Matematyka dla liceum/Kosz/Przekształcanie równań

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Szablon:MDL:NawGórna


Przekształcanie równań[edytuj]

Załóżmy, że mamy równanie typu . Możemy przenieść którąś zmienną z jednej strony równania na drugą, jednak należy zmienić znak na przeciwny, czyli np. przenosząc d na lewą stronę otrzymamy:

i mamy wzór na c. Podobnie w powyższym równaniu możemy a przenieść na prawą stronę otrzymując:

.

Do każdego równania możemy obustronnie dodać lub odjąć pewną liczbę, wówczas otrzymane równanie będzie równoważne poprzedniemu. Na przykład:

Równanie jest równoważny , dodaliśmy 5.
jest równoważne .
jest równoważne równaniu , zostało dodane b; zmienne też można dodawać.

Każde równanie możemy obustronnie wymnożyć lub podzielić przez pewną liczbę, która musi być różna od 0. Na przykład:

  • Równanie jest równoważne równaniu , ponieważ gdy równanie pierwsze obustronnie wymnożymy przez 3 otrzymamy równanie drugie.
  • Równanie jest równoważne równaniu , ponieważ otrzymamy je, gdy pierwsze równanie obustronnie wymnożymy przez -1.
  • Równanie odpowiada równaniu , ponieważ równanie drugie otrzymamy po obustronnym podzieleniu przez 3.

Nierówności[edytuj]

Powyższe własności odnoszą się także do nierówności, tylko z jednym :

Przy obustronnym wymnażaniu lub dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną należy zmienić znak na przeciwny.

Powyższa zasada nie liczy się dodawania i odejmowania, tylko mnożenia i dzielenia.

Spójrzmy na kilka przykładów:

wtedy i tylko wtedy, gdy .
Nierówność jest równoważna nierówności ; musieliśmy zmienić znak na przeciwny, ponieważ dzieliliśmy obustronnie przez .
wtedy i tylko wtedy, gdy .


Szablon:MDL:NawDolna