Liczby zespolone/Płaszczyzna zespolona

Płaszczyzna zespolona

Euler wprowadzając swoją notację dla liczb urojonych $bi$, z użyciem jednostki urojonej i, znacznie ułatwił analityczny pogląd na ich sprawę. Niestety nadal istniał problem określenia położenia liczb urojonych względem osi współrzędnych liczb rzeczywistych. Matematycy szybko zadali sobie pytanie, gdzie je umiejscowić, jak opisać graficznie.

Oś urojona Im, przecinająca oś rzeczywistą Re rozpinają płaszczyznę liczb zespolonych.

W roku 1797 norwesko-duński mierniczy Caspar Wessel, w 1799 niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, oraz w 1809 szwajcarski księgarz Jean-Robert Argand niezależnie wpadli na pomysł geometrycznego przedstawienia tychże liczb - liczb, które nie mieściły się już na całkowicie zajętej osi liczb rzeczywistych (pamiętacie rysunek poglądowy z początku rozdziału?).

Dla przypomnienia powiedzmy, że równania kwadratowe rozpatrywane są w układzie współrzędnych kartezjańskich ($\mathbb {R} ^{2}$), utworzonym przez dwie prostopadłe do siebie osie rzeczywiste - oś Ox (odciętych) oraz oś Oy (rzędnych). Jeśli liczby rzeczywiste rozpatrzymy sobie jako pewną płaszczyznę, rozpiętą pomiędzy dwiema osiami rzeczywistymi to liczby urojone również w tym przypadku powinny leżeć poza obiema osiami - oraz poza tą płaszczyzną.

Spójrzmy na konstrukcję osi liczbowej: mamy pewną wspólną dla wszystkich liczb jednostkę, z pomocą której wielokrotności możemy opisać resztę liczb i równomiernie rozłożyć na linii ciągłej. Dla liczb rzeczywistych taką jednostką, będzie liczba 1 - każda liczba rzeczywista a może być rozpisana jako pewna wielokrotność jedynki. Podobnie mamy z liczbami urojonymi - ich jednostką jest liczba i, a oś tworzona jest identycznie - przez przemnożenie kolejnych liczb rzeczywistych przez jednostkę i.

Szybko możemy zauważyć, że liczby czysto urojone posiadają więc jeden wspólny punkt z osią $\mathbb {R}$ - w końcu określone są przy użyciu rzeczywistej liczby b. Punktem tym jest 0 (co by nie było 0 razy liczba daje nam zero, zarówno w przypadku liczb rzeczywistych, jak i liczby i). Do osi reprezentującej liczby rzeczywiste - określonej od tej pory symbolem Re (z łac. Realis), należało więc dołączyć oś liczb urojonych - Im (z łac. Imaginarius), zachowując przy tym pewną ogólnie zrozumiałą i akceptowalną konwencję. Skoro już trwaliśmy w układzie kartezjańskim to postanowiono utworzyć coś co będzie go przypominało. Oś urojoną poprowadzono prostopadle do osi rzeczywistej, przecinając ją w zerze (patrz rysunek).

Zabieg przecięcia dwóch osi, w matematyce powoduje rozpięcie pewnej płaszczyzny. Tę płaszczyznę, która zespalała liczby urojone z liczbami rzeczywistymi Gauss nazwał płaszczyzną zespoloną.

Płaszczyzna zespolona rozpięta jest przeciętymi ze sobą w punkcie (0,0) osiami urojoną Im i osią rzeczywistą Re.

Stąd nasuwa się prosty pomysł: liczby zawarte w płaszczyźnie zespolonej, prawdopodobnie, powinny być opisane złożeniem liczby rzeczywistej z liczbą urojoną.