Ruch harmoniczny, definicje

1. Ruch w którym siła wprawiająca ciało w ruch jest proporcjonalna do wychylenia i ma zwrot przeciwny do wychylenia

${\overrightarrow {F}}=-k{\overrightarrow {x}}\;$

k - współczynnik charakteryzujący oscylator

x - wychylenie z położenia równowagi

2. Ruch, w którym wychylenia z położenia równowagi zmieniają się zgodnie ze zmianą funkcji sinus, czyli są sinusoidalnie zmienne

$x(t)=A\sin(\omega t+\phi )\;$

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}\;$

A - amplituda

$\omega \;$ - częstość kołowa

$\phi \;$ - faza początkowa ruchu (kąt wychylenia z położenia równowagi w chwili rozpoczęcia pomiaru czasu)

Równania ruchu oscylatora harmonicznego

oznaczenia :

x - wychylenie ze stanu równowagi ( położenia zero )
A - amplituda drgań ( maksymalne wychylenie )
T - okres, jednostka [s]
$\omega \;$ - częstość drgań, jednostka [Hz,1/s]
$\phi \;$ - przesunięcie fazowe

związki :

$\omega ={{\alpha } \over {t}}={{2\pi } \over {T}}={2{\pi }f}\;$

ponieważ

\alpha \;

jest wyrażone w radianach.

Ponadto nie powinno używać się do opisu częstości kołowej jednostki Hz (chociaż jest to poprawne). Preferowany zapis: $s^{-1}\;$

położenie (przemieszczenie)

$x=A\sin(\omega t+\phi )\;$

prędkość

$V=V_{max}\cos(\omega t+\phi )\;$

$V_{max}=\omega A\;$

prędkość ( skąd to się bierze ;)

Prędkość jest pochodną położenia po czasie , więc :
$V={{dx} \over {dt}}={{d} \over {dt}}(A\sin(\omega t+\phi ))=Acos(\omega t+\phi )\omega =(A{\omega })cos(\omega t+\phi )\;$

przyspieszenie (zwrot siły wypadkowej)

$a=-a_{max}sin(\omega t+\phi )\;$

$a_{max}=\omega ^{2}A\;$

Związki dla ciężarka drgającego na sprężynie

$k=m\omega ^{2}=>\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}\;$

$F=-m\omega ^{2}Asin(\omega t+\phi )\;$

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}\;$

Siła, prędkość, przyspieszenie w ruchu harmonicznym

$F=-Asin(\omega t+\phi )\;$

$\omega t+\phi \;$ to tzw. faza

$F=-kx\;$

$-m\omega ^{2}=Asin(\omega t+\phi )\;$

Opis zmian siły, prędkości, przyspieszenia

$x=A\sin(\omega t+\phi )\;$

$V=\omega A\cos(\omega t+\phi )\;$

$a=-\omega ^{2}A\sin(\omega t+\phi )\;$

czas	x	F	V	a
0	0	0	$\omega A\;$	0
${\frac {1}{4}}T\;$	$A\sin {\Bigl (}{\frac {2\pi }{T}}{\frac {T}{4}}{\Bigl )}\;$	$m\omega ^{2}A\;$	0	$\omega ^{2}A\sin {\Bigl (}{\frac {2\pi }{T}}{\frac {T}{4}}{\Bigl )}\;$
${\frac {1}{2}}T\;$	0	0	$\omega A\;$	0
${\frac {3}{4}}T\;$	$A\;$	$m\omega ^{2}A\;$	0	$\omega ^{2}A\sin({\frac {2\pi }{T}}{\frac {3T}{4}})\;$
$1T\;$	0	0	$\omega A\;$	0

Wahadło matematyczne

Definicja

Wahadło matematyczne - wahadło drgające z małą amplitudą.

Wahadło matematyczne jest traktowane jako oscylator harmoniczny.

Wzory opisujące wahadło matematyczne

$mg\sin \alpha =m\omega ^{2}x\;$

$mg{\frac {x}{l}}=m\omega ^{2}x\;$

$\omega ^{2}={\frac {g}{l}}\;$

$\omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}\;$

${\frac {2\pi }{T}}={\sqrt {\frac {g}{l}}}\;$

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\;$

Łączenie sprężyn

Gdy pomijamy masy sprężyn.

szeregowe

${\frac {1}{k}}={\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}\;$

równoległe

$k=k_{1}+k_{2}\;$

Energia oscylatora

$E_{c}=E_{k}+E_{p}\;$

W amplitudzie: $E_{c}=E_{k0}+E_{p}\;$

W położeniu równowagi: $E_{c}=E_{p0}+E_{k}\;$

Całkowita energia oscylatora harmonicznego:

$E_{c}={\frac {kA^{2}}{2}}\;$

Rezonans mechaniczny

Częstość drgań własnych - częstość z jaką drga swobodnie oscylator wytrącony z położenia równowagi.

Rezonans mechaniczny - wzajemne pobudzanie do drgań dwóch oscylatorów mających tę samą częstość drgań własnych.

Opis i cechy fali mechanicznej

W ośrodku sprężystym rozchodzi się fala mechaniczna, jeśli element ośrodka jest wytrącany cyklicznie z położenia równowagi.

Cechy fali biegnącej

długość - odległość jaką przebywa fala w danym okresie

częstotliwość i okres - są równe częstotliwości i okresowi źródła drgań wytwarzającemu fale

Jeżeli źródło fali jest oscylatorem harmonicznym to powstaje fala sinusoidalna.

amplituda - maksymalne wychylenie cząsteczki fali z położenia równowagi

prędkość - jest cechą ośrodka

Rodzaje fal:

poprzeczne
podłużne
koliste
płaskie
kuliste

Równania opisujące falę biegnącą

$y=A\sin 2\pi {\Bigl (}{\frac {t}{T}}-{\frac {x}{\lambda }}{\Bigl )}\;$

t - chwila czasu, w której określono wychylenie z położenia równowagi

x - odległość danego punktu od początku układu współrzędnych

$\lambda \;$ - długość fali

$A\sin \omega {\Bigl (}t-{\frac {x}{V}}{\Bigl )}\;$

Faza fali biegnącej: argument funkcji sinus.

Fale dźwiękowe

Dźwięki wydawane są przez ciała drgające z częstotliwością od 16 Hz do 20 kHz.

Żeby fala taka została odebrana przez człowieka musi posiadać odpowiednią częstotliwość(wysokość) oraz odpowiednio wielkie natężenie.

Efekt Dopplera

Częstotliwość dźwięku odbieranego od obserwatora jest wyższa od dźwięku wydawanego przez źródło, gdy źródło zbliża się do obserwatora i niższa niż dźwięku wydawanego przez źródło, gdy źródło oddala się od obserwatora.

obserwator nieruchomy, źródło ruchome

- zbliżanie

$f_{od}=f_{z}{\frac {V_{dz}}{V_{dz}-Vz}}\;$

- oddalanie

$f_{od}=f_{z}{\frac {V_{dz}}{V_{dz}+Vz}}\;$

obserwator ruchomy, źródło nieruchome

- zbliżanie

$f_{od}=f_{z}{\frac {V_{dz}+Vz}{V_{dz}}}\;$

- oddalanie

$f_{od}=f_{z}{\frac {V_{dz}-Vz}{V_{dz}}}\;$

Dyfrakcja i interferencja fal mechanicznych. Fale stojące

Dyfrakcja fali - ugięcie fali na krawędziach przeszkody

obrazek - dyfrakcja częściowa

obrazek2 - dyfrakcja całkowita

Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie jest dyfrakcją całkowitą jeżeli szerokość szczeliny jest mniejsza od długości fali.

Interferencja - nakładanie (sumowanie) fal

W miejscu nałożenia się dwóch fal nastąpi:

wzmocnienie - jeżeli spotykają się fale o zgodnych fazach
wygaszenie - jeżeli spotykają się fale o przeciwnych fazach

Nakładanie się fal o jednakowych amplitudach i częstotliwościach biegnących wzdłuż tego samego kierunku: obrazek. Nakładanie się fal o jednakowych amplitudach i częstotliwościach biegnących w różne strony: obrazek.

Efektem nałożenia się takich fal może być tzw. fala stojąca