Analiza matematyczna/Przykład szeregu 1

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Dany jest szereg :

Zadanie:

  1. obliczyć jego promień zbieżności,
  2. wyznaczyć zbiór zbieżności,
  3. obliczyć sumę szeregu

Jest to specyficzny szereg potęgowy, w którym współczynniki przy nieparzystych potęgach są równe zeru. Aby uprościć obliczenia wprowadzimy podstawienie:

Wówczas nasz szereg potęgowy przyjmie postać:


Promień zbieżności[edytuj]

Promień zbieżności szeregu potęgowego obliczymy ze wzoru

, gdzie

Zatem szukany promień zbieżności szeregu uproszczonego ma wartość .

Przedział (zbiór) zbieżności[edytuj]

Dla szeregu uproszczonego mamy zatem:

tzn.

Korzystając z zastosowanego wcześniej podstawienia otrzymamy:


Nie wiemy jednak, co dzieje się na końcach przedziału zbieżności. Aby to sprawdzić, podstawiamy wartości na końcach przedziałów do danego wzoru na szereg. W wyniku tego otrzymamy dwa szeregi liczbowe, których zbieżność należy zbadać. Jeżeli dany szereg liczbowy będzie zbieżny, to odpowiadający mu koniec możemy włączyć do zbioru (przedziału) zbieżności. W przeciwnym wypadku nie wolno nam tego zrobić.

Lewy koniec[edytuj]

Zatem dla otrzymamy szereg liczbowy:

Prawy koniec[edytuj]

Dla otrzymamy szereg liczbowy:

Suma szeregu[edytuj]