Logika dla prawników/Prawa logiczne

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Prawa logiczne[edytuj]

Na wstępie należy omówić dwie podstawowe reguły przekształcania funkcji zdaniowych: podstawianie oraz zastępowanie.

Podstawianie i zastępowanie[edytuj]

Podstawianie - polega na zamianie określonego zdania (zbudowanego z co najmniej jednej zmiennej zdaniowej i funktora) na dowolne inne zdanie w całej funkcji logicznej.

Jeśli w zdaniu złożonym występuje koniunkcja, to w jej miejsce można podstawić, np. alternatywę.

Zastępowanie - polega na zastąpieniu jednego elementu funkcji logicznej na element równoważny tak, by została zachowana wartość logiczna całej funkcji. Powstaje z wykorzystaniem funktora równoważności "≡". Stosuje się m.in. następujące funkcje logiczne:

  • (p∧q) ⇔ ~ (~p ∨ ~q)
  • (p∧q) ⇔ ~ (p/q)
  • (p∧q) ⇔ (p/q / p/q)
  • (p∨q) ⇔ ~ (~p ∧ ~q)
  • (p∨q) ⇔ (~p ⇒ q)
  • (p∨q) ⇔ (~p / ~q)
  • (p┴q) ⇔ ~ (p⇔q)
  • (p/q) ⇔ ~ (p∧q)
  • (p⇒q) ⇔ (~p ∨ q)
  • (p⇒q) ⇔ ~(p ∧ ~q)
  • (p⇒q) ⇔ (p / ~q)
  • (p⇒q) ⇔ [q ⇔ (p ∨ q)]
  • (p⇒q) ⇔ [p ⇔ (p ∧ q)]
  • ~p ⇔ (p / p)

Prawa logiczne[edytuj]

Prawa logicznie zwane są także prawami rachunku zdań, a także tautologiami. Tautologiami, to znaczy zdaniami, które zawsze są prawdziwe. Klasyczną tautologią jest zdanie: p ∨ ~p

  • prawo redukcji do absurdu
    • (p ⇒ ~p) ⇒ ~p

Zgodnie z prawem redukcji do absurdu, jeśli zdanie p pociąga za sobą własne zaprzeczenie, to takie zdanie jest fałszywe. Inaczej mówiąc, twierdzenie fałszywe wyklucza samo siebie[1].

  • charakterystyka prawdy
    • q ⇒ (p ⇒ q)
  • charakterystyka fałszu
    • ~p ⇒ (p ⇒ q)
  • prawa przemienności
    • dla alternatywy: (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
    • dla koniunkcji: (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)
    • dla równoważności: (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p)
  • prawa symplifikacji mówiące, iż jeśli jakieś zdanie jest prawdziwe, to wynika ono z każdego innego zdania: p ⇒ (q ⇒ p)
    • dla alternatywy: 1) p ⇒ (p ∨ q), 2) q ⇒ (p ∨ q)
    • dla koniunkcji: 1) (p ∧ q) ⇒ p, 2) (p ∧ q) ⇒ q
  • prawa Christopha Claviusa (1538-1612) renesansowego astronoma i matematyka mówią:
    • jeśli jakieś zdanie wynika ze swojego zaprzeczenia, to jest prawdziwe: (¬p ⇒ p) ⇒ p
    • jeśli z jakiegoś zdania wynika jego zaprzeczenie, to jest fałszywe: (p ⇒ ¬p) ⇒ ¬p
  • prawa łączenia
    • łączenia alternatywnego stron implikacji: [(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)] ⇒ [(p ∨ r) ⇒ (q ∨ s)] - zgodnie z tym prawem można połączyć dwie oddzielne implikacje w jedną łącząc w niej razem, w postaci alternatywy (∨), ich poprzedniki (q, s) i następniki (p, r).
    • łączenia koniunkcyjnego stron implikacji: [(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)] ⇒ [(p ∧ r) ⇒ (q ∧ s)] - zgodnie z tym prawem można połączyć dwie implikacje w jedną łącząc razem, w postaci koniunkcji (∧), ich poprzedniki (q, s) i następniki (p, r). Przykład: Jeśli przyszedł mróz (p) to należy włączyć ogrzewanie (q) i jeśli nastała noc (r), to należy włączyć światło (s). Skoro tak, to jeśli przyszedł mróz (p) i nastała noc (r), to należy włączyć ogrzewanie (q) i światło (s).
    • łączenia poprzedników implikacji w alternatywę: [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] ⇔ [(p ∨ q) ⇒ r]. Przykład: Jeśli pojadę interregio (p), to dojadę do Warszawy (r) i jeśli pojadę TLK (q), to też dojadę do Warszawy (r) a stanie się tak wtedy, jeśli pojadę interregio (p) lub TLK (q) to dojadę do Warszawy (r).
    • łączenia następników implikacji w koniunkcję: [(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)] ⇔ [p ⇒ (q ∧ r)]. Przykład: Jeśli wyjadę z Lublina interregio o 6.13 (p) to dojadę do Warszawy (q) i jeśli pojadę tym samym interregio (p) to dojadę do Otwocka (r), a stanie się tak, gdy jadąc interregio (p) dojadę do Warszawy (q) i Otwocka (r).

Wśród praw logicznych wymienia się ponadto sylogizmy, negacje związków logicznych, transpozycję, eksportację i importację, prawa de Morgana oraz dylematy. Zostaną one niżej przedstawione.

Sylogizmy[edytuj]

  • sylogizm konstrukcyjny - modus ponendo ponens (łac. "sposób za pomocą stwierdzenia stwierdzający")
    • [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q

Według tego sylogizmu prawdziwość poprzednika implikacji pociąga za sobą prawdziwość jej następnika.

Przykład: Zakładając, że [jeżeli pada śnieg (p), to jest ślisko (q) i jeszcze do tego pada śnieg (p)], to tym bardziej jest ślisko (q).

  • sylogizm destrukcyjny - modus tollendo tollens (łac. "sposób za pomocą zaprzeczenia zaprzeczający")
    • [(p ⇒ q) ∧ ~q] ⇒ ~p

W tym prawie logicznym fałszywość następnika (q) implikacji (p ⇒ q) pociąga za sobą fałszywość poprzednika (p).

Przykład: Zakładając, że [jeżeli pada śnieg (p), to jest ślisko (q) a zaobserwowaliśmy, że jednak nie jest ślisko (~q)], no to wiadomo, że nie pada śnieg (~p).

  • sylogizm alternatywny - modus tollendo ponens (łac. "sposób za pomocą zaprzeczenia stwierdzający")
    • [(p∨q) ∧ ~p] ⇒ q
    • [(p∨q) ∧ ~q] ⇒ p

Przykład nr 1: Jeśli wyglądamy przez okno i widzimy, że [pada śnieg (p) lub pada deszcz (q) i wiemy, że nie pada śnieg (~p)], no to pada deszcz (q).

Przykład nr 2: Jeśli wyglądamy przez okno i widzimy, że [pada śnieg (p) lub pada deszcz (q) i wiemy, że nie pada deszcz (~q)], to domyślamy się, że pada śnieg (p).

Sylogizm modus tollendo ponens udowadnia, iż fałszywość jednego ze zdań alternatywy p∨q pozwala wnioskować o prawdziwości drugiego ze zdań.

  • sylogizm dysjunkcyjny - modus ponendo tollens (łac. "sposób za pomocą stwierdzenia zaprzeczający")
    • [(p / q) ∧ p] ⇒ ~q
    • [(p / q) ∧ q] ⇒ ~p

Przykład nr 1: Jeżeli [bądź pada śnieg (p), bądź pada deszcz (q), bądź nie pada ani śnieg ani deszcz i pada śnieg (p)], to nie pada deszcz (~q).

Przykład nr 2: Jeżeli [bądź pada śnieg (p), bądź pada deszcz (q), bądź nie pada ani śnieg ani deszcz i pada deszcz (q)], to nie pada śnieg (~p).

Natomiast w sylogiźmie dysjunkcyjnym prawdziwość jednego ze zdań dysjunkcji p / q pozwala wyciągnąć wniosek co do fałszywości drugiego ze zdań.

  • sylogizm alternatywno-rozłączny
    • [(p ┴ q) ∧ p] ⇒ ~q
    • [(p ┴ q) ∧ ~p] ⇒ q
    • [(p ┴ q) ∧ q] ⇒ ~p
    • [(p ┴ q) ∧ ~q] ⇒ p

Sylogizm alternatywno - rozłączny rozpatrzymy na przykładzie picia kawy i godziny 14.00. Załóżmy bowiem, iż każdego dnia pijamy kawę między 11.30 a 12.30, bo taki mamy zwyczaj. Wiadomym jest więc, że o 14.00 kawy pić nie będziemy, ponieważ o tej godzinie jej nie pijamy. Przykłady będą wyglądać zatem następująco:

Przykład nr 1: Jeżeli albo piję kawę (p) albo jest godzina 14.00 (q) i piję kawę (p), to nie ma godziny 14.00 (~q).

Przykład nr 2: Jeżeli albo piję kawę (p) albo jest godzina 14.00 (q) i nie piję kawy (~p), to jest godzina 14.00 (q)

Przykład nr 3: Jeżeli albo piję kawę (p) albo jest godzina 14.00 (q) i jest godzina 14.00 (q), to nie piję kawy (~p).

Przykład nr 4: Jeżeli albo piję kawę (p) albo jest godzina 14.00 (q) i nie ma godziny 14.00 (~q), to piję kawę (p).

  • sylogizm równoważnościowy
    • [(p ⇔ q) ∧ p] ⇒ q
    • [(p ⇔ q) ∧ ~p] ⇒ ~q
    • [(p ⇔ q) ∧ q] ⇒ p
    • [(p ⇔ q) ∧ ~q] ⇒ ~p

Sylogizm równoważnościowy będziemy analizować na przykładzie związku dwóch wyrażeń: "Pani Anna jest w dziekanacie" (p) oraz "Pani Anna załatwia coś na uczelni" (q). Daje to:

Przykład nr 1: Jeśli pani Anna wtedy i tylko wtedy jest w dziekanacie, gdy załatwia coś na uczelni a właśnie jest w dziekanacie (p), to na pewno załatwia coś na uczelni (q).

Przykład nr 2: Jeśli pani Anna wtedy i tylko wtedy jest w dziekanacie, gdy załatwia coś na uczelni a chwilowo nie ma jej w dziekanacie (~p), to na pewno nic nie załatwia na uczelni (~q).

Przykład nr 3: Jeśli pani Anna wtedy i tylko wtedy jest w dziekanacie, gdy załatwia coś na uczelni a właśnie załatwia coś na uczelni (q), to na pewno jest w dziekanacie (p).

Przykład nr 4: Jeśli pani Anna wtedy i tylko wtedy jest w dziekanacie, gdy załatwia coś na uczelni a nie załatwia teraz czegoś na uczelni (~q), to na pewno nie ma jej w dziekanacie (~p).

  • sylogizm hipotetyczny koniunkcyjny
    • [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r)

Sylogizm hipotetyczny koniunkcyjny można rozpatrzyć biorąc pod uwagę trzy wyrażenia: kierownik wydziału (p), dziekan (q), doktor (r). Wiadomo, iż kierownik wydziału szkoły wyższej to dziekan, a żeby być dziekanem trzeba posiadać stopień doktora nauk. Dlatego też sylogizm hipotetyczno koniunkcyjny można zobrazować przykładem:

Jeżeli ktoś jest kierownikiem wydziału (p) to jest dziekanem (q) i jeżeli jest dziekanem (q) to jest co najmniej doktorem (r); no to finalnie jeżeli jest kierownikiem wydziału (p), to jest co najmniej doktorem (r).

  • sylogizm hipotetyczny bezkoniunkcyjny
    • (p ⇒ q) ⇒ [(q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)]

Sylogizm hipotetyczny bezkoniunkcyjny można rozpatrzyć na podobnym przykładzie, jak powyżej. Weźmiemy pod uwagę: dziekana (p), rektora (q) oraz prodziekana (r):

Jeżeli ktoś jest dziekanem (p), to może zostać rektorem (q); to jeśli ktoś jest rektorem (q) to może zostać przeniesiony na stanowisko prodziekana (r), no to jeśli ktoś jest dziekanem (q), to tym bardziej może zostać przeniesiony na stanowisko prodziekana (r).

Negacje związków logicznych[2][edytuj]

  • negacja koniunkcji odpowiada dysjunkcji
    • ~(p ∧ q) ≡ (p / q)
  • negacja binegacji odpowiada alternatywie
    • ~(p ↓ q) ≡ (p ∨ q)
  • negacja alternatywy odpowiada binegacji
    • ~(p ∨ q) ≡ (p ↓ q)
  • negacja dysjunkcji odpowiada koniunkcji
    • ~(p | q) ≡ (p ∧ q)
  • negacja alternatywy rozłącznej odpowiada równoważności
    • ~(p ┴ q) ≡ (p ⇔ q)
  • negacja równoważności odpowiada alternatywie wykluczającej: ~(p ⇔ q) ≡ (p ┴ q)

oraz alternatywie zaprzeczeń implikacji: ~(p ⇔ q) ≡ [~(p ⇒ q) ∨ ~(q ⇒ p)]

  • negacja implikacji odpowiada koniunkcji[3]
    • ~(p ⇒ q) ≡ (p ∧ ~q)
    • ~(p ⇐ q) ≡ (~p ∧ q)
  • prawa negowania implikacji
    • ~ (p⇒q) ⇒ (q ⇒ p)
    • ~ (p⇒q) ⇒ (p ⇒ ~q)
    • ~ (p⇒q) ⇒ (~p ⇒ q)
    • ~ (p⇒q) ⇒ (~p ⇒ ~q)

Związki logiczne zawierające negację[4][edytuj]

  • koniunkcja ~p ∧ q odpowiada negacji implikacji ~(p ⇐ q) oraz ~(q ⇒ p)
  • koniunkcja p ∧ ~q odpowiada negacji implikacji: ~(p ⇒ q)
  • koniunkcja negacji ~p ∧ ~q odpowiada binegacji: p ↓ q
  • binegacja ~p ↓ q odpowiada negacji implikacji: ~(p ⇒ q)
  • binegacja p ↓ ~q odpowiada negacji implikacji ~(p ⇐ q) oraz ~(q ⇒ p)
  • binegacja negacji ~p ↓ ~q odpowiada koniunkcji: p ∧ q
  • alternatywa ~p ∨ q odpowiada implikacji: p ⇒ q a łącznie dają prawo logiczne: (p ⇒ q) ≡ (~p ∨ q)
  • alternatywa p ∨ ~q odpowiada implikacji p ⇐ q oraz q ⇒ p
  • alternatywa negacji ~p ∨ ~q odpowiada dysjunkcji: p | q
  • dysjunkcja ~p / q odpowiada implikacji p ⇐ q oraz q ⇒ p
  • dysjunkcja p / ~q odpowiada implikacji: p ⇒ q
  • dysjunkcja negacji ~p / ~q odpowiada alternatywie: p ∨ q
  • równoważność ~p ⇔ q, w której pierwsze ze zdań jest zaprzeczone odpowiada:
    • równoważności p ⇔ ~q
    • negacji równoważności ~(p ⇔ q)
    • alternatywie rozłącznej p ┴ q
  • równoważność negacji ~p ⇔ ~q odpowiada równoważności: p ⇔ q
  • implikacja ~p ⇒ q odpowiada implikacji odwrotnej p ⇐ ~q oraz alternatywie: p ∨ q
  • implikacja p ⇒ ~q odpowiada implikacja odwrotnej ~p ⇐ q oraz dysjunkcji: p / q
  • implikacja negacji ~p ⇒ ~q odpowiada implikacji odwrotnej: p ⇐ q
  • implikacja odwrotna negacji ~p ⇐ ~q (implikacja przeciwstawna) odpowiada implikacji: p ⇒ q

Transpozycja[edytuj]

  • prawo transpozycji prostej
    • (p ⇒ q) ⇒ (~q ⇒ ~p)

W przypadku prawa transpozycji prostej przejrzyściej jest, gdy używa się między dwoma zdaniami złożonymi znaku równoważności, a nie implikacji. Wówczas prawo transpozycji prostej przybiera bardziej zrozumiałą postać: (p ⇒ q) ⇔ (~q ⇒ ~p)

Przykład: Jeśli pada deszcz (p) to jest ślisko (q) co znaczy, iż jeśli nie jest ślisko (~q) to nie pada deszcz (~p).

Znak równoważności podkreśla również przemienność tego prawa: (~q ⇒ ~p) ⇔ (p ⇒ q)

W transpozycji chodzi bowiem o przestawienie implikacji (p ⇒ q) w taki sposób, aby następnik (q) zajął miejsce poprzednika (p) i oba zostały zanegowane (~q ⇒ ~p).

  • prawo transpozycji złożonej
    • [(p ∧ q) ⇒ r] ⇒ [(p ∧ ~r) ⇒ ~q]
    • [(p ∧ q) ⇒ r] ⇒ [(~r ∧ q) ⇒ ~p]

Przykład nr 1: Jeśli jest ciepło i świeci słońce (p ∧ q) to idę na plażę, co znaczy, że jeśli jest ciepło i nie idę na plażę (p ∧ ~r), to nie świeci słońce (~q).

Przykład nr 2: Jeśli pada deszcz i jest zimno (p ∧ q) to zakładam deszczak, co znaczy, że jeśli nie zakładam deszczaka i jest zimno (~r ∧ q), to nie pada deszcz (~p).

Eksportacja, importacja i komutacja[edytuj]

  • prawo eksportacji
    • [(p ∧ q) ⇒ r] ⇒ [p ⇒ (q ⇒ r)]
  • prawo importacji
    • [p ⇒ (q ⇒ r)] ⇒ [(p ∧ q) ⇒ r]
  • prawo importacji i eksportacji
    • [(p ∧ q) ⇒ r] ⇔ [p ⇒ (q ⇒ r)]

Jak pisał Wiesław Kurpiewski, "prawo eksportacji pozwala wynieść, <<wyeksportować>> z poprzednika implikacji jeden z członów koniunkcji składającej się na jej poprzednik do następnika tej implikacji. Pozwala przy to, przy dowodzeniu twierdzeń mających dwa założenia (poprzedniki) z których łącznie wynika teza, potraktować te założenia z osobna. Natomiast prawo importacji pozwala na przekształcenie odwrotne względem eksportacji, na włączenie, <<importowanie>> jednego z członów następnika implikacji do jej poprzednika. To z kolei pozwala przy dowodzeniu twierdzeń o dwóch założeniach złączyć je (koniunkcja) w jedno założenie dowodzonego twierdzenia. Zarówno prawo komutacji jak i prawo eksportacji i importacji mają zastosowanie przy opisie i analizie związków przyczynowo-skutkowych, w których dwa warunki konieczne (p, q) pewnego stanu rzeczy tworzą łącznie (p ∧ q) jego warunek wystarczający."[5]

  • prawo komutacji
    • [p ⇒ (q ⇒ r)] ⇔ [q ⇒ (p ⇒ r)]

Prawa de Morgana[edytuj]

Augustus De Morgan (1806 - 1871) – urodzony w Indiach angielski matematyk i logik. Profesor matematyki University College w Londynie. Napisał The elements of arithmetic (1835).

  • I prawo de Morgana
    • ~ (p ∧ q) ⇔ (~p ∨ ~q)

Pierwsze prawo de Morgana mówi, iż negacja koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji.

  • II prawo de Morgana
    • ~ (p ∨ q) ⇔ (~p ∧ ~q)

Drugie prawo de Morgana mówi, iż negacja alternatywy jest równoważna koniunkcji negacji.

Prawa de Morgana pozwalają na przedstawienie alternatywy w formie negacji koniunkcji negacji: p ∨ q ⇔ ~(~p ∧ ~q)

Przykład: Minister doda przepisy (p) lub zmieni przepisy w rozporządzeniu (q), co oznacza, iż nieprawdą będzie to, że nie doda (~p) i nie zmieni przepisów w rozporządzeniu (~q). Dla lepszego zrozumienia tego prawa logicznego warto odnieść je do tabeli prawdy dla alternatywy. Albowiem gdy p ma wartość logiczną 0 i q też ma wartość logiczną 0, to alternatywa p ∨ q (0 ∨ 0) daje fałsz 0. Czyli inaczej mówiąc, aby alternatywa p ∨ q była prawdziwa, to negacja koniunkcji ~p ∧ ~q, która wedle tabeli prawdy jest fałszywa, musi zostać zanegowana w formie zdania ~(~p ∧ ~q).

Dylematy[edytuj]

  • dylemat konstrukcyjny
    • [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r) ∧ (p ∨ q)] ⇒ r

Przykład: Jeżeli podejrzany kupił Tesco-ciastka (p), to był w Tesco (r) i jeśli widział się z kasjerką (q), to też był w Tesco (r) a że kupił Tesco-ciastka (p) lub widział się z kasjerką (q), to i tak był w Tesco (r).

  • dylemat konstrukcyjny złożony
    • [(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) ∧ (p ∨ r)] ⇒ (q ∨ s)

Przykład: Jeżeli podejrzany kupił Tesco-ciastka (p), to był w Tesco (q) i jeśli kupił ciastka na wagę (r) to był w Groszku (s) a kupił Tesco-ciastka (p) lub ciastka na wagę (r), to był w Tesco (q) lub był w Groszku (s).

Schematy[edytuj]

Wykorzystując symbole logiczne można budować schematy - znane już w starożytności - z użyciem dwóch przesłanek i wniosku. Nad kreską umieszcza się przesłanki, a pod kreską wniosek. Przesłankę, która jest wyżej nazywa się "przesłanką większą", a tą co poniżej "przesłanką mniejszą". Przykładowo zobaczmy kilka schematów podanych przez Galena:

Jeżeli p to q
Otóż p
-------------
       więc q

który to schemat implikacji obrazujemy wzorem

p -> q
p
------
    q

Następnie:

Jeżeli p to q
Lecz nie q
-------------
   więc nie p

co daje nam

p -> q
~q
------
    ~p

i na kolejnym przykładzie z użyciem koniunkcji:

Nie zarazem p i q
Otóż p
----------------
       więc nie q
~ (p ∧ q)
p
---------
       ~q

W ten sposób można budować nawet bardzo rozbudowane schematy. Galen podał taki przykład: Jeżeli pierwsze, to drugie lub trzecie lub czwarte lub piąte (przesłanka większa). Naprawdę pierwsze (przesłanka mniejsza), to drugie lub trzecie lub czwarte lub piąte (wniosek). Jeśli zaś za przesłankę mniejszą przyjmiemy "Naprawdę ani drugie lub trzecie, ani czwarte lub piąte", to otrzymamy - zdaniem Galena - wniosek "Zatem też nie pierwsze".[6]

Linki zewnętrzne[edytuj]

Przypisy

  1. Podane za skryptem W. Kurpiewskiego, "Logika - wykłady i materiały dydaktyczne dla studentów Wydziału Humanistycznego AGH"
  2. www.aries.com.pl/grzegorzj/logika/zwlog2.html
  3. Negacja implikacji odpowiadająca koniunkcji zwana jest też piątym prawem negowania implikacji.
  4. www.aries.com.pl/grzegorzj/logika/zwlog2.html
  5. W. Kurpiewski, Logika - wykłady i materiały dydaktyczne dla studentów Wydziału Humanistycznego AGH, skrypt online [dostęp 02.11.2013].
  6. Galen, Wstęp do dialektyki, oprac. J. Świderek, Lublin 1999, s. 81.

Powrót do spisu treści