Analiza matematyczna/Przykład szeregu 3

Obliczyć sumę szeregu liczbowego:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n3^{n}}}=$

Powyższy szereg zapiszemy inaczej w postaci:

$=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{3}}\right)^{n}$

$R=1$

więc w przedziale

$x\in (-1,1)$

szereg jest zbieżny

Szukamy zatem sumy szeregu funkcyjnego

$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}$ dla $x={\frac {1}{3}}$

Czynnik liniowy zależny od indeksu $n$ znajduje się w mianowniku, stąd szereg będziemy różniczkować wyraz po wyrazie:

$S^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=$

$=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot {\frac {x^{n-1}}{n}}=$

$=\sum _{n=1}^{\infty }x^{n-1}=$

co po przeindeksowaniu przyjmie postać:

$=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=$

Jest to szereg geometryczny, którego suma jest równa:

$={\frac {1}{1-x}}$

Wracając do sumy wyjściowego szeregu otrzymujemy:

$S(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{1-t}}\,dt=$

$=-\ln(1-x)$

Co ostatecznie daje nam odpowiedź:

$S\left(x={\frac {1}{3}}\right)=-\ln {\frac {2}{3}}$