Matematyka dla liceum/Kosz/Przekształcanie równań

Przekształcanie równań

Załóżmy, że mamy równanie typu $a+b=c+d$. Możemy przenieść którąś zmienną z jednej strony równania na drugą, jednak należy zmienić znak na przeciwny, czyli np. przenosząc d na lewą stronę otrzymamy:

$a+b-d=c$

i mamy wzór na c. Podobnie w powyższym równaniu możemy a przenieść na prawą stronę otrzymując:

$b-d=c-a$.

Do każdego równania możemy obustronnie dodać lub odjąć pewną liczbę, wówczas otrzymane równanie będzie równoważne poprzedniemu. Na przykład:

Równanie $a+b=c+d$ jest równoważny $a+b+5=c+d+5$, dodaliśmy 5.

$2a+b=c$ jest równoważne $2a+b-5=c-5$.

$a-2b=c$ jest równoważne równaniu $a-b=c+b$, zostało dodane b; zmienne też można dodawać.

Każde równanie możemy obustronnie wymnożyć lub podzielić przez pewną liczbę, która musi być różna od 0. Na przykład:

• Równanie $a+b=10$ jest równoważne równaniu $3a+3b=30$, ponieważ gdy równanie pierwsze obustronnie wymnożymy przez 3 otrzymamy równanie drugie.
• Równanie $2a-c^{2}=b^{2}$ jest równoważne równaniu $-2a+c^{2}=-b^{2}$, ponieważ otrzymamy je, gdy pierwsze równanie obustronnie wymnożymy przez -1.
• Równanie $3a+12b=3c+24d-9z$ odpowiada równaniu $a+4b=c+8d-3z$, ponieważ równanie drugie otrzymamy po obustronnym podzieleniu przez 3.

Nierówności

Powyższe własności odnoszą się także do nierówności, tylko z jednym :

Przy obustronnym wymnażaniu lub dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną należy zmienić znak na przeciwny.

Powyższa zasada nie liczy się dodawania i odejmowania, tylko mnożenia i dzielenia.

Spójrzmy na kilka przykładów:

$a+b<c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a+b-5<c-5$.

Nierówność $-2a-2b\geq -10$ jest równoważna nierówności $a+b\leq 5$; musieliśmy zmienić znak na przeciwny, ponieważ dzieliliśmy obustronnie przez $-2\in \mathbb {R_{-}}$.

$a-b\geq 5$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a\geq 5+b$.