Astrofizyka/Newtonowski model gwiazdy

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Newtonowski model gwiazdy

Gwiazda jest wynikiem równowagi między zapadaniem grawitacyjnym a ciśnieniem gazu starającym się przeciwdziałać kolapsowi. Dla kuli gazu o promieniu r źródłem grawitacji jest masa w niej zawarta:

Masa ta na powierzchni jest źródłem przyśpieszenia grawitacyjnego:

Na mały element masy dm=ρ(r)dV=ρ(r)S dr działa różnica sił δF=F(r + dr) - F(r)=dP S Daje to równania:

Równania te należy uzupełnić równaniem stanu:

P=P(ρ)

Przy zadanych warunkach początkowych (np. gęstość ρc w centrum gwiazdy) jest to układ równań różniczkowych którego rozwiązanie da rozkład masy w gwieździe m(r), gęstości ρ(r) czy ciśnienia P(r).

Równania te należy uzupełnić równaniami opisującymi transport energii w gwieździe. W wyniku reakcji syntezy termojądrowej w warstwie odległej o r od centrum gwiazdy produkowana jest gęstość energii ε(r)=ρ(r) pm w jednostce czasu (gęstość mocy promieniowania). pm jest mocą promieniowaną przez jednostkową masę. Na powierzchni sfery 4πr2 wysyłane jest promieniowanie jasność którego jest równa L(r). Moc promieniowania produkowanego przez warstwę między promieniem r i r+dr jest równe 4πr2ε(r). Promieniowanie to daje jasność dL. Bilans energetyczny daje więc równanie:

Płynący z wnętrza strumień energii jest konsekwencją różnicy temperatur

gdzie K jest przewodnictwem cieplnym ośrodka (plazmy). Wysyłane promieniowanie przez sferę o promieniu r oczywiście wywołane jest przez strumień energii

Rozkład temperatury T(r) i promieniowania gwiazdy L(r) opisany jest więc dodatkowymi równaniami różniczkowymi:

Przewodnictwo cieplne w gwieździe nie jest stałe. Zależy ono silnie od mechanizmu transportu energii, od temperatury i gęstości wewnątrz gwiazdy.

Równania gwiazdy należy więc uzupełnić równaniem na przewodnictwo cieplne ośrodka:

K=K(ρ,T)

Jeżeli przewodnictwo cieplne zdominowane jest przez promieniowanie (gaz fotonowy) to:

gdzie σ=a c/4 jest współczynnikiem występującym w prawie Stefana-Boltzmanna (ciało doskonale czarne), a

jest średnią drogą swobodną fotonu w plazmie, κ jest współczynnikiem nieprzeźroczystości ośrodka. W plazmie gwiazdy gdzie dominuje gaz elektronowy droga swobodna fotonu zależy od gęstości elektronów ne i przekroju czynnego σe na rozpraszanie fotonów na elektronach (rozpraszanie Thomsona)

Dla przykładu we wnętrzu Słońca dla gęstości 104 kg m-3 średnia droga fotonu wynosi około 10-5 m. Wnętrze gwiazdy nie jest przeźroczyste dla fotonów, staje się przeźroczyste dopiero w warstwie między Rγ=R-λ(Rγ) a promieniem gwiazdy R, gdzie droga swobodna fotonów jest większa od rozpraszającej warstwy plazmy. Promień Rγ nazywamy promieniem fotosfery (fotosfera). Jest to widoczny promień np. Słońca. Droga swobodna neutrin w większości gwiazd jest większa niż promień gwiazdy (wyjątkiem jest młoda gwiazda neutronowa). Neutrina niosą więc informację z samego centrum gwiazdy gdzie zachodzą reakcje syntezy jądrowej.

Równanie Lanego-Emdena[edytuj]

Równania gwiazdy newtonowskiej:

można przekształcić do jednego rówania

Równania te należy uzupełnić równaniem stanu. Tak dla przykładu równanie stanu politropy ma postać:

P=K ρΓ z Γ=1+1/n

jako wykładnikiem politropy. Bardzo wygodnie jest przejść do bezwymiarowego układu współrzędnych:

r=r0 x

gdzie ρc jest gęstością centralną gwiazdy. Podstawienie:

ρ = ρc θn(x)

przekształca ostatnie równanie do równania Lanego-Emdena

Istnieje kilka rozwiązań analitycznych. Dla przykładu, dla n=1 rozwiązaniem jest

θ(x)=sin(x)/x.

Ciśnienie w gwieździe jest równe

P=K ρcΓθn+1.

Zerowanie się ciśnienia dla pewnego x0 (x0=π/2 dla n=1) wyznacza promień gwiazdy. Rozkład masy wewnątrz gwiazdy wyznacza funkcja m(r). Wygodnie jest wprowadzić bezwymiarową wielkość

u(x)=m(r)/MS

gdzie MS jest masą Słońca. Jeżeli przez Mc oznaczymy sobie jako

to drugie równanie można scałkować od 0 do x0, co da masę gwiazdy

Przybliżenie Claytona[edytuj]

W środku gwiazdy gęstość jest w przybliżeniu stała ρ=ρc, masa gwiazdy narasta wtedy tak jak

Gradient ciśnienia maleje wtedy liniowo:

Przy powierzchni gwiazdy ciśnienie powinno znikać. Ten fakt opisuje przybliżenie, które zrobił Clayton:

wprowadzając ekspotencjalny zanik gradientu ciśnienia dla odległości rzędu a. Stała a jest wielkością fenomenologiczną dopasowywaną do danych obserwacyjnych. Pośrednio wyznacza ona promień gwiazdy. Wygodnie jest wprowadzić bezwymiarową zmienną x:

r= a x

Można scałkować równanie dla ciśnienia, otrzymujemy:

gdzie

x0=R/a.

Dzieląc stronami równania (1) i (2) i całkując, otrzymujemy funkcyjną postać dla narastania masy w gwieździe:

z

gdzie

Masa gwiazdy wyznaczona jest przez funkcję φ w punkcie x0

Linki zewnętrzne[edytuj]