Astrofizyka/Kwantowy rozkład kanoniczny

Średnią kwantową (stan kwantowy) operatora A definiujemy jako

<A>=Tr(ρA)

gdzie stan układu fizycznego opisuje operator gęstości spełniający warunek

Tr(ρ)=1.

Entropię definiujemy jako

S= - kT Tr(ρln(ρ))

Gdy entropia S=0 stan kwantowy nazywamy stanem czystym, a gdy S≠0 stanem mieszanym. Kombinacja liniowa operatorów rzutowych Pn=|n><n|

$\rho =\sum _{n}w_{n}P_{n}$

z warunkiem

$Tr(\rho )=\sum _{n}w_{n}=1$

realizuje stan mieszany o entropii

$S=\sum _{n}w_{n}\ln(w_{n}).$

Gdy stan określony jest więc przez pojedynczy operator rzutowy (n=n0, |n0>=|ψ>) Pψ=|ψ><ψ|, to jest to stan czysty (S=0) i

<A>=Tr(ρψA)=<ψ|A|ψ>

Ogólnie operator rzutowy powinien być funkcją niezmienników (energii H, liczby cząstek N).

Rozkład Gibbsa jest tak zdefiniowany, by entropia dwóch podukładów była liczbą addytywną

$\rho ={\frac {1}{Z}}e^{-\beta H}$

a $Z=Tr(e^{-\beta H})=e^{-\beta F}$ jest sumą statystyczną (konsekwencja warunku Tr(ρ)=1). Suma statystyczna definiuje energię swobodną Hermloltza

$F=fV=-kT\ln(Z)=-kT\ln(Tr(e^{-\beta (H-\mu N})).$

W przypadku gdy w układzie zachowana jest liczba cząstek (<N>), dodajemy warunek dodatkowy, który oznacza zamianę w rozkładzie:

H→H - μ(N - <N>)

gdzie formalnie μ jest czynnikiem Lagrange'a. Rozkład (wielki rozkład kanoniczny) jest teraz w pełni określony przez:

$\rho ={\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H-\mu N)}$

a $Z=Tr(e^{-\beta (H-\mu N})=e^{-\beta \Omega }$ jest wielką sumą statystyczną (konsekwencja warunku Tr(ρ)=1). Średnia liczba cząstek:

$<N>=nV={\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}.$

Suma statystyczna definiuje nowy potencjał termodynamiczny:

$\Omega =-kT\ln(Z)=-kT\ln(Tr(e^{-\beta (H-\mu N})).$

Jest prosty związek z energią swobodną

F=μ<N> + Ω

Stąd potencjał chemiczny to

$={\frac {\partial F}{\partial n}}.$

Ciśnienie definiujemy jako:

$P=-{\frac {\partial F}{\partial V}}$

a entropię jako:

S= - k Tr(ρlnρ).

$S=sV=-{\frac {\partial F}{\partial T}}$

Energia wewnętrzna:

U=εV=<H>.

Stąd mamy związek termodynamiczny:

T s=P + ε

Zmiana ciśnienia z gęstością energii wyznacza prędkość propagacji fali dźwiękowej:

$\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}={\frac {dP}{d\epsilon }}$

a zmiana z gęstością cząstek współczynnik ściśliwości:

$K=9{\frac {dP}{dn}}=9{\frac {dP}{d\epsilon }}{\frac {d\epsilon }{dn}}=9{\frac {dP}{d\rho }}{\frac {d}{dn}}(f+Ts)=9\mu {\frac {dP}{d\epsilon }}=9\mu \left({\frac {v}{c}}\right)^{2}$

określający prędkość dźwięku.