Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna[edytuj]

Przypomnienie działań na potęgach[edytuj]

Przypomnijmy sobie podstawowe działania na potęgach:

Kilka podstawowych przykładów[edytuj]

Przykład 1.

Sprowadźmy do jednej potęgi wyrażenie:

a)
Rozwiązanie:
b)
Rozwiązanie:


Przykład 2.

Zapiszmy w postaci potęgi:

a)
b)

Przykład 3.

Udowodnijmy równość:

a)
czyli
b)
zatem
c)

Przykład 4.

Udowodnijmy teraz, że liczba jest wymierna:

Przykład 5.

Teraz odwrotnie, udowodnijmy, że liczba jest niewymierna:


Funkcja potęgowa[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Funkcja potęgowa jest to funkcja określona wzorem .


Dziedzina funkcji potęgowej:

  1. Jeśli , to
  2. Jeśli , to
  3. Jeśli :
    • dla , to
    • dla , to
Informacja Bardziej formalne oznaczenie zbioru C (liczb całkowitych) to , natomiast W (liczb wymiernych) to

Wykres[edytuj]

O wykładniku równym zero[edytuj]

Funpot-wykr0.png

W tym przypadku wykres jest dość prosty - wykresem funkcji jest prosta. Jedynym faktem do zaznaczenia jest to, że . Dziedzina jest bez zera, ponieważ wartość wyrażenia jest nieokreślona.

O wykładniku dodatnim parzystym[edytuj]

Funpot-wykr1.png

Wszystkie te wykresy przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;1), a także (1;1).

Własności:

  1. Miejsce zerowe funkcji:
  2. Wartości dodatnie:
  3. Wartości ujemne: , funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych
  4. Ekstrema:
    Minimum: dla
    Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
  5. Monotoniczność:
    Rośnie dla
    Maleje dla
  6. Funkcja nie jest różnowartościowa
  7. Funkcja jest parzysta
  8. Funkcja nie jest nieparzysta


O wykładniku dodatnim nieparzystym[edytuj]

Funpot-wykr2.png

Łatwo zauważyć, że wykresy te przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;-1), a także (1;1).

Własności:

  1. Miejsce zerowe funkcji:
  2. Wartości dodatnie:
  3. Wartości ujemne:
  4. Ekstrema:
    Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej
    Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
  5. Monotoniczność:
    Rośnie dla
  6. Funkcja jest różnowartościowa
  7. Funkcja nie jest parzysta
  8. Funkcja jest nieparzysta

O wykładniku ujemnym parzystym[edytuj]

Funpot-wykr3.png

Wszystkie te wykresy przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;1), a także (1;1). Ponadto zachodzi:

Własności:

  1. Miejsce zerowe funkcji: brak
  2. Wartości dodatnie:
  3. Wartości ujemne:
  4. Ekstrema:
    Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej
    Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
  5. Monotoniczność:
    Rośnie dla
    Maleje dla
  6. Funkcja nie jest różnowartościowa
  7. Funkcja jest parzysta
  8. Funkcja nie jest nieparzysta
  9. Asymptoty: i

O wykładniku ujemnym nieparzystym[edytuj]

Funpot-wykr4.png

Wykresy te przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;-1), a także (1;1). Można zauważyć, że zachodzi także:

Własności:

  1. Miejsce zerowe funkcji: brak
  2. Wartości dodatnie:
  3. Wartości ujemne:
  4. Ekstrema:
    Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej
    Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
  5. Monotoniczność:
    Maleje w przedziale i przedziale
  6. Funkcja jest różnowartościowa
  7. Funkcja nie jest parzysta
  8. Funkcja jest nieparzysta
  9. Asymptoty: i


Rozwiązywanie równań potęgowych[edytuj]


Przykładami równań potęgowych może być:

,
,
.

W celu rozwiązania danego równania oczywiście najpierw należy wyznaczyć dziedzinę. Następnie rozwiązujemy je i sprawdzamy, które rozwiązania należą do dziedziny równania. Załóżmy, że mamy równanie i chcemy je rozwiązać. Możemy to zrobić w ten sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę:
  2. Przekształcamy pierwiastek na potęgę:
  3. Ponieważ obydwie strony równania są dodatnie, możemy je podnieść do potęgi :
  4. Czyli:

Niektóre równania możemy sprowadzić do postaci równania kwadratowego, na przykład równanie :

  1. Ustalamy dziedzinę:
  2. Podstawmy: i otrzymujemy równanie kwadratowe:
  3. Czyli:
  4. Otrzymujemy:

Spójrzmy na jeszcze inny przykład: .

  1. Ustalamy dziedzinę:
    Czyli:
  2. Wyrażenie to możemy podnieść do kwadratu, ponieważ lewa i prawa strona jest dodatnia:
  3. Żeby równanie to miało sens muszą zachodzić warunki:
  4. I możemy ponownie podnieść to wyrażenie do kwadratu:
  5. Czyli:
  6. Zatem rozwiązaniami tego równania jest 5 i 11.

Rozwiązywanie nierówności potęgowych[edytuj]

Przykładem nierówności potęgowej może być:

Aby rozwiązać nierówność potęgową możemy wykonać poniższe czynności:

  1. Ustalamy dziedzinę.
  2. Przenosimy wszystkie składniki nierówności na lewą stronę.
  3. Rozwiązujemy nierówność, pamiętając o dziedzinie. Często okazuje się przydatne wykorzystanie własności:
  4. Udzielamy odpowiedzi.

Czasami może okazać się pomocne obustronne pomnożenie nierówności przez , gdzie k jest liczbą parzystą. Nie spowoduje to problemów, ponieważ zawsze będzie nieujemne, a w związku z tym znak wyrażeń po obu stronach nierówności nie może ulec zmianie.

Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność .

Możemy to zrobić w standardowy sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę, wykonując pewne przekształcenia, które nam to ułatwią:
  2. Przenosimy wszystko na lewą stronę:
  3. Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
  4. Otrzymujemy dwa miejsca zerowe:
    o krotności 4
    o krotności 1
    Matematyka dla liceum-nierpot-wykr1.png
  5. Rozwiązaniem nierówności jest

Nierówność możemy także rozwiązać (po uprzednim ustaleniu dziedziny ) wymnażając obie strony przez , ponieważ dla każdego x różnego od 0. Otrzymalibyśmy wtedy:

Uwzględniając dziedzinę otrzymujemy, że . Jak widać w tym przypadku drugi sposób okazał się o wiele łatwiejszy.

Trzeba dodać, że nie moglibyśmy wymnożyć przez np. (wykładnik nieparzysty), ponieważ może przyjąć wartość ujemną. A pamiętamy, że jeśli nierówność wymnażamy przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny. Wymnażając przez nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy liczba ta jest ujemna, dodatnia, czy może jest zerem, zatem nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy musimy zmienić znak na przeciwny bez tworzenia dodatkowych założeń.

Dodajmy także, że jeśli wymnażamy obustronnie nierówność (czy nawet równanie) przez (czy inne potęgi) musimy sprawdzić jeden przypadek zdegenerowany -- co będzie gdy , czyli gdy . Musimy to zrobić, ponieważ jeśli dowolną nierówność wymnożymy obustronnie przez 0 obie strony nierówności się zerują np. przechodzi na (zawsze prawdziwe). Zatem musimy sprawdzić dwa przypadki -- czy liczba x = 0 spełnia niewymnożoną nierówność (w ten sposób pomijamy sytuację, gdy ), a także która z liczb spełnia wymnożoną nierówność (wtedy ). Następnie sumujemy oba zbiory rozwiązań.

Na szczęście w powyższym przykładzie , czyli x nigdy nie będzie równy 0 i ten zdegenerowany przypadek nas nie dotyczy.


Funkcja wykładnicza[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Funkcja wykładnicza jest to funkcja określona wzorem dla i .


Przykładem funkcji wykładniczej może być:

  • , co jest równoznaczne

Wykres i własności[edytuj]

Matematyka dla liceum-Funwyk-wykr.png Matematyka dla liceum-Funwyk-wykr2.png

Patrząc na funkcję i (kolor czerwony) wydaje nam się, że są one symetryczne względem osi OY. Podobnie jest z funkcjami i (kolor granatowy), a także i (kolor zielony). Możemy przypuszczać, że wykresy , a także są symetryczne względem osi OY i rzeczywiście tak jest: .

Własności:

  1. , czyli
  2. Wykres funkcji jest symetryczny względem osi OY do wykresu funkcji
  3. Funkcja nie posiada miejsc zerowych
  4. Funkcja przecina oś OY w punkcie , ponieważ
  5. Funkcja jest różnowartościowa
  6. Dla funkcja jest rosnąca
  7. Dla funkcja jest malejąca


Rozwiązywanie równań wykładniczych[edytuj]


Przykładami równań wykładniczych mogą być:



Schemat rozwiązywania równań wygląda tak:

  1. Ustalamy dziedzinę.
  2. Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo jeszcze do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników.
  3. Rozwiązujemy równanie.
  4. Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie.
  5. Podajemy odpowiedź.


Przykład 1

Chcemy rozwiązać równanie , możemy to zrobić w ten sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę:
  2. Sprowadzamy do tej samej podstawy:
  3. Z równości potęg wynika równość wykładników:
  4. Zatem rozwiązaniem równania jest -2.
  5. Możemy sprawdzić rozwiązanie:
  6. Zatem

Przykład 2

Jeśli chcemy rozwiązać równanie , możemy to zrobić w ten sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę i przekształcamy równanie:
  2. Podstawiamy
  3. Otrzymujemy:
  4. Ponieważ :
  5. lub
  6. lub
  7. lub
  8. Liczby 3 i 4 są rozwiązaniami tego równania.

Rozwiązywanie nierówności wykładniczych[edytuj]

Przykładami nierówności wykładniczych są:




W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:

  1. Ustalić dziedzinę
  2. Sprowadzić obie strony do tych samych podstaw albo przekształcić do innego równania, które potrafimy rozwiązać.
  3. Wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio równanie:
    dla
    analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
    W skrócie: kiedy funkcja jest rosnąca znak nierówności pozostaje bez zmian.
    dla
    analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”
    W skrócie: kiedy funkcja jest malejąca znak nierówności zamieniamy na przeciwny.
  4. Rozwiązujemy otrzymane równanie.
  5. Udzielamy odpowiedzi.

Popatrzmy jeszcze raz na punkt trzeci. Wynika z niego, że jeśli mamy równanie , możemy je przekształcić na równanie , ponieważ . Natomiast , ponieważ .


Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność . W tym celu:

  1. Ustalamy dziedzinę:
  2. Sprowadzamy do tych samych podstaw:
  3. Ponieważ , wykorzystujemy prawo :
  4. Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
  5. Z własności , wynika że:
    , krotność 2 i o krotności 1.
    Matematyka dla liceum-nierwyk-wykr1.png
  6. Czyli


Logarytm[edytuj]

Pojęcie i własności logarytmu[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Logarytmem liczby dodatniej b przy podstawie a, gdzie , nazywamy wykładnik potęgi c, do której należy podnieść a, aby otrzymać b.

, dla i i
a jest podstawą logarytmu
b jest liczbą logarytmowaną
c jest wartością logarytmu

Własności logarytmu:

  • warto dodać, że logarytm jest funkcją ciągłą


Przykłady

Logarytm naturalny i dziesiętny[edytuj]

W praktyce najczęściej stosuje się logarytmy o podstawie 2, oraz 10, stąd zapis:

  • - logarytm dziesiętny (alternatywnie Briggsa lub zwyczajny)
  • - logarytm naturalny (którego podstawa )

Przybliżenia[edytuj]

W obliczeniach chemicznych często przybliża się:


Funkcja logarytmiczna[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Funkcję , gdzie , i nazywamy funkcją logarytmiczną.

Ponadto funkcja logarytmiczna przesunięta o wektor , także jest funkcją logarytmiczną. Funkcja ta będzie wówczas postaci .

Przykłady funkcji logarytmicznej:

Wykres y=log2(x), y=log3(x).png

Najważniejsze własności funkcji dla :

  • funkcja jest rosnąca
  • funkcja jest różnowartościowa

Wykres y=log2^-1(x), y=log3^-1(x).png

Najważniejsze własności funkcji dla :

  • funkcja jest malejąca
  • funkcja jest różnowartościowa


Rozwiązywanie równań logarytmicznych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Równaniem logarytmicznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami równań logarytmicznych są:

Wyznaczając rozwiązania równania logarytmicznego powinno się:

  1. Ustalić dziedzinę
  2. Rozwiązać równanie. Mogą się okazać przydatne poniższe własności logarytmów:
    • np.
    • Z równości logarytmów o tych samych podstawach wynika równość liczb logarytmowanych np. , ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa.
  3. Podać odpowiedź.

Przykład 1

Rozwiążmy równanie .

  1. Ustalamy dziedzinę:
  2. Własność sprawdzi się w tym przypadku. Otrzymamy
  3. Odp.


Przykład 2

Chcemy rozwiązać równanie . Możemy to zrobić w ten sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę:
    Zatem mamy równanie
  2. Z własności i przekształcając odrobinę to równanie otrzymujemy:
  3. Czyli rozwiązaniem tego równania jest -25.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie .

  1. Ustalamy dziedzinę:
    Liczba logarytmowana musi być większa od 0, dlatego zakładamy, że . Zatem .
  2. I znajdujemy pierwiastki równania:
    czyli i
  3. Odp.

Przykład 4

Rozwiążmy równanie . (Pamiętamy, że , a nie .)

  1. Ustalamy dziedzinę:
  2. Podstawiamy zmienną pomocniczą do równania i otrzymujemy:
  3. , .
  4. ,
  5. Ponieważ , więc:
    lub
  6. Odp.

Przykład 5

Spróbujmy rozwiązać równanie .

  1. Ustalamy dziedzinę:
  2. Obydwa logarytmy musimy sprowadzić do wspólnej podstawy. W tym celu wykorzystujemy wzór . możemy zapisać jako . Zatem nasze równanie przybierze postać:
    Obustronnie mnożymy przez 2:
  3. Odp.

Przykład 6

Rozwiążmy równanie

  1. Ustalamy dziedzinę:
  2. Obydwa logarytmy podobnie jak w poprzednim przykładzie sprowadzamy do wspólnej podstawy otrzymując:
  3. Teraz obustronnie dzielimy przez i mamy:
  4. Odp.

Przykład 7

Rozwiążmy równanie .

  1. Ustalamy dziedzinę pamiętając, że podstawa logarytmu musi należeć do sumy przedziałów :
    czyli
  2. Skorzystamy z własności :
    zatem
  3. Ostatecznie otrzymujemy równanie kwadratowe:
    Otrzymujemy: i
  4. Odp.


Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Nierównością logarytmiczną nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami nierówności logarytmicznych są:

Ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest malejąca dla podstawy należącej do przedziału , dlatego przy pozbywaniu się logarytmu z nierówności należy zmienić znak na przeciwny. Natomiast dla podstawy zawierającej się w zostawiamy znak taki, jaki był. Zresztą zaraz zobaczymy to na przykładach.

Przykład 1

Rozwiążmy nierówność .

  1. Ustalamy dziedzinę:
  2. Ponieważ podstawa logarytmu jest większa od 1, więc nie zmieniamy znaku na przeciwny, zatem:
  3. Znajdujemy cześć wspólną rozwiązania z dziedziną, czyli:
  4. Odp.

Przykład 2

Rozwiążmy nierówność

  1. Ustalamy dziedzinę:
    , czyli:
  2. Podstawa logarytmu (czyli )zawiera się w przedziale , więc musimy zmienić znak nierówności na przeciwny:
    i otrzymujemy, że:
    czyli
  3. Teraz znajdujemy część wspólną tego rozwiązania z dziedziną, czyli:
    Odp.

Przykład 3

Zajmijmy się teraz taką nierównością :

  1. , ponieważ podstawa jest mniejsza od 1
  2. Czyli
  3. Biorąc część wspólną z dziedziną otrzymujemy, że
  4. Odp.

Przykład 4

Rozwiążmy nierówność :

  1. Ustalamy dziedzinę:
    Ponieważ podstawa logarytmu musi należeć do zbioru , więc będzie także w tym przypadku. Mamy:
    czyli
  2. Teraz musimy rozważyć dwa przypadki, co będzie, gdy i gdy , ponieważ w pierwszym przypadku będziemy musimy zmienić znak nierówności na przeciwny, a w drugim nie.
    • dla
      , tu możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
      czyli , a także (z założenia)
      czyli
    • dla
      czyli i
      czyli
  3. Ostatecznie podsumowując te dwa przypadki otrzymujemy, że
  4. Odp.


Podsumowanie[edytuj]

Po zapoznaniu się z tym rozdziałem, powinieneś umieć na poziomie rozszerzonym:

  • Porównywać potęgi o wykładnikach rzeczywistych i stosować ich własności do przekształcania wyrażeń.
  • Posługiwać się własnościami funkcji wykładniczych i logarytmicznych, a także szkicować ich wykres.
  • Rozwiązywać proste równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne, a także rozwiązywać układy takich równań i nierówności.


Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Zadania z rozwiązaniami Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Ćwiczenia