Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pojęcie ciągu[edytuj]

Zacznijmy od przykładu. Wyobraźmy sobie, że jesteśmy w hipermarkecie i stoimy w kolejce przy kasie. Przed nami stoi kolejno Józek, Maryśka, Krzysiek, Kaśka, Magda, Zdzichu i Mietek. Każda z tych osób zapewne zastanawia się, która jest w kolejce i jak długo sobie jeszcze postoi. Na samym początku przy kasie jest Mietek, więc jest pierwszy, potem jest Zdzichu, więc jest drugi, następna jest Magda, więc jest trzecia, czwarta jest Kaśka itd. W ten sposób otrzymaliśmy pewien ciąg. Otóż każdej liczbie naturalnej od 1 do iluś tam, przypisaliśmy konkretną osobę np. dla 1 mamy Mietka, a dla 6 Maryśkę.

Spojrzmy teraz na definicję:

Definicja
DEFINICJA

Ciągiem nazywamy funkcję, która jest określona dla kolejnych liczb całkowitych dodatnich.

Jeśli są to wszystkie liczby całkowite dodatnie, wówczas ciąg taki nazywamy ciągiem nieskończonym.

Jeśli ta funkcja jest zdefiniowana dla kolejnych liczb mniejszych lub równych pewnej liczbie n, ciąg ten jest nazywany ciągiem skończonym.

Co to oznacza? Jeśli mamy funkcję a(x) i wiemy, że jest ciągiem, to dziedzina funkcji a zawiera się w zbiorze liczb całkowitych dodatnich, czyli . Ponadto jeśli ciąg jest nieskończony, wówczas a(1), a(2), a(3), a(4), ... jest zdefiniowane, zatem .

Jeśli ciąg jest skończony, wówczas określone jest jedynie a(1), a(2), a(3), ..., a(n), czyli .

Ponieważ ciąg jest zdefiniowany dla kolejnych liczb, więc jeśli wiemy, że np. a(100) jest zdefiniowane, wówczas a(99) będzie także zdefiniowane, ponieważ następną liczbą po 99 jest 100. Analogicznie a(98) także będzie zdefiniowane, ponieważ następną liczbą po 98 jest 99 itd. W końcu zejdziemy tak do 50, aż w końcu dotrzemy do 1. Nie wiemy natomiast czy a(101) jest określone, ponieważ 100 mogło być największą liczbą, dla której właśnie ten ciąg jest określony.

Jeśli mamy na myśli ciąg z reguły piszemy zamiast , zamiast , zamiast itd. W ogólności zamiast napiszemy .

, , czy też są nazywane wyrazami ciągu. to pierwszy wyraz ciągu, to piąty wyraz ciągu, a to k-ty wyraz ciągu itd.

Pisząc mamy na myśli pewien cały ciąg, czyli wszystkie wyrazy , , , ..., , ..., a nie tylko jeden wyraz .

Zamiast a może być dowolna inna litera.

Popatrzmy na kolejny przykład ciągu: , , , . Widać, że ciąg ten jest skończony. Możemy powiedzieć, że ma tylko 4 wyrazy. Zauważmy także, że wartościami tego ciągu są liczby np. 10 dla wyrazu . Ciąg taki nazywamy ciągiem liczbowym.

Definicja
DEFINICJA

Ciąg nazywamy ciągiem liczbowym, jeśli wartości tego ciągu są liczbami.

Przykład przedstawiony na samym początku nie jest ciągiem liczbowym, ponieważ Kaśki, Mietka czy Maryśki do liczb nie zakwalifikujemy.

Zanim przejdziemy dalej, rozważmy przykład ciągu nieskończonego , w którym zachodzi:

O ciągu tym możemy powiedzieć, że jest nieskończony, co zresztą już wiemy. Na pewno jest ciągiem liczbowy. Kilka pierwszych wyrazów wynosi:

, , .

Ciąg ten możemy zapisać także jako:

.


Kolejnym przykładem ciągu liczbowego jest , gdzie

.

Wypiszmy wszystkie wyrazy tego ciągu:

, , , , , , , .

Jak dla każdej funkcji określonej w podzbiorze liczb rzeczywistych, także dla ciągu możemy narysować wykres. Dla powyższego przykładu wykres będzie wyglądał tak:

Wykres ciągu c n=2(n-4) dla 1 leq n leq 8.png

Wykres ciągu liczbowego zawsze będzie składał się z punktów, ponieważ dziedziną jest zbiór liczb całkowitych dodatnich lub jego pewien podzbiór, a zbiór liczb całkowitych, w przeciwieństwie do zbioru liczb rzeczywistych nie jest wszędzie gęsty.


Monotoniczność ciągu[edytuj]

Podobnie jak dla funkcji tak i dla ciągu możemy zdefiniować monotoniczność. Spójrzmy na ciąg:

Domyślamy się, że ciąg ten jest ciągiem rosnącym, ponieważ liczby w ciągu są coraz większe, czyli . Ogólnie mówiąc n-ty wyraz jest mniejszy od następnego, czyli , a to możemy zapisać jako:

Definicja
DEFINICJA

Ciąg nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdej liczby spełniona jest nierówność

Podobnie ciąg:

będzie ciągiem malejącym, ponieważ . W tym przypadku dla n-tego wyrazu będziemy mieli , czyli:

Definicja
DEFINICJA

Ciąg nazywamy ciągiem malejącym, jeżeli dla każdej liczby spełniona jest nierówność

Zobaczmy kolejny przykład:

.

ciąg ten prawie rośnie, ale jednak nie rośnie, ponieważ np. . Ciąg ten jest ciągiem niemalejącym, więc zachodzi w nim:

Definicja
DEFINICJA

Ciąg nazywamy ciągiem niemalejącym, jeżeli dla każdej liczby spełniona jest nierówność

Skoro ciąg może być ciągiem niemalejącym, to może i być ciągiem nierosnącym. Stwórzmy odpowiedni przykład:

Już wiemy, że ciąg ten jest nierosnący, co oznacza, że zachodzi:

Definicja
DEFINICJA

Ciąg nazywamy ciągiem nierosnącym, jeżeli dla każdej liczby spełniona jest nierówność


Wszystkie wyrazy mają taką samą wartość. Czyli ten ciąg jest stały.
Definicja
DEFINICJA

Ciąg nazywamy ciągiem stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są równe

Spójrzmy teraz na ten ciąg:

Analizując ten przykład nie możemy stwierdzić, że jest on rosnący czy malejący. O takim ciągu mówimy, że jest ciągiem niemonotonicznym.

Definicja
DEFINICJA

Ciągiem niemonotonicznym nazywamy ciąg, który nie jest ciągiem monotonicznym.


Ciąg arytmetyczny[edytuj]

Definicja[edytuj]

Spójrzmy na kilka przykładów ciągów arytmetycznych:

Czy widzimy pewne podobieństwo? Każde z kolejnych wyrazów ciągu różnią się o pewną stałą liczbę np. w ciągu o 10. W już prawie widzimy, że po 6 będzie 7, a po 7 będzie 8 itd.

Definicja
DEFINICJA

Ciąg (co najmniej trzy-wyrazowy), w którym różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała nazywamy ciągiem arytmetycznym.

Ciąg musi mieć przynajmniej trzy wyrazy, żeby można było stwierdzić w jaki sposób powstają kolejne wyrazy.

Czy będzie ciągiem arytmetycznym? Nie, ponieważ i , zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów nie jest stała.

Ponieważ w ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o pewną stałą liczbę, więc przyjmując, że to pewien wyraz, to wyraz go poprzedzający, możemy powiedzieć, że różnica będzie stała dla każdego n. Tę różnicę oznaczymy jako r. Napiszemy:

(różnica ciągu)

Wzór ogólny[edytuj]

Powróćmy do ciągu . Chcielibyśmy znaleźć dla niego wzór na n-ty wyraz. Hmm... co możemy o nim powiedzieć? Pierwszy wyraz , a różnica ciągu wynosi . Ponieważ , więc , podobnie , itd. Więc zrobimy tak:

...

Widzimy to? Każdy wyraz jest postać 3 + ileś · 10, a to ileś dla 6 wynosi 5, dla 4 wynosi 3, dla 2 wynosi 1. Aha, czyli jest to po prostu n-1 dla n-tego wyrazu. Otrzymujemy wzór .

Uogólnijmy ten wzór dla dowolnego ciągu , gdzie wiemy ile wynosi i znamy różnicę ciągu . Czyli:

jest dane
...

Prawie to samo... Czyli widzimy, że:

(wzór ogólny ciągu arytmetycznego)

Wiemy, że oraz . Jeśli zsumujemy n-1 i n+1 wyraz, otrzymamy: Wyłączając dwójkę przed nawias otrzymujemy:

Wynika z tego, że dla każdego ciągu arytmetycznego zachodzi:

Ale także jeśli n-ty wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego to ciąg ten jest arytmetyczny.

O monotoniczności ciągu arytmetycznego możemy powiedzieć, że:

  • ciąg jest rosnący, gdy różnica ,
  • ciąg jest stały, gdy różnica ,
  • ciąg jest malejący, gdy różnica .

Łatwo jest to udowodnić. Przykładowo pokażmy, że dla ciąg jest rosnący. Przypomnijmy co to znaczy, że ciąg (czyli funkcja) jest rosnący:

Definicja
DEFINICJA

jest rosnący wtedy i tylko wtedy gdy:

Załóżmy więc, że oraz: , zbadajmy różnicę :

Z założenia różnica r ciągu jest dodatnia, różnica c-b jest dodatnia(b<c). Zatem , co oznacza, że ciąg jest rosnący.


Ciąg geometryczny[edytuj]

Definicja[edytuj]

Ciąg geometryczny trochę przypomina ciąg arytmetyczny, tylko zamiast różnicy iloraz jest stały. Zobaczmy to na kilku przykładach:

Popatrzmy na ciąg . Iloraz ma być stały, no i rzeczywiście . Podobnie w ciągu mamy . Czyli widzimy, że w ciągu geometrycznym jest stałe.

Definicja
DEFINICJA

Ciąg, w którym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stały nazywamy ciągiem geometrycznym.

Iloraz nazywamy ilorazem ciągu i oznaczamy najczęściej jako q, czyli:

(iloraz ciągu)

Jak stąd wynika, musi być w przeciwnym wypadku i powyższy wzór nie daje się zastosować.

Liczba q została tak dobrana, aby zachodziło:

...

Ciąg geometryczny posiada co najmniej trzy wyrazy.

Wzór ogólny[edytuj]

Podobnie, jak to robiliśmy w przypadku ciągu arytmetycznego, wyprowadzimy wzór na n-ty element ciągu geometrycznego. Mamy pierwszy element , a także iloraz q i wiemy, że zachodzi . Wypiszmy wyrazy tego ciągu:

  • ...

Widzimy, że jest postaci , a ta pewna liczba dla n=5 wynosi 4, dla n=4 wynosi 3, dla n=3 wynosi 2. Ok, czyli liczba ta jest równa n-1, więc otrzymujemy wzór:

(wzór ogólny ciągu geometrycznego)

W ciągu geometrycznym także zachodzi:

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Niech (an) będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q. Jeśli:
1) , to (an) jest ciągiem rosnącym;
2) , to (an) jest ciągiem malejącym;
3) , to (an) jest ciągiem malejącym;
4) , to (an) jest ciągiem rosnącym;
5) , to (an) nie jest ciągiem monotonicznym.


Sumy częściowe[edytuj]

Suma częściowa ciągu to inaczej suma kilku kolejnych wyrazów pewnego ciągu. Najprostszym przykładem może być , czy też dla pewnego ciągu .

Policzmy sumę czterech kolejnych wyrazów ciągu zdefiniowanego wzorem . Mamy , , , , czyli:

Podobnie policzmy sumę wyrazów ciągu arytmetycznego , gdzie , a różnica ciągu wynosi -3. Jednak najpierw musimy policzyć ile wynoszą odpowiednie wyrazy. Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy:

Zatem suma .

Sumę kolejnych n wyrazów pewnego ciągu, czyli z reguły oznaczamy jako . Kilka przykładów ...:

Używając tego oznaczenia możemy zapisać także sumę kolejnych, ale nie koniecznie początkowych wyrazów, na przykład:

W ogólności suma .

Suma częściowa ciągu arytmetycznego[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi:

Znając to twierdzenie możemy policzyć sumę . Widzimy, że i ponadto i . Zatem .

Korzystając z tego wzoru możemy w bardzo prosty sposób znaleźć wzór na sumę n kolejnych liczb naturalnych. Zero możemy pominąć, ponieważ nic nie wnosi do naszej sumy. Zobaczmy -- pierwszą liczbą będzie 1, czyli , a n-tą liczbą jest . Ponadto od 1 do n jest dokładnie n liczb. Czyli mamy wzór:

,

być może już przez niektórych znany.

Policzmy teraz sumę trzydziestu jeden kolejnych wyrazów ciągu , gdzie i . Wiemy, że , ale nie znamy wartości , dlatego musimy wykorzystać wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

Teraz tylko zastosować wzór na sumę początkowych wyrazów:

.

Znajdźmy wzór na sume n początkowych wyrazów ciągu znając jedynie n, i r. Wiemy ze wzoru na n-ty wyraz, że . Podstawiając do wzoru na sumę otrzymujemy:

Po drobnym przekształceniach mamy:

(suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy r)

Czy wzór jest prawdziwy dla dowolnego ciągu arytmetycznego? Odpowiedź, brzmi tak. Aby się o tym przekonać przedstawimy dowód.

Dowód:

Wiemy, że , a ponieważ jest ciągiem arytmetycznym, więc . Z tych dwóch zależności wynika, że:

,

sumę tę możemy także przepisać jako (idąc od końca do początku):

Dodając obydwie sumy do siebie otrzymujemy:

Wszystkie powyższe sumy posiadają n składników, zatem:

Po podzieleniu przez dwa mamy:

Czyli dochodzimy do wzoru przedstawionego nieco wyżej.

Suma częściowa ciągu geometrycznego[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi:

  1. dla ilorazu :
  2. dla ilorazu

Możemy teraz bez problemu obliczyć sumę stu dwójek, czyli . Nie powinno to sprawić problemu osobie, która nie zna powyższego twierdzenia. Mamy sto dwójek, więc , proste. Oczywiście możemy wykorzystać odpowiedni wzór. Ponieważ , więc zastosujemy pierwszego wzór otrzymując .


Obliczmy sumę 4 kolejnych wyrazów ciągu , gdzie:

,
.

Ponieważ , więc wykorzystamy wzór dla :

.


Przejdźmy teraz do nieco trudniejszego przykładu. Obliczmy sumę . Sumę tę tworzą kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Widzimy, że , ponadto . Zastanówmy się, z ilu elementów składa się ta suma (czyli ile wynosi n)? Z wzoru ogólnego wynika, że , a z sumy do policzenia, że . Więc , czyli . Ponieważ , więc wykorzystamy wzór drugi:

.


Obliczmy sumę 9 kolejnych wyrazów ciągu zdefiniowanego wzorem:

.

Pamiętamy, że każdy ciąg geometryczny zdefiniowany jest wzorem:

Zauważmy, że gdybyśmy jako podstawili 11, a jako q liczbę -10, otrzymalibyśmy taki sam wzór na n-ty wyraz, jaki ma ciąg . Zatem musi zachodzić , a . Możemy teraz wyliczyć sumę, a ponieważ mamy:


Pomyślmy teraz, ile wynosi suma 10 kolejnych wyrazów ciągu zdefiniowanego wzorem:

Ze wzoru możemy w łatwy sposób wyliczyć kilka pierwszych wyrazów:

...

Zatem widzimy, że , a . Otrzymujemy:

Wyznaczmy wzór ogólny na sumę n kolejnych elementów ciągu , w którym i . Ponieważ możemy ze znanego nam już twierdzenia powiedzieć, że:

.

Na koniec spróbujmy udowodnić, że ten wzór jest poprawny, nie odwołując się do wcześniej przedstawionego twierdzenia. Wypiszemy najpierw założenia i tezę, a potem przedstawimy dowód.

Założenia:

.


Teza:


Dowód:

Sumę możemy wymnożyć przez :

Teraz odejmijmy od siebie obydwie sumy:


Czyli , po podzieleniu przez -4 dochodzimy do:

,

a co chcieliśmy udowodnić.


Przykłady ciągów[edytuj]

Ciąg harmoniczny[edytuj]

Jeśli ciąg harmoniczny oznaczymy jako , to k-ty wyraz będzie określony wzorem:

.

Czyli na przykład , , a itp.

Nazwa pochodzi z fizyki, a dokładniej od tego, że w drgającej strunie kolejne możliwe do uzyskania długości fali stojącej są w stosunku .

Liczby harmoniczne[edytuj]

, czyli n-ta liczba harmoniczna jest sumą kolejnych n wyrazów ciągu harmonicznego tzn.

.

Zobaczmy kilka przykładów:

Oznaczenie jako n-tą liczbę harmoniczną jest powszechnie znane. Jeśli napiszemy , to raczej wszyscy będą wiedzieli, że chodzi o n-tą liczbę harmoniczną.

Ciąg Fibonacciego[edytuj]

Ciąg ten zaczyna się od dwóch jedynek, a każdy następny wyraz jest sumą dwóch poprzednich. Ciąg ten oznaczamy przez . Z definicji ciągu widzimy, że zachodzi relacja:


Gdy i , wówczas . Podobnie, gdy wiemy, że:

,

wtedy:

.


Można łatwo przez indukcję dowieść, że n-ty wyraz tego ciągu wynosi:

(wzór Bineta)


Rekurencja[edytuj]

Ze wzorami opisywanymi rekurencyjnie spotkaliśmy się już wcześniej. Na przykład, wiemy, że dla dowolnego ciągu arytmetycznego o różnicy r=5 zachodzi:

,

czyli każdy wyraz ciągu jest większy o 5 od poprzedniego. Podobnie wiemy, że w ciągu geometrycznym o ilorazie q=7 zachodzi:

.

Podobnie, gdy powiemy, że w kolejce pierwszy przy kasie stoi Józek, za Józkiem stoi Maryśka, za Maryśką stoi Krzysiek, a za Krzyśkiem Kaśka, także się posłużymy rekurencją, nazywaną także rekursją.

Innym przykładem rekurencji jest czynność sprzątania zabawek:

chwyć zabawkę, schowaj ją do szafy i sprzątaj dalej... (aż nie posprzątasz)

czy też liczenia od 100 do 0:

mamy 100. odejmujemy 1 i mamy 99 i liczymy dalej, tym razem od 99 do 0.

Najprościej mówiąc, rekurencja tak w matematyce jak i w informatyce, to odwoływanie się funkcji (ciągu, algorytmu) do samej siebie. Ze wzorem rekurencyjnym mamy więc do czynienia wtedy, gdy w definicji wyrazu n-tego mamy odwołanie do wyrazu o indeksie w jakiś sposób zależnym od n, na przykład do wyrazu o indeksie n-1 (czyli wyrazu poprzedniego).

Zobaczmy kilka przykładów ciągów określonych rekurencyjnie:

  • ciąg arytmetyczny określony wzorem:

W tym przypadku widzimy na przykład, że:

. Wiedząc, że i i korzystając, ze wzoru ogólnego na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy wynik , dochodzimy, do takiego samego wyniku.

  • ciąg geometryczny , gdzie:

W tym przypadku widzimy, że n-ty wyraz jest 6 razy większy od poprzedniego. Ze wzoru rekurencyjnego możemy wyliczyć, że:

.

W poprzednim rozdziale widzieliśmy nieco skomplikowany ciąg nazywany, który jest zdefiniowany wzorem:

  • .

Policzmy teraz :

.

Powinniśmy już pamiętać, że ciąg zdefiniowany wzorem:

,

posiada postać zwartą, czyli bez rekurencji, w postaci:

. (Jak pamiętamy, jest to ciąg arytmetyczny.)

Natomiast postać zwarta ciągu geometrycznego zdefiniowanego wzorem:

będzie postaci:

,

a co już zresztą wiemy.

Indukcja matematyczna[edytuj]

Indukcja matematyczna to jeden ze sposobów dowodzenia pewnych twierdzeń. Pokazujemy, że dane twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej wartości początkowej (np. dla 10), a następnie uzasadniamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla większych wartości (np. dla 11, 12, 13 itd.), korzystając z prawdziwości twierdzenie dla mniejszych wartości (czyli np. uzasadniamy, że dla 11 twierdzenie jest prawdziwe, wykorzystując do tego 10). Teoretyczne podstawy już znamy (przynajmniej teoretycznie), to przejdźmy do praktyki.

Udowodnijmy za pomocą indukcji, że jeśli dodamy sto jedynek, to otrzymamy liczbę sto. Zauważmy, że dodając k jedynek (np. ), najpierw dodajemy k-1 jedynek (np. ), a potem jeszcze jedną, czyli:

np.

Z tego co jest napisane wyżej o indukcji, wynika, że najpierw musimy uzasadnić, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej początkowej wartości, więc weźmy jedynkę:

. Dodając jedną jedynkę otrzymujemy po prostu 1, czyli wszystko OK.

Możemy jeszcze sprawdzić dla dwójki:

i znowu się zgadza.

Czyli pewnie wzór będzie się zgadzał dla wszystkich liczb , czy też nawet dla (dla pewnego określonego k np. równego 50), co zapiszemy:

(nasze założenie)

Czy wzór będzie się zgadzał dla ? Sprawdźmy:

(skorzystaliśmy ze wzoru ).

Wiemy z założenia przedstawionego ciut wyżej, że , zatem:

.

Czyli do zbioru dla którego nasze twierdzenie jest prawdziwe możemy wepchać następną liczbę, czyli k+1. I tak dokładając 2, 3, 4 i następne liczby dochodzimy aż do 100. Zatem udowodniliśmy to twierdzenie. Już jesteśmy pewni, że jeśli dodamy sto jedynek otrzymamy liczbę sto!

Podsumujmy w skrócie, co zrobiliśmy. Otóż wykonaliśmy poniższe kroki:

  1. Pokazaliśmy, że jest prawdziwe dla 1.
  2. Założyliśmy, że w takim razie będzie prawdziwe dla 1, 2, 3, ..., k.
  3. Pokazaliśmy, że skoro jest prawdziwe od 1 do k, więc musi być także prawdziwe dla k + 1.
  4. Stwierdziliśmy, że musi być prawdziwe dla wszystkich n, czyli także 100.


Teraz udowodnijmy, że .

Najpierw musimy sprawdzić dla n=1:
, ponieważ dodaliśmy tylko jedną liczbę -- 1.
.
Zgadza się, .

Czyli teraz możemy stworzyć odpowiednie założenie.

Założenie indukcyjne dla n = k:
.

I pokażemy, że skoro dla k jest prawdziwe to będzie także dla , ale najpierw postawmy tę tezę.

Teza indukcyjna:

No i w końcu przedstawimy dowód.

Dowód tezy indukcyjnej:
Czyli .

Ponieważ stwierdziliśmy, że wzór jest prawdziwy dla , a także z prawdziwości wzoru dla wynika prawdziwość wzoru dla , więc dzięki zasadzie indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla każdego całkowitego .


Definicja
DEFINICJA

Liczba jest granicą ciągu () - co oznaczamy lub dla wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej prawie wszystkie wyrazy ciągu () znajdują się w odległości mniejszej niż od .

Definicja
DEFINICJA

Liczba jest granicą ciągu () wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej istnieje taka liczba , że dla każdej liczby naturalnej zachodzi nierówność .
Zapis symboliczny:



Procent składany[edytuj]

Procent składany przydaje się do łatwego obliczenia wartość lokat po zadanej liczbie okresów kiedy naliczane jest oprocentowanie.

Ogólny wzór na procent składany ma postać:

,

gdzie

  • - kwota końcowa
  • - kwota wpłacona na początku
  • p - oprocentowanie
  • n - liczba okresów kiedy będą naliczane odsetki

Jeżeli konto ma kapitalizację roczną, to n równe jest ilości lat w których oszczędzamy. Jeśli kapitalizacja następuje trzy razy w roku (czyli co 4 miesiące), to procent musimy podzielić na trzy, a liczba kapitalizacji (n) w ciągu roku wynosi wtedy 3, w ciągu dwóch lat 6, a np. w ciągu 16 miesięcy n=4 (bo 4 razy występuje okres 4 miesięcy).

Przykład[edytuj]

Załóżmy, że mamy 5 000 zł i chcemy je oddać do banku, gdzie oprocentowanie roczne wynosi 4,52%. Bank nalicza odsetki co dwa miesiące. Jaki będzie stan konta po dwóch latach, zakładając że nie wpłacamy ani wypłacamy żadnych pieniędzy?

Zauważmy, że kapitalizacja następuje co dwa miesiące, więc w roku tych kapitalizacji będzie sześć. W ciągu dwóch lat liczba kapitalizacji wyniesie dwanaście. Oprócz tego oprocentowanie roczne, wynoszące 4,52% (9,04% w skali 2 lat) musimy podzielić przez liczbę kapitalizacji. W tym przypadku wynosi ono: 4,52% / 6 = 0,753%. Zgodnie ze wzorem:


Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Podsumowanie Oblicz 4 początkowe wyrazy ciągu geometrycznego:



Odp. 4 początkowe wyrazy ciągu geometrycznego


Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ćwiczenia