Analiza matematyczna/Przykład szeregu 5

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Rozwinąć w szereg potęgowy funkcje oraz w szereg potęgowy o środku w .

Wzór funkcji przekształcimy do postaci sumy szeregu geometrycznego:

co rozwiniemy właśnie do tego szeregu geometrycznego otrzymując:

Co jest szukanym rozwinięciem funkcji . Zauważymy również, że:

Całkując wyraz po wyrazie powyższy szereg otrzymamy rozwinięcie funkcji :

Na zakończenie należy jedynie zwrócić uwagę, że powyższe rozwinięcia są prawdziwe dla ze względu na przedział zbieżności rozpatrywanego na początku szeregu geometrycznego.