Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Obliczyć sumę szeregu potęgowego:
∑
n
=
1
∞
2
n
+
2
3
n
x
2
n
+
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n+2}{3^{n}}}x^{2n+1}}
Szereg potęgowy można całkować wyraz po wyrazie, gdy jest jednostajnie zbieżny oraz zmienna
x
{\displaystyle x}
Liniowego czynnika w liczniku ułamka pozbędziemy się całkując wyraz po wyrazie (mamy tu na myśli całkę oznaczoną od środka przedziału zbieżności do
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
t
{\displaystyle t}
∫
0
x
∑
n
=
1
∞
2
n
+
2
3
n
t
2
n
+
1
d
t
=
{\displaystyle \int _{0}^{x}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n+2}{3^{n}}}t^{2n+1}\,dt=}
Wyrażenie zależne wyłącznie od wskaźnika
n
{\displaystyle n}
=
∑
n
=
1
∞
2
n
+
2
3
n
∫
0
x
t
2
n
+
1
d
t
=
{\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n+2}{3^{n}}}\int _{0}^{x}t^{2n+1}\,dt=}
=
∑
n
=
1
∞
2
n
+
2
3
n
x
2
n
+
2
2
n
+
2
=
{\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n+2}{3^{n}}}{\frac {x^{2n+2}}{2n+2}}=}
=
∑
n
=
1
∞
(
x
2
)
n
+
1
3
n
=
{\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(x^{2})^{n+1}}{3^{n}}}=}
=
3
⋅
∑
n
=
1
∞
(
x
2
3
)
n
+
1
=
{\displaystyle =3\cdot \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {x^{2}}{3}}\right)^{n+1}=}
Po przeindeksowaniu wyrazów nasz szereg otrzyma znaną postać szeregu geometrycznego
=
3
⋅
∑
n
=
2
∞
(
x
2
3
)
n
=
.
.
.
=
{\displaystyle =3\cdot \sum _{n=2}^{\infty }\left({\frac {x^{2}}{3}}\right)^{n}=...=}
którego suma jest równa:
=
x
4
3
−
x
2
{\displaystyle ={\frac {x^{4}}{3-x^{2}}}}
Zatem ostatecznie dochodzimy do równania:
∑
n
=
1
∞
2
n
+
2
3
n
x
2
n
+
1
=
(
x
4
3
−
x
2
)
′
=
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n+2}{3^{n}}}x^{2n+1}=\left({\frac {x^{4}}{3-x^{2}}}\right)^{\prime }=}
−
2
x
5
+
12
x
4
(
3
−
x
2
)
2
{\displaystyle {\frac {-2x^{5}+12x^{4}}{(3-x^{2})^{2}}}}
Stąd szukana suma szeregu ma wartość:
S
(
x
)
=
−
2
x
5
+
12
x
4
(
3
−
x
2
)
2
{\displaystyle S(x)={\frac {-2x^{5}+12x^{4}}{(3-x^{2})^{2}}}}
