Analiza matematyczna/Przykład szeregu 2

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Obliczyć sumę szeregu potęgowego:

Szereg potęgowy można całkować wyraz po wyrazie, gdy jest jednostajnie zbieżny oraz zmienna jest w przedziale zbieżności.

Liniowego czynnika w liczniku ułamka pozbędziemy się całkując wyraz po wyrazie (mamy tu na myśli całkę oznaczoną od środka przedziału zbieżności do - zwróć uwagę, w którym miejscu pojawia się zmienna , a w którym zmienna ):

Wyrażenie zależne wyłącznie od wskaźnika możemy wyłączyć przed znak całki:

Po przeindeksowaniu wyrazów nasz szereg otrzyma znaną postać szeregu geometrycznego

którego suma jest równa:

Zatem ostatecznie dochodzimy do równania:

Stąd szukana suma szeregu ma wartość: