Analiza matematyczna/Zakończenie

Obowiązująca do 2012 r. podstawa programowa filozofii w liceum wspominała jako jedną z kluczowych umiejętności znajdowanie milczących założeń w rozumowaniu.

Filozofia dzieli z matematyką wiele wątków, a wielu zgodzi się, że właśnie filozoficzny sposób myślenia przyczynił się do sukcesu matematyki starożytnych Greków i vice versa.

Podobnie, w całym pokazanym tutaj kursie przyjęto jedno ważne założenie: rozważane funkcje przyporządkowują liczbom rzeczywistym inne liczby rzeczywiste. Mimo to nawet szkolna definicja funkcji zaznacza, że funkcją jest każde jednoznaczne przyporządkowanie elementom jednego zbioru elementów innego, niekoniecznie przyporządkowanie liczby liczbie. Bardziej zaawansowane kursy analizy rozważają właśnie bardziej ogólne funkcje, czyli już nie tylko jednej zmiennej rzeczywistej. W wielu dziedzinach fizyki czy ekonomii ma się do czynienia z funkcjami wielu zmiennych, które przyporządkowują liczbę rzeczywistą wielu liczbom. Rozważa się też funkcje, których argumentami i wartościami są bardziej ogólne od liczb rzeczywistych liczby zespolone, funkcje przyporządkowujące liczbę funkcjom (tzw. funkcjonały), zamieniające funkcję w funkcję (tzw. operatory) i wiele, wiele innych. Te rozmaite rodzaje funkcji (czy mówiąc bardziej poprawnie: odwzorowania, przekształcenia) także można różniczkować, całkować i uogólniać twierdzenie Newtona-Leibniza.

Słowo "uogólnienie" jest chyba jednym z ulubionych i najczęściej używanych przez matematyków. Analiza zdecydowanie szerzej niż jakakolwiek istniejąca przed nią dyscyplina - np. geometria czy algebra - otworzyła okno na cały wszechświat uogólnień, a nowe odkrycia, problemy i ich rozwiązania zaczęły pojawiać się lawinowo. Do jednej z następczyń rachunku różniczkowego i całkowego - tzw. analizy funkcjonalnej - duży wkład mieli w XX w. Polacy, zwłaszcza znany Stefan Banach.

Te bardziej zaawansowane dziedziny analizy są studiowane głównie przez fizyków teoretycznych, mając ogromny wpływ na rozwój techniki - już nie tylko mechanikę, ale i elektrotechnikę, aeronautykę, a w ostatnich dekadach również elektronikę, chemię kwantową, informatykę i być może wiele innych dziedzin nauki, techniki i biznesu, którymi postęp nas zaskoczy.