Analiza matematyczna/Rachunek różniczkowy

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Pochodna funkcji[edytuj]

Definicja
Pochodną funkcji f(x) w punkcie x0 nazywamy:

Spotyka się również inne oznaczenia pochodnej funkcji:

Jeżli założymy, że jest równaniem prostej stycznej do wykresu funkcji f, to wartość pochodnej interpretujemy jako współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie . Możemy zatem zapisać:

, gdzie to kąt zawarty pomiędzy styczną do wykresu funkcji a półosią x.

W praktyce przy liczeniu pochodnej korzystać będziemy z tablic i twierdzeń przedstawionych poniżej. Czasami jednak w trudniejszych przypadkach możemy stanąć przed koniecznością skorzystania z definicji. W celu udowodnienia twierdzeń o pochodnych także konieczne będzie skorzystanie bezpośrednio z definicji.

Pochodna sumy funkcji[edytuj]

Twierdzenie
Dla funkcji różniczkowalnych f  i g:


Przykład


Pochodna iloczynu funkcji[edytuj]

Twierdzenie
Dla funkcji różniczkowalnych f  i g:


Jeżeli liczymy pochodną iloczynu trzech i więcej funkcji, powyższe twierdzenie należy zastosować iteracyjnie, tzn.

iloczyn wielu funkcji traktujemy jako iloczyn dwu prostszych funkcji. Następnie korzystamy ze znanego wzoru na pochodną iloczynu dwu funkcji.

Powyższy krok powtarzamy tak długo, aż pod znakiem pochodnej nie będzie więcej niż dwie funkcje.

Ostatecznie otrzymujemy długi, aczkolwiek prosty w wykorzystaniu wzór końcowy:

Pochodna ilorazu funkcji[edytuj]

Twierdzenie
Jeżeli dane są funkcje różniczkowalne :


Przykład



Pochodna funkcji złożonej[edytuj]

Twierdzenie
Dla funkcji różniczkowalnych f  i g:


Pochodne funkcji elementarnych[edytuj]

Funkcja Pochodna Uwagi

Pochodna cząstkowa funkcji[edytuj]

Ekstremum funkcji[edytuj]

Jeśli pierwsza pochodna funkcji jest w punkcie równa 0 i zmienia tam znak, to funkcja w tym punkcie posiada ekstremum.

  1. Jeśli pierwsza pochodna w punkcie z prawej strony jest ujemna (a z lewej strony dodatnia), to w punkcie ma maksimum lokalne.
  2. Jeśli pierwsza pochodna w punkcie z prawej strony jest dodatnia (a z lewej strony ujemna), to w punkcie ma minimum lokalne.
  • Jeśli druga pochodna w pukcie zmienia znak, to w punkcie ma punkt przegięcia.

Ekstremum funkcji wielu zmiennych[edytuj]

3xy+2x+1

Rotacja i dywergencja[edytuj]