Astrofizyka/Wielki rozkład kanoniczny

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Mechanika statystyczna (lub fizyka statystyczna) to gałąź fizyki zajmująca się układami wielu oddziałujących ciał. Specyfiką tej teorii jest jej metoda. Fizyczną podstawą mechaniki statystycznej jest termodynamika fenomenologiczna.

Z mechaniki statystycznej można wydzielić teorię stanów równowagi termodynamicznej. Ta teoria jest daleko bardziej rozwinięta niż teoria nierównowagowa. Powszechnie używa się tu tzw. formalizmu sumy statystycznej.

Entropia mikroskopowa, czynnik Boltzmanna i suma statystyczna[edytuj]

Podstawą mechaniki statystycznej (fizyki statystycznej) jest definicja entropii pochodząca od Ludwiga Boltzmanna:

Entropia mikroskopowa układu jest proporcjonalna do logarytmu liczby mikroskopowych stanów układu.

Współczynnik proporcjonalności oznaczany przez k nazywany jest stałą Boltzmanna. Z tej definicji wynika, że gdy układ w stanie mikroskopowym o energii E jest w równowadze termicznej z termostatem o temperaturze T (β=1/kT), to prawdopodobieństwo tego stanu jest proporcjonalne do:

tę wielkość nazywamy czynnikiem Bolzmanna. Te wszystkie prawdopodobieństwa dla różnych stanów mikroskopowych muszą dać jedność. Definiuje to sumę statystyczną:

gdzie jest energią i-tego stanu mikroskopowego. Suma statystyczna jest miarą liczby stanów dostępnych dla układu fizycznego. Prawdopodobieństwo znalezienia się układu w poszczególnym stanie (i) w temperaturze T z energią Ei jest równe:

Związki z termodynamiką[edytuj]

Suma statystyczna może posłużyć do wyliczenia wartości oczekiwanej (średniej) dowolnej mikroskopowej wielkości. Tak dla przykładu średnia mikroskopowa energia E jest interpretowana jako energia wewnętrzna (U) z termodynamiki. Tak więc,

wraz z interpretacją <E> jako U, daje następującą definicję energii wewnętrznej:

Entropię określamy z wzoru (entropia)

który daje

gdzie F jest energią swobodną układu fizycznego, stąd

Mając zdefiniowane podstawowe potencjały termodynamiczne U (energia wewnętrzna), S (entropia) i F (energia swobodna), można otrzymać wszystkie wielkości termodynamiczne opisujące układ fizyczny.

Zmienna liczba cząstek[edytuj]

W przypadku gdy liczba cząstek nie jest zachowana, należy wprowadzić potencjał chemiczny, μj, j=1,...,n i zamienić sumę statystyczną na:

gdzie Nij jest liczbą cząstek rodzaju jth w i-tym stanie mikroskopowym.

energia swobodna Helmholtza:
energia wewnętrzna:
ciśnienie:
entropia:
energia swobodna Gibbsa:
entalpia:
ciepło właściwe (stała objętość):
ciepło właściwe (stałe ciśnienie):
potencjał chemiczny:

To samo z użyciem wielkiego zespołu kanonicznego:

energia swobodna Gibbsa:
energia wewnętrzna:
liczba cząstek:
entropia:
energia wewnętrzna Helmholtza: