Liczby zespolone/Liczby zespolone

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczby zespolone[edytuj]

?

Ze względu na sposób rozpięcia przestrzeni (płaszczyzny) - liczby zespolone, jak nazwa wskazuje, są złożone: z części określającej położenie na osi rzeczywistej oraz urojonej . W roku 1833 William Hamilton (1805-1865) stwierdził, że skoro liczby rzeczywiste w kartezjańskim układzie współrzędnych można było zapisywać w postaci pary współrzędnych (x,y), to czemu nie zastosować tego sposobu dla liczb zespolonych?

Stąd powstał:
(zapis liczby zespolonej jako pary współrzędnych)

Zbiór wszystkich liczb zespolonych będzie więc rozpięty w opisanej wcześniej płaszczyźnie liczb zespolonych, której początkiem jest punkt .

Liczbę zespoloną na płaszczyźnie przedstawia się tak, jak robiło się to z punktami innych układów dwuwymiarowych: w postaci punktu o współrzędnych (a,b) lub w postaci wektora o początku w punkcie O(0,0) i końcu w (a,b).

Geometryczna interpretacja liczby zespolonej jako punktuGeometryczna interpretacja liczby zespolonej jako wektora

Jak szybko zauważymy, wszystkie liczby typu będą położone na osi Re - stąd wniosek że możemy je utożsamiać z liczbami rzeczywistymi. Natomiast wszystkie liczby odnajdziemy na osi Im - są liczbami urojonymi.

Mając już zdefiniowaną liczbę zespoloną, warto jest zastanowić się nad własnościami tych liczb. W podręczniku nieustannie powtarzamy, że liczby zespolone to twory matematyczne mające uzupełnić przestrzeń liczb rzeczywistych - toteż poddane różnego rodzaju operacjom powinny się one poniekąd zachowywać podobnie. Toteż poniżej wypisano własności liczb zespolonych.

Własności liczb zespolonych[edytuj]

Dowolne liczby zespolone w określonych przypadkach podstawowych działań matematycznych wykazują własności:

  1. nie reagują w dodawaniu z zerem:
    ,
  2. nie reagują w mnożeniu z 1, liczbą :
    ,
  3. liczba przeciwna do to :
    ,
  4. przemienność dodawania:
    ,
  5. łączność dodawania:
    ,
  6. przemienność mnożenia:
    ,
  7. łączność mnożenia:
    ,
  8. rozdzielność mnożenia względem dodawania:
  9. liczba odwrotna do to :
    ,

Następny rozdział: Postać algebraiczna Poprzedni rozdział: Płaszczyzna zespolona

Podręcznik: Liczby zespolone