Matematyka dla liceum/Geometria analityczna/Odległość

Odległość

Definicja

DEFINICJA Odległość w niepustym zbiorze X to funkcja, która każdej parze ${a,b}\in X$ przyporządkowuje taką liczbę ${d(a,b)}\,$, że: ) $\forall _{a,b\in X}{d(a,b)=0\iff a=b}\,$ ) $\forall _{a,b\in X}{d(a,b)=d(b,a)}\,$ ) $\forall _{a,b\in X}{d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)}\,$

Czy jednak odległość może być ujemna? Zauważmy, że odpowiednio przekształcając podane warunki otrzymamy kolejny warunek, że $\forall _{a,b\in X}{d(a,b)\geq 0}\,$:

${d(a,b)={1 \over 2}(d(a,b)+d(a,b))={1 \over 2}(d(a,b)+d(b,a))\geq {1 \over 2}d(a,a)=0}\,$

Odległość nazywana jest też metryką.Istnieje wiele rodzajów metryk.

Jedną z nich jest metryka na prostej. Zbiorem X w którym określona jest odległość jest prosta. Między dwoma elementami należącymi do prostej zachodzi zależność: ${d(a,b)=|b-a|}\,$

Kolejną metryką jest powszechnie używana metryka euklidesowa na płaszczyźnie. Jeżeli mamy dwa punkty ${A=(a_{1},a_{2})}\,$ i ${B=(b_{1},b_{2})}\,$, to odległość między tymi punktami wyraża się wzorem (wynika on z twierdzenia Pitagorasa):

${d(A,B)={\sqrt {{|b_{1}-a_{1}|}^{2}+{|b_{2}-a_{2}|}^{2}}}}\,$