Analiza matematyczna/Równania różniczkowe

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równania o zmiennych rozdzielonych[edytuj]

Przykład[edytuj]

Rozwiąż równanie różniczkowe przy warunku początkowym .

Otrzymaliśmy zatem rodzinę rozwiązań danego równania różniczkowego (tzw. całkę ogólną). Znając warunek początkowy, wyznaczamy całkę szczególną tego równania, podstawiając do powyższego wyniku . Otrzymujemy wówczas równanie:

Po podstawieniu otrzymanej wartości do całki ogólnej równania otrzymujemy:

Ostatecznie szczególnym rozwiązaniem danego równania jest funkcja:

Równania jednorodne[edytuj]

Równaniem jednorodnym nazywamy równanie postaci:

Po zastosowaniu podstawienia daje się ono sprowadzić do postaci równania o zmiennych rozdzielonych oraz . Wówczas:

Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji, otrzymujemy:

Przykład[edytuj]

Równania liniowe[edytuj]

(*)

r. jednorodne

r. niejednorodne

zamiana

wstawiamy do (*) to są (**)
wstawiamy do(*)

wstawiamy do (**)

Równania liniowe jednorodne[edytuj]

Równania liniowe niejednorodne[edytuj]

Równanie Bernoullego[edytuj]

Ogólna postać równania Bernoullego to:

gdzie , natomiast oraz – to dowolne funkcje rzeczywiste.

Po obustronnym podzieleniu równania przez otrzymujemy równanie postaci:

Po zastosowaniu podstawienia otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne.

przykład[edytuj]

Równanie dzielimy obustronnie przez

, gdzie

oraz wykonujemy podstawienie dla równania Bernoullego, w wyniku czego otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne o zmiennej niezależnej x oraz szukanej niewiadomej :

Skojarzone równanie jednorodne ma postać:

Jego rozwiązaniem ogólnym jest funkcja:

Szukamy następnie rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:

, gdzie ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji oraz pochodną funkcji złożonej otrzymujemy także:

Wyprowadzone powyżej zależności podstawiam do równania niejednorodnego:

W wyniku tej operacji powinno się zredukować. Jeżeli tak się nie stało, to oznacza, że gdzieś mógł się pojawić błąd obliczeniowy. Jeżeli wszytko obliczone jest poprawnie, powinniśmy otrzymać równanie:

Ponieważ szukamy rozwiązania szczególnego,
za stałą tego całkowania przyjmujemy .

Zatem

Wracając do postaci sprzed podstawienia Bernoullego, otrzymujemy:

Funkcja tożsamościowa nieobejmowana przez powyższe rozwiązanie także spełnia wyjściowe równanie.

Równanie zupełne[edytuj]

Czynnik całkujący[edytuj]

Równanie niebędące równaniem zupełnym być może po pomnożeniu przez czynnik zależny od jednej ze zmiennych niezależnych x lub y będzie równaniem zupełnym. Wówczas otrzymamy:

Wyprowadźmy zatem wzór na czynnik całkujący zależny od x. Spełnione ma być równanie postaci:

Po prawej stronie równania skorzystaliśmy z twierdzenia o pochodnej iloczynu funkcji. Po lewej stronie równania przed znak pochodnej cząstkowej wyłączono czynnik niezależny od zmiennej, po której liczymy pochodną:

Ostatecznie po obustronnym całkowaniu powyższego równania po zmiennej x szukany czynnik całkujący otrzymamy ze wzoru:

Analogicznie znajdziemy wzór na czynnik całkujący zależny od zmiennej y.

Równania wyższych rzędów[edytuj]

Równania II rzędu sprowadzane do równania I rzędu[edytuj]

Równania postaci możemy podzielić na dwie grupy równań. W zależności od typu równania, z jakim mamy do czynienia, przyjmiemy odpowiedni sposób rozwiązania.

Jawnie nie występuje zmienna zależna y[edytuj]

Rozpatrzmy przykładowe równanie . Po zastosowaniu wskazanego podstawienia otrzymujemy równanie postaci . Zmienna zależna została zastąpiona zmienną zależną . Rola zmiennej niezależnej nie zmieniła się. Otrzymujemy zatem równanie, którego ogólną postać zapiszemy jako:

Szukamy zatem rodziny funkcji zależnej od jednej stałej całkowania , a następnie – wracając do pierwszego podstawienia – wyznaczamy wartość rodziny funkcji zależnej ostatecznie od dwóch stałych całkowania oraz .

jawnie nie występuje zmienna niezależna x[edytuj]

W opisywanym przypadku po zastosowaniu przytoczonego obok podstawienia zmieni się rola zmiennej zależnej y(x), która w otrzymanym równaniu będzie zmienną niezależną. Natomiast pojawi się zmienna zależna . Ostatecznie zatem otrzymamy równanie, którego ogólną postać możemy zapisać jako:

Przykład[edytuj]

Po podstawieniu otrzymujemy równanie postaci:

Jest ono równaniem Bernouliego o niewiadomej funkcji . Zatem po zastosowaniu podstawienia Bernouliego otrzymamy równanie liniowe niejednorodne.

c.d.n.

Równanie n-tego rzędu o stałych współczynnikach[edytuj]

Metoda uzmienniania stałych na przykładzie[edytuj]

Najpierw rozwiązujemy jednorodne:

Konstruujemy wielomian charakterystyczny

Stąd mamy rozwiązanie w postaci:

Teraz uzmienniamy stałe

Następnie tworzymy układ :

Rozwiązujemy układ w celu wyznaczenia i