Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Praca pola elektromagnetycznego na cząstce naładowanej [ edytuj ]
Siła Lorentza [ edytuj ]
Jeżeli pole elektromagnetyczne jest zadane przez w każdym punkcie przestrzeni przez wektory natężenia elektrycznego i indukcji magnetycznej
E
,
B
{\displaystyle \mathbf {E} ,\,\mathbf {B} }
aoraz w polu tym porusza się cząstka naładowana o ładunku
q
{\displaystyle q}
z prędkością
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
, tp pole działa na cząstkę siłą Lorentza
F
=
q
(
E
+
v
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
Praca pola elektromagnetycznego [ edytuj ]
Jeżeli ładunek przemieści się o odcinek
d
l
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {l} }
, to pole wykona pracę
d
W
=
F
d
l
{\displaystyle {\displaystyle \mathrm {d} W}=\mathbf {F} \ \mathrm {d} \mathbf {l} }
. Ponieważ
d
l
=
v
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {l} =\mathbf {v} dt}
, to otrzyma się
d
W
=
F
d
l
{\displaystyle {\displaystyle \mathrm {d} W}=\mathbf {F} \ \mathrm {d} \mathbf {l} }
=
q
(
E
v
)
d
t
{\displaystyle =q(\mathbf {E} \mathbf {v} )\ \mathrm {d} t}
Praca wykonana przez pole elektromagnetyczne w objętości
V
{\displaystyle V}
oraz w jednostce czasu czyli moc wynosi
d
W
d
t
=
∫
V
E
q
v
d
V
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}=\int _{V}\mathbf {E} \,q\,\mathbf {v} \ dV}
lub
d
W
d
t
=
∫
V
E
j
d
V
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}=\int _{V}\mathbf {E} \,\mathbf {j} \,dV}
gdzie
j
=
q
v
{\displaystyle \mathbf {j} =q\mathbf {v} }
- prąd elektryczny związany z przemieszczeniem cząstki.
Energia pola elektromagnetycznego [ edytuj ]
Moc promieniowania pola el-m [ edytuj ]
Korzystając z równań Maxwella moc promieniowania pola elektromagnetycznego można zapisać w postaci
d
W
d
t
=
∫
V
(
−
∂
ε
∂
t
−
d
i
v
(
S
)
)
d
V
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}=\int _{V}{\Big (}-{\frac {\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\partial t}}-\mathrm {div} (\mathbf {S} )\ {\Big )}dV}
gdzie
ε
=
1
2
(
E
D
+
H
B
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}(\mathbf {E} \mathbf {D} +\mathbf {H} \mathbf {B} )}
- gęstość energii pola elektromagnetycznego
S
=
E
×
H
{\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }
- wektor Pointinga
Równanie ciągłości [ edytuj ]
Energia pola nie zmienia się, jeżeli pole nie oddziałuje z cząstkami naładowanymi. Oznacza to, że
d
W
d
t
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}=0}
Przyrównując równanie
d
W
d
t
=
∫
V
(
−
∂
ε
∂
t
−
d
i
v
(
S
)
)
d
V
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}=\int _{V}{\Big (}-{\frac {\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\partial t}}-\mathrm {div} (\mathbf {S} )\ {\Big )}dV}
do zera otrzymuje się tzw. równanie ciągłości
∂
ε
∂
t
+
d
i
v
(
S
)
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\partial t}}+\mathrm {div} (\mathbf {S} )=0.}
Równanie ciągłości ma następującą interpretację:
Jeżeli pole nie wymienia energii z cząstkami naładowanymi, to strumień energii
S
{\displaystyle \mathbf {S} }
wypływający z obszaru
d
V
{\displaystyle dV}
tworzy rodzaj prądu energii, tj.
J
≡
S
{\displaystyle \mathbf {J} \equiv \mathbf {S} }
, taki że dywergencja tego prądu jest równa ilości energii malejącej w obszarze
d
V
{\displaystyle dV}
.
Równanie ciągłości w wersji relatywistycznej można zapisać podobnie jak dla prawa zachowania ładunku
∂
μ
J
μ
=
0
{\displaystyle \partial _{\mu }\mathbf {J} ^{\mu }=0}
gdxzie
J
0
=
c
ε
{\displaystyle \mathbf {J} ^{0}=c{\boldsymbol {\varepsilon }}}
Wektor Pointinga związany jest z gęstością pędu, który niesie samo pole elektromagnetyczne.
π
e
l
−
m
=
ε
0
μ
0
S
{\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {el-m} }=\varepsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {S} }
Energia, pęd, moment pędu pola el-m [ edytuj ]
Klasyczne pole el-m [ edytuj ]
Pole elektromagnetyczne niesie energię, pęd i moment pędu: dane wzorami
E
e
l
−
m
=
∫
ε
e
l
−
m
d
V
{\displaystyle E_{\mathrm {el-m} }=\int {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {el-m} }\ dV}
P
e
l
−
m
=
∫
π
e
l
−
m
d
V
{\displaystyle P_{\mathrm {el-m} }=\int {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {el-m} }\ dV}
L
e
l
−
m
=
∫
λ
e
l
−
m
d
V
{\displaystyle L_{\mathrm {el-m} }=\int {\boldsymbol {\lambda }}_{\mathrm {el-m} }\ dV}
gdzie:
ε
e
l
−
m
=
1
2
(
E
D
+
B
H
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {el-m} }={\frac {1}{2}}(\mathbf {E} \mathbf {D} +\mathbf {B} \mathbf {H} )}
- gęstość energii pola elektromagnetycznego
π
e
l
−
m
=
(
D
×
B
)
=
ε
0
μ
0
S
{\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {el-m} }=(\mathbf {D} \times \mathbf {B} )=\varepsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {S} }
- gęstość pędu pola elektromagnetycznego;
S
=
E
×
H
{\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }
- wektor Pointinga
λ
e
l
−
m
=
r
×
π
e
l
{\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}_{\mathrm {el-m} }=\mathbf {r} \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {el} }}
- gęstość momentu pędu pola elektromagnetycznego
Kwantowe pole el-m [ edytuj ]
Powyższe wzory przestają być słuszne dla małych porcji energii pola elektromagnetycznego. W takich sytuacjach ujawnia się dyskretny (kwantowy) charakter pola elektromagnetycznego. Np. w zjawisku fotoelektrycznym pole elektromagnetyczne musi być traktowane jako złożone z kwantów (porcji) energii, przy czym najmniejsza ilość energii jest równa
E
=
h
ν
{\displaystyle E=h\nu }
gdzie
h
{\displaystyle h}
- stała Plancka,
ν
{\displaystyle \nu }
- częstotliwość pola elektromagnetycznego
Fakt ten doprowadził do powstania mechaniki kwantowej .