Ten artykuł należy dopracować: niedokończone (sekcje na końcu są puste). Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu . Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować }} z tego artykułu.
Definicja 0 nazywamy:
f
′
(
x
0
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
0
+
h
)
−
f
(
x
0
)
h
{\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}
Spotyka się również inne oznaczenia pochodnej funkcji:
f
′
(
x
0
)
=
d
f
d
x
|
x
0
=
d
y
d
x
|
x
0
=
d
d
x
f
|
x
0
=
f
˙
(
x
0
)
{\displaystyle f'(x_{0})=\left.{\frac {df}{dx}}\right|_{x_{0}}=\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x_{0}}=\left.{\frac {d}{dx}}f\right|_{x_{0}}={\dot {f}}(x_{0})}
Jeżli założymy, że
y
=
a
x
+
b
{\displaystyle y=ax+b\,}
a
{\displaystyle a\,}
(
x
0
,
f
(
x
0
)
)
{\displaystyle {\Big (}x_{0},f(x_{0}){\Big )}}
f
′
(
x
0
)
=
tan
α
{\displaystyle f'(x_{0})=\tan \alpha \,}
α
{\displaystyle \alpha }
W praktyce przy liczeniu pochodnej korzystać będziemy z tablic i twierdzeń przedstawionych poniżej. Czasami jednak w trudniejszych przypadkach możemy stanąć przed koniecznością skorzystania z definicji. W celu udowodnienia twierdzeń o pochodnych także konieczne będzie skorzystanie bezpośrednio z definicji.
Twierdzenie Dla funkcji różniczkowalnych
f i
g :
[
f
+
g
]
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
+
g
′
(
x
)
{\displaystyle {\Big [}f+g{\Big ]}'(x)=f'(x)+g'(x)}
Przykład
y
=
x
2
+
x
{\displaystyle y=x^{2}+x}
y
′
=
[
x
2
+
x
]
′
{\displaystyle y'=[x^{2}+x]'}
y
′
=
[
x
2
]
′
+
[
x
]
′
{\displaystyle y'=[x^{2}]'+[x]'}
y
′
=
2
x
+
1
{\displaystyle y'=2x+1}
Pochodna iloczynu funkcji [ edytuj ] Twierdzenie Dla funkcji różniczkowalnych
f i
g :
[
f
⋅
g
]
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
⋅
g
(
x
)
+
f
(
x
)
⋅
g
′
(
x
)
{\displaystyle {\Big [}f\cdot g{\Big ]}'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)}
Jeżeli liczymy pochodną iloczynu trzech i więcej funkcji, powyższe twierdzenie należy zastosować iteracyjnie, tzn.
[
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
⋅
h
(
x
)
⋅
m
(
x
)
]
′
=
{\displaystyle {\Bigg [}f(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\cdot m(x){\Bigg ]}'=}
iloczyn wielu funkcji traktujemy jako iloczyn dwu prostszych funkcji. Następnie korzystamy ze znanego wzoru na pochodną iloczynu dwu funkcji.
=
f
′
(
x
)
⋅
g
(
x
)
⋅
h
(
x
)
⋅
m
(
x
)
+
f
(
x
)
⋅
[
g
(
x
)
⋅
h
(
x
)
⋅
m
(
x
)
]
′
=
{\displaystyle =f'(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\cdot m(x)\ +\ f(x)\cdot {\Big [}g(x)\cdot h(x)\cdot m(x){\Big ]}'=}
Powyższy krok powtarzamy tak długo, aż pod znakiem pochodnej nie będzie więcej niż dwie funkcje.
=
f
′
(
x
)
⋅
g
(
x
)
⋅
h
(
x
)
⋅
m
(
x
)
+
f
(
x
)
⋅
[
g
′
(
x
)
⋅
h
(
x
)
⋅
m
(
x
)
+
g
(
x
)
⋅
[
h
(
x
)
⋅
m
(
x
)
]
′
]
=
{\displaystyle =f'(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\cdot m(x)\ +\ f(x)\cdot {\Bigg [}g'(x)\cdot h(x)\cdot m(x)+g(x)\cdot {\Big [}h(x)\cdot m(x){\Big ]}'{\Bigg ]}=}
Ostatecznie otrzymujemy długi, aczkolwiek prosty w wykorzystaniu wzór końcowy:
=
f
′
(
x
)
⋅
g
(
x
)
⋅
h
(
x
)
⋅
m
(
x
)
+
f
(
x
)
⋅
[
g
′
(
x
)
⋅
h
(
x
)
⋅
m
(
x
)
+
g
(
x
)
⋅
[
h
′
(
x
)
⋅
m
(
x
)
+
h
(
x
)
⋅
m
′
(
x
)
]
]
=
{\displaystyle =f'(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\cdot m(x)\ +\ f(x)\cdot {\Bigg [}g'(x)\cdot h(x)\cdot m(x)+g(x)\cdot {\Big [}h'(x)\cdot m(x)+h(x)\cdot m'(x){\Big ]}{\Bigg ]}=}
Pochodna ilorazu funkcji [ edytuj ] Twierdzenie Jeżeli dane są funkcje różniczkowalne
f
(
x
)
,
g
(
x
)
≠
0
{\displaystyle f(x),g(x)\neq 0}
:
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
′
=
f
′
(
x
)
⋅
g
(
x
)
−
f
(
x
)
⋅
g
′
(
x
)
g
2
(
x
)
{\displaystyle \left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]'={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^{2}(x)}}}
Przykład
y
=
sin
x
x
{\displaystyle y={\frac {\sin x}{x}}}
y
′
=
(
cos
x
⋅
x
)
−
(
sin
x
⋅
1
)
x
2
{\displaystyle y'={\frac {(\cos x\cdot x)-(\sin x\cdot 1)}{x^{2}}}}
[ edytuj ] Twierdzenie Dla funkcji różniczkowalnych
f i
g :
(
f
∘
g
)
′
(
x
)
=
f
′
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)}
Pochodne funkcji elementarnych [ edytuj ]
Funkcja
Pochodna
Uwagi
c
{\displaystyle c}
0
{\displaystyle 0}
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
x
{\displaystyle x}
1
{\displaystyle 1}
x
n
{\displaystyle x^{n}}
n
x
n
−
1
{\displaystyle nx^{n-1}}
n
∈
R
{\displaystyle n\in \mathbb {R} }
a
x
+
b
{\displaystyle ax+b}
a
{\displaystyle a}
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
2
a
x
+
b
{\displaystyle 2ax+b}
a
x
{\displaystyle a \over x}
−
a
x
2
{\displaystyle -a \over x^{2}}
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
sin
x
{\displaystyle \sin x}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
−
sin
x
{\displaystyle -\sin x}
tg
x
{\displaystyle \operatorname {tg} x}
1
c
o
s
2
x
{\displaystyle 1 \over cos^{2}x}
x
≠
π
2
+
k
π
,
k
∈
Z
{\displaystyle x\neq {\pi \over 2}+k\pi ,\;k\in \mathbb {Z} }
ctg
x
{\displaystyle \operatorname {ctg} x}
−
1
sin
2
x
{\displaystyle -{1 \over \sin ^{2}x}}
x
≠
k
π
,
k
∈
Z
{\displaystyle x\not =k\pi ,\;k\in \mathbb {Z} }
e
x
{\displaystyle e^{x}}
e
x
{\displaystyle e^{x}}
a
x
{\displaystyle a^{x}}
a
x
ln
a
{\displaystyle a^{x}\ln a}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
x
x
{\displaystyle x^{x}}
x
x
(
1
+
ln
x
)
{\displaystyle x^{x}(1+\ln x)}
ln
x
{\displaystyle \ln x}
1
x
{\displaystyle 1 \over x}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
log
a
x
{\displaystyle \log _{a}x}
1
x
ln
a
{\displaystyle 1 \over x\ln a}
arcsin
x
{\displaystyle \operatorname {arcsin} x}
1
1
−
x
2
{\displaystyle 1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
arccos
x
{\displaystyle \operatorname {arccos} x}
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle -1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
arctg
x
{\displaystyle \operatorname {arctg} x}
1
1
+
x
2
{\displaystyle 1 \over 1+x^{2}}
arcctg
x
{\displaystyle \operatorname {arcctg} x}
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle -1 \over 1+x^{2}}
x
{\displaystyle {\sqrt {x}}}
1
2
x
{\displaystyle 1 \over 2{\sqrt {x}}}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
x
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}
1
n
x
n
−
1
n
{\displaystyle 1 \over n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle \operatorname {sinh} x={{e^{x}-e^{-x}} \over 2}}
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle \operatorname {cosh} x={{e^{x}+e^{-x}} \over 2}}
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle \operatorname {cosh} x={{e^{x}+e^{-x}} \over 2}}
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle \operatorname {sinh} x={{e^{x}-e^{-x}} \over 2}}
tgh
x
=
sinh
x
cosh
x
{\displaystyle \operatorname {tgh} x={\operatorname {sinh} x \over \operatorname {cosh} x}}
1
cosh
2
x
=
4
(
e
x
+
e
−
x
)
2
{\displaystyle {1 \over \operatorname {cosh} ^{2}x}={4 \over ({e^{x}+e^{-x}})^{2}}}
artgh
x
=
1
2
ln
1
+
x
1
−
x
{\displaystyle \operatorname {artgh} x={1 \over 2}\ln {1+x \over 1-x}}
1
1
−
x
2
{\displaystyle 1 \over 1-x^{2}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
arctgh
x
=
1
2
ln
x
+
1
x
−
1
{\displaystyle \operatorname {arctgh} x={1 \over 2}\ln {x+1 \over x-1}}
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle -1 \over 1-x^{2}}
|
x
|
>
1
{\displaystyle |x|>1\;}
ln
(
x
+
x
2
±
a
2
)
{\displaystyle \ln(x+{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}})}
1
x
2
±
a
2
{\displaystyle 1 \over {\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}}
[ edytuj ] Jeśli pierwsza pochodna funkcji jest w punkcie
x
0
{\displaystyle x_{0}\;}
Jeśli pierwsza pochodna
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)\;}
x
0
{\displaystyle x_{0}\;}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\;}
x
0
{\displaystyle x_{0}\;}
Jeśli pierwsza pochodna
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)\;}
x
0
{\displaystyle x_{0}\;}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\;}
x
0
{\displaystyle x_{0}\;}
Jeśli druga pochodna
f
″
(
x
)
{\displaystyle f''(x)\;}
x
0
{\displaystyle x_{0}\;}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\;}
x
0
{\displaystyle x_{0}\;}
Ekstremum funkcji wielu zmiennych [ edytuj ] 3xy+2x+1
![{\displaystyle {\Big [}f+g{\Big ]}'(x)=f'(x)+g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be4e61868649565589808b43bb84baa636bb1175)
![{\displaystyle y'=[x^{2}+x]'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7929dbf4c5d9fc3b6618257ad2961ddbfb4e32b)
![{\displaystyle y'=[x^{2}]'+[x]'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4b029dfc356c16d49d82fab49de6523bfded03b)
![{\displaystyle {\Big [}f\cdot g{\Big ]}'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8494e7719cd865cb844e21e025c5957acdb7c578)
![{\displaystyle {\Bigg [}f(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\cdot m(x){\Bigg ]}'=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a0aaa6bac74aa3cb40eefc0930458bee1e56214)
![{\displaystyle =f'(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\cdot m(x)\ +\ f(x)\cdot {\Big [}g(x)\cdot h(x)\cdot m(x){\Big ]}'=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f22ad06fc4377c0181a84d5399d114bce36651)
![{\displaystyle =f'(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\cdot m(x)\ +\ f(x)\cdot {\Bigg [}g'(x)\cdot h(x)\cdot m(x)+g(x)\cdot {\Big [}h(x)\cdot m(x){\Big ]}'{\Bigg ]}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53b1f4eb08a8194078781bd059a925b719b68bcb)
![{\displaystyle =f'(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\cdot m(x)\ +\ f(x)\cdot {\Bigg [}g'(x)\cdot h(x)\cdot m(x)+g(x)\cdot {\Big [}h'(x)\cdot m(x)+h(x)\cdot m'(x){\Big ]}{\Bigg ]}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029f568e7e97cad7a1b0f5440b0c0578e1c3a1a0)
![{\displaystyle \left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]'={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^{2}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8524e0461fd0a5c66ee20680ccf65807bf6acb9)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3ba2638d05cd9ed8dafae7e34986399e48ea99)
![{\displaystyle 1 \over n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e546ae1553e77a2f58a98618c6463fc1b07ccb12)
