi liczbowe, których zbieżność należy zbadać. Jeżeli dany szereg liczbowy będzie zbieżny, to odpowiadający mu koniec możemy włączyć do zbioru (przedziału) zbieżności. W przeciwnym wypadku nie wolno nam tego zrobić.

Lewy koniec

Zatem dla $x=-{\sqrt {3}}+1\;$ otrzymamy szereg liczbowy:

Prawy koniec

Dla $x={\sqrt {3}}+1\;$ otrzymamy szereg liczbowy:

Suma szeregu

$\int _{1}^{x}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+2}{3^{n}}}(t-1)^{2n}\,dt\;$