Praca pola elektromagnetycznego na cząstce naładowanej
[edytuj]
Jeżeli pole elektromagnetyczne jest zadane przez w każdym punkcie przestrzeni przez wektory natężenia elektrycznego i indukcji magnetycznej
aoraz w polu tym porusza się cząstka naładowana o ładunku
z prędkością
, tp pole działa na cząstkę siłą Lorentza
![{\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3dd99e3bd55cbeff1cd2506d944405f3efa9e0c)
Praca pola elektromagnetycznego
[edytuj]
Jeżeli ładunek przemieści się o odcinek
, to pole wykona pracę
. Ponieważ
, to otrzyma się
![{\displaystyle {\displaystyle \mathrm {d} W}=\mathbf {F} \ \mathrm {d} \mathbf {l} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b5b78a9e9e97320d2f374e6bd171a0c54d00ae6)
![{\displaystyle =q(\mathbf {E} \mathbf {v} )\ \mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4efa4ba3bd955563eecb5a2531f2a2649115dbcf)
Praca wykonana przez pole elektromagnetyczne w objętości
oraz w jednostce czasu czyli moc wynosi
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}=\int _{V}\mathbf {E} \,q\,\mathbf {v} \ dV}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/327889d782aad8e3aeb4bf1b156ca578ee8a67d1)
lub
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}=\int _{V}\mathbf {E} \,\mathbf {j} \,dV}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868158d150c988184e0ce4822424c675257cc68e)
gdzie
- prąd elektryczny związany z przemieszczeniem cząstki.
Energia pola elektromagnetycznego
[edytuj]
Moc promieniowania pola el-m
[edytuj]
Korzystając z równań Maxwella moc promieniowania pola elektromagnetycznego można zapisać w postaci
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}=\int _{V}{\Big (}-{\frac {\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\partial t}}-\mathrm {div} (\mathbf {S} )\ {\Big )}dV}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08931cc05d8c0e24bffefb015a3abefa28781764)
gdzie
- gęstość energii pola elektromagnetycznego
- wektor Pointinga
Energia pola nie zmienia się, jeżeli pole nie oddziałuje z cząstkami naładowanymi. Oznacza to, że
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/513499c4ffb9a14211e7dedc77da2b445fefbaa2)
Przyrównując równanie
do zera otrzymuje się tzw. równanie ciągłości
![{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\partial t}}+\mathrm {div} (\mathbf {S} )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba00519e094b6948816905718b64e4a19db3e783)
Równanie ciągłości ma następującą interpretację:
Jeżeli pole nie wymienia energii z cząstkami naładowanymi, to strumień energii
wypływający z obszaru
tworzy rodzaj prądu energii, tj.
, taki że dywergencja tego prądu jest równa ilości energii malejącej w obszarze
.
Równanie ciągłości w wersji relatywistycznej można zapisać podobnie jak dla prawa zachowania ładunku
![{\displaystyle \partial _{\mu }\mathbf {J} ^{\mu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8abefe6ef0fab663ee20bd78839bb0bb3a880767)
gdxzie
Wektor Pointinga związany jest z gęstością pędu, który niesie samo pole elektromagnetyczne.
![{\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {el-m} }=\varepsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {S} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a06dca52800be8e7e57908c0371cb647f752ae1)
Energia, pęd, moment pędu pola el-m
[edytuj]
Pole elektromagnetyczne niesie energię, pęd i moment pędu: dane wzorami
![{\displaystyle E_{\mathrm {el-m} }=\int {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {el-m} }\ dV}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c9b4bb3d917630433c866957271aa96a7da578)
![{\displaystyle P_{\mathrm {el-m} }=\int {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {el-m} }\ dV}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77016061b8c5dba681d0bcfd348764a1cf3d3c66)
![{\displaystyle L_{\mathrm {el-m} }=\int {\boldsymbol {\lambda }}_{\mathrm {el-m} }\ dV}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/768ca09234e9f943e9f1bb08ba7e65507157612d)
gdzie:
- gęstość energii pola elektromagnetycznego
- gęstość pędu pola elektromagnetycznego;
- wektor Pointinga
- gęstość momentu pędu pola elektromagnetycznego
Powyższe wzory przestają być słuszne dla małych porcji energii pola elektromagnetycznego. W takich sytuacjach ujawnia się dyskretny (kwantowy) charakter pola elektromagnetycznego. Np. w zjawisku fotoelektrycznym pole elektromagnetyczne musi być traktowane jako złożone z kwantów (porcji) energii, przy czym najmniejsza ilość energii jest równa
![{\displaystyle E=h\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6c0386dc6d9530519404f95570fcc8548ed2326)
gdzie
- stała Plancka,
- częstotliwość pola elektromagnetycznego
Fakt ten doprowadził do powstania mechaniki kwantowej.