Astrofizyka/Grawitacja Newtonowska

Z punktu widzenia mechaniki klasycznej grawitacja jest siłą, z jaką oddziałują na siebie wszelkie ciała obdarzone masą. Prawo powszechnego ciążenia sformułowane przez Izaaka Newtona w Philosophiae Naturalis Principia Mathematica głosi, że:

każde ciało we Wszechświecie przyciąga wszystkie ciała siłą skierowaną wzdłuż prostej łączącej ich środki ciężkości siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między środkami.

Matematycznie związek ten wyraża się wzorem:

$F^{i}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\frac {x^{i}}{r}}=-{\frac {\partial U}{\partial x^{i}}}$

We wzorze tym G oznacza stałą grawitacji, jedną z podstawowych stałych fizycznych.

G = 6,6732(31)*10^-11m³kg^-1s^-2.

U(r) jest potencjałem pola grawitacyjnego

$U(r)=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r}}.$

$x^{i}$/r jest wektorem jednostkowym. Masy grawitacyjne $m_{1}$ i $m_{2}$ nie muszą być równe masom bezwładnościowym (np. $m_{b,2}$ dla ciała 2) występującym w równaniu Newtona

$m_{b,2}a^{i}=F^{i}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\frac {x^{i}}{r}}.$

Zaobserwowana równość tych mas $m_{b,2}=m_{2}$ ozmacza, że ruch ciała (2) w polu grawitacyjnym nie zależy od jego masy (Galileusz). Ten fakt jest podstawą ogólnej teorii względności.

Ruch w polu grawitacyjnym wywołany jest przez potencjał:

$U({\vec {x}})=m_{2}\varphi ({\vec {x}}).$

Potencjał ten podobnie jak w elektrostatyce jest rozwiązaniem równania Poissona:

$\Delta \varphi ({\vec {x}})=4\pi \rho ({\vec {x}})$

Cząstka punktowa podobnie jak w elektrostatyce opisana gęstością $\rho ({\vec {x}})\sim \delta (r)$ jest proporcjonalna do funkcji Geena równania Poissona:

$\Delta ({\frac {1}{r}})=-4\pi \delta (r).$

Stąd dowolne rozwiązanie generowane przez rozkład masy ρ ma postać podobną jak w elektrostatyce:

$\varphi ({\vec {x}})=-G\int d^{3}x'{\frac {\rho ({\vec {x'}})}{|{\vec {x'}}-{\vec {x}}|}}.$