Analiza matematyczna/Przykład szeregu 6

Obliczyć sumę szeregu:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n(2n-1)}}x^{2n}$

W przypadku szereregów potęgowych zaczynamy od wyznaczenia przedziału zbieżności. W tym przypadku skorzystamy ze wzoru d'Alamberta:

$\lambda =\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=$

$=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {2n^{2}-n}{2n^{2}+3n+1}}\right|=1$

Otrzymujemy zatem promień zbieżności równy $R={\frac {1}{\lambda }}=1$ . Na końcach przedziału zbieżności dla $x=1$ oraz $x=-1$ szereg potęgowy przyjmuje postać szeregu liczbowego:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n(2n-1)}}$

...