Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczby i ich zbiory

Pojęcie zbioru[edytuj]

W poprzednim rozdziale tłumaczyliśmy czym jest zbiór, a także zapoznaliśmy się z kilkoma oznaczeniami dotyczącymi zbioru takimi jak zawieranie czy moc. Dla przypomnienia spójrzmy na kilka przykładów. Przykładami zbiorów może być:

  • zbiór książek,
  • zbiór ciasteczek,
  • zbiór możliwych do otrzymania ocen.

Załóżmy, że zbiór książek, który oznaczymy przez , składa się z czterech książek o tytułach:

„W pustyni i w puszczy”,
„Matematyka dla liceum”,
„C++ w 24 godziny”,
„Angielski w 2 minuty”.

Liczba elementów, czyli inaczej moc zbioru, wynosi . Jeśli książkę „Angielski w 2 minuty” oznaczymy przez a, wówczas możemy napisać , ponieważ książka ta należy do naszego zbioru książek K. Jednak jeśli książkę o tytule „Język niemiecki” oznaczymy przez j, wówczas zapiszemy , ponieważ nie posiadamy tej książki.

Za chwilę zobaczymy, czym jest zawieranie i równość zbioru, a także czym się one od siebie różnią. A trochę później powiemy, jak można definiować zbiory.

Zawieranie i równość zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór A zawiera się w zbiorze B, kiedy każdy element należący do zbioru A należy także do zbioru B. Piszemy to w ten sposób: lub . Zawieranie zbiorów nazywane jest także inkluzją. Zapis ten możemy czytać w różny sposób:

  • „Zbiór A zawiera się w zbiorze B”
  • „Zbiór A jest podzbiorem zbioru B”
  • „Zbiór B zawiera zbiór A”

Przykład.

Oznaczmy jako zbiór wszystkich dodatnich dzielników liczby 8, a także B jako zbiór wszystkich liczb naturalnych dodatnich mniejszych od 10. Wówczas:

Ponieważ wszystkie elementy w powtarzają się także w , więc zbiór . Kiedy mówimy, że jeden zbiór zawiera się w drugim, mamy na myśli to, że jest on po prostu podzbiorem tego zbioru. W przykładzie zbiór jest podzbiorem . Odwrotna relacja nie zachodzi, ponieważ nie wszystkie elementy w znajdują się także w np. . Gdyby taka relacja zachodziła, wynikałaby wtedy równość tych zbiorów, , co zaraz zobaczymy w kolejnej definicji.

Definicja
DEFINICJA

Dwa zbiory A i Brówne, jeśli każdy element należący do zbioru A należy do zbioru B (czyli ), a także każdy element w B należy do zbioru A (czyli ). Tak więc:

Przykład.

Jeśli i , to zbiory te są równe. Jak weźmiemy dowolny element w A, znajdziemy go także w B - . Podobnie jeśli weźmiemy dowolny element z B znajdziemy go także w A - . Wynika z tego, że zbiory te muszą być równe.

Definiowanie zbiorów[edytuj]

Zbiory możemy definiować wymieniając wszystkie elementy danego zbioru lub podając własność, która charakteryzuje dany zbiór. Własność możemy podać słownie lub używając specjalnego zapisu, który zaraz zobaczymy.

Przykład.

Niech A oznacza zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8, wówczas możemy go opisać:

  • słownie:
    zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8.
  • wypisując wszystkie elementy:
    ,
  • używając zapisu:

Zapis czytamy: „zbiór A jest zbiorem wszystkich elementów a takich, że a należy do liczb całkowitych i a>0 i a<8. Podobnie zapis możemy przeczytać „zbiór X jest zbiorem wszystkich elementów x takich, że x należy do liczb rzeczywistych i x należy do zbioru A”.

Jeśli mamy na myśli zbiór liczb rzeczywistych, często możemy skrócić nasz zapis. Na przykład możemy zapisać jako i obydwa będą oznaczały to samo.

Przykład.

Oznaczmy jako zbiór dodatnich dzielników 15. Wypiszmy z tego zbioru wszystkie elementy parzyste, tworząc z nich zbiór X.

Ponieważ , więc nie znajdziemy w nim żadnego elementu parzystego, w związku z tym zbiór X jest zbiorem pustym:
.


Działania na zbiorach

Suma zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B, matematycznie zapisujemy ją tak: .

Sumę zbiorów A i B ilustruje poniższy diagram Venna:

Set union.png


Przykład.

Jeżeli i , to . Pomimo tego, że 1 występuje w obydwu zbiorach, w sumie tych zbiorów występuje tylko jeden raz.

Iloczyn zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Iloczynem/Częścią wspólną zbioru A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B, formalnie zapisujemy ją tak: . Iloczyn zbiorów nazywany jest także częścią wspólną zbiorów lub przekrojem zbiorów.

Set intersection.png


Przykład.

Jeśli i , to . Liczba 1 jest jedynym wspólnym elementem tych zbiorów.

Różnica zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A, a które nie należą do zbioru B, możemy ją zapisać tak: . Różnica zbiorów A i B zapisywana jest też .

Set difference2.svg


Jeśli i , to . Jedynym wspólnym elementem obydwu zbiorów jest liczba 1, więc otrzymany zbiór będzie bardzo podobny do zbioru A, lecz nie posiadający liczby 1.

Dopełnienie zbioru[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni U nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni U, które nie należą do zbioru A. Dopełnienie zbioru A oznaczamy jako lub . Dopełnienie możemy zapisać tak: .

Z definicji dopełniania wynika także, że jest to po prostu różnica przestrzeni U i zbioru A: . Zbiór U zwany jest zbiorem uniwersum. Czasami zamiast U używa się innego oznaczenia przestrzeni np. X.

Absolute complement.svg


Przykład.

Jeśli , a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór .

Przykład.

Jeśli , a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich jednocyfrowych, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór , ponieważ:

Własności działań na zbiorach i prawa De Morgana[edytuj]

Prawa przedstawione wyżej mają pewne własności, które zaraz przedstawimy. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą prawa:

  • -- I prawo De Morgana
  • -- II prawo De Morgana
  • -- przemienność dodawania zbiorów
  • -- przemienność mnożenia zbiorów
  • -- łączność dodawania zbiorów
  • -- łączność mnożenia zbiorów
  • -- rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia
  • -- rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania


Przykład.

Mamy zbiór , , . Obliczyć :

(W rozwiązaniu celowo wykorzystano własności działań na zbiorach. Gdyby ich nie użyto rozwiązanie byłoby odrobinę krótsze.)


Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

Zbiór liczb naturalnych[edytuj]

Liczb naturalnych używamy do określenia ile jest osób w jakimś miejscu, do ustalania kolejności, ile sztuk czegoś mamy itp. Mówiąc o liczbach naturalnych mamy na myśli liczby należące do zbioru . Jednym z podzbiorów liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych dodatnich, które oznaczamy .

Definicja
DEFINICJA

Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór .

Podzbiorami liczb naturalnych jest zbiór liczb pierwszych i zbiór liczb złożonych.

Definicja
DEFINICJA

Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która posiada dokładnie dwa dodatnie dzielniki -- 1 oraz samą siebie.

Liczbę złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą.

Zbiór wszystkich liczb pierwszych czasami jest oznaczany przez , a i-ta liczba pierwsza przez np. .

Zbiór liczb całkowitych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór .

Ponadto w zbiorze liczb całkowitych możemy wyróżnić dwa podzbiory -- zbiór liczb całkowitych dodatnich i zbiór liczb całkowitych ujemnych. Zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez , natomiast zbiór liczb całkowitych ujemnych przez . Łatwo zauważyć, że .

W polskiej literaturze czasami można się spotkać z oznaczeniem zbioru liczb całkowitych poprzez (jednak nie jest on znanym, międzynarodowym oznaczeniem, dlatego też nie będziemy korzystać z niego w tej książce).

Zbiór liczb wymiernych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których każdą liczbę można zapisać w postaci ułamka zwykłego , gdzie i .

Podobnie jak to było w zbiorze liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych dodatnich oznaczamy przez , a ujemnych przez .

W niektórych polskich książkach zbiór liczb wymiernych jest oznaczany przez .

Zbiór liczb niewymiernych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne tzn. tych, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego , dla i

Zbiór liczb niewymiernych nie ma własnego oznaczenia, zapisuje się go jako różnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych: . Mimo wszystko niekiedy spotyka się polskie oznaczenie .

Przykładem liczby niewymiernej może być liczba , czy też .

Zbiór liczb rzeczywistych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych.

Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez , a ujemnych przez .

Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możemy zaobserwować poniższe związki:

Set of real numbers (diagram).svg

Rozwinięcie dziesiętne[edytuj]

Rozwinięcie dziesiętne części liczb rzeczywistych może być skończone np. Jednak nie wszystkie liczby cechuje ta własność.

Przyjrzyjmy się bliżej liczbie . Na pewno pamiętamy, że . Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne danej liczby, po prostu wykonujemy zwyczajne dzielenie. Ale jak przejść z rozwinięcia dziesiętnego na postać ułamka? Zobaczmy:

, ponieważ

Otrzymaliśmy oczekiwany wynik.

Innym przykładem, trochę trudniejszym jest . Wprawni weterani mogą się domyślać, że będzie ona równa . Zobaczmy na rozwiązanie:

, ponieważ

Szukaną liczbą jest .

A teraz ciekawostka. Pokażemy, że . Oto rozwiązanie:

, ponieważ

Jeżeli:

to:

Skoro , to:

Teraz rozwiążemy trudniejszy przykład: .

Jeżeli:

to:

Liczbę możemy zapisać także w formie Podobnie możemy zapisać jako a także W takiej formie możemy zapisać dowolną liczbę o rozwinięciu dziesiętnym okresowym.

Nie wszystkie liczby rzeczywiste można zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego, czy też nawet rozwinięcia nieskończonego okresowego. W takiej formie można zapisać wszystkie liczby wymierne, natomiast nie możemy zapisać w ten sposób rozwinięcia liczby niewymiernej. Przykładem liczby niewymiernej może być liczba Eulera a także liczba Jak widać, nie są one liczbami okresowymi.



Oś liczbowa[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Oś liczbowa jest to prosta, na której wyróżniono kierunek, punkt zerowy oraz jednostkę.

Przypomnijmy sobie, jak wygląda oś liczbowa:

Real number line.svg

Możemy przyporządkować każdej liczbie rzeczywistej dokładnie jeden punkt na osi liczbowej czyli np. 1, -1000, . Taką liczbę nazywamy współrzędną. Na powyższym rysunku zostały wyróżnione punkty o współrzędnych całkowitych, a także położenie trzech często spotykanych liczb niewymiernych.


Przedziały liczbowe

Spójrzmy na kilka przykładów, które za chwile omówimy:

  • Przykład 1. - przedział domknięty
  • Przykład 2. - przedział otwarty
  • Przykład 3. - przedział lewostronnie otwarty
  • Przykład 4. - przedział nieograniczony
  • Przykład 5.

Przedział domknięty[edytuj]

W podręczniku używany jest zapis oznaczający przedział domknięty, jednak może on być znany czytelnikowi również pod postacią: . Będziemy jednak używać pierwszego sposobu, gdyż drugi jest często używany do oznaczania pary liczb.

  • Przykład 1. Pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy , będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych od -50 do -20, łącznie z -50 i -20. Podobnie pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od a do b, łącznie z a i b (oczywiście a i b są liczbami rzeczywistymi). Definicja będzie wyglądała tak:
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem domkniętym o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek .

Przedział liczbowy zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

Przedział ((-4;7)).png

Zwróćmy uwagę, że krańce przedziałów oznaczyliśmy kółkami zamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i 7 należą do tego przedziału.

Przedział otwarty[edytuj]

  • Przykład 2. Za pomocą oznaczamy wszystkie liczby rzeczywiste większe od -4 i mniejsze od 7, podobnie w przedziale znajdują się wszystkie liczby, które są większe od a i mniejsze od b. Przedział otwarty różni się od przedziału domkniętego tym, że nie zawiera on liczb a i b.
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem otwartym o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek .

Przedział otwarty na osi zaznaczymy w ten sposób:

Przedział (-4;7).png

Krańce przedziałów oznaczone zostały kółkami niezamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i liczba 7 nie należy do tego przedziału. Dodatkowo można narysować linie pod pewnym kątem, podobnie jak to zrobiliśmy na rysunku.

Przedział lewostronnie otwarty[edytuj]

  • Przykład 3. oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4, ale mniejszych bądź równych 7. Możemy zdefiniować przedział lewostronnie otwarty dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b dla a<b w ten sposób:
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym (prawostronnie domkniętym) o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek .


Przedział na osi liczbowej zaznaczymy tak:

Przedział (-4;7)).png

Analogicznie możemy zdefiniować przedział prawostronnie otwarty:

Definicja
DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym (lewostronnie domkniętym) o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek .

Przedziały nieograniczone[edytuj]

Do oznaczania przedziałów nieograniczonych wykorzystujemy symbol nieskończoności -- .

  • Przykład 4. Przez oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4 (łatwo zauważyć, że wszystkie liczby są mniejsze od . Podobnie wszystkie liczby rzeczywiste większe bądź równe -4 będziemy oznaczać przez .
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych od a. Podobnie przedziałem lewostronnie domkniętym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych bądź równych a.

Przedział możemy zaznaczyć na osi liczbowej w ten sposób:

Przedział ((-4;+oo).png

  • Przykład 5. oznacza przedział wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych bądź równych 5. Analogicznie przez będziemy oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych od 5.
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych od a. Podobnie przedziałem prawostronnie domkniętym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych bądź równych a.

Przedział analogicznie, jak to robiliśmy w poprzednich przykładach, zaznaczymy na osi liczbowej tak:

Przedział (-oo;5).png

Działania na przedziałach[edytuj]

Ponieważ przedział jest zbiorem, więc możemy wyznaczać między innymi sumę, iloczyn czy też różnicę przedziałów.


  • Przykład 6

Wyznaczmy , , , , i , gdzie , a

Zaznaczmy najpierw oba przedziały na osi liczbowej:

Przedział A=((-2;3) i B=(1;4).png

Z rysunku widzimy, że:


Wartość bezwzględna liczby

Definicja
DEFINICJA

Wartość bezwzględna liczby jest określona wzorem:
.

Wartość bezwzględna liczby nazywana jest także czasami modułem lub wartością absolutną liczby.

Zobaczmy kilka przykładów:

Bezwzględna wartość to odległość liczby od zera.

Własności[edytuj]

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzą poniższe własności:

Interpretacja geometryczna[edytuj]

Wartość bezwzględną liczby można interpretować jako odległość współrzędnej tego punktu od punktu zerowego:

Wartość bezwzględna jako odległość.png

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną[edytuj]

Przy rozwiązywaniu równania można wykorzystać własność:


Przykład 1. W przypadku równań z jedną wartością bezwzględną można posłużyć się tylko definicją, np.:

Przykład 2. Jeżeli wartości bezwzględnych jest więcej, równanie liczy się inną metodą. Oto przykładowe równanie:

Tutaj również należy posłużyć się definicją. Pierwsze wyrażenie objęte wartością bezwzględną jest ujemne w przedziale i dodatnie w przedziale . Natomiast drugie wyrażenie jest ujemne w przedziale i dodatnie w przedziale . Dostajemy więc trzy przedziały, które należy rozpatrzeć (jeśli tego nie widzimy od razu, warto rozrysować sobie cztery wcześniejsze zbiory na osi liczbowej i zobaczyć, jaką pozycję względem siebie zajmują):

  1. gdzie oba wyrażenia są ujemne
  2. gdzie pierwsze jest nieujemne a drugie ujemne
  3. gdzie oba wyrażenia są nieujemne

Wykres math.svg

W przypadku pierwszej wartości bezwzględnej, jeżeli trzeba będzie zmienić w niej znaki występujące przy liczbach, gdyż musi ona być dodatnia. Tą metodą tworzy się przedziały. I teraz należy obliczyć równanie do każdego z przedziałów.


W tym przypadku zmienią się znaki dla każdej wartości bezwzględnej:

Liczba ta nie należy do przedziału, więc w przedziale równanie nie ma rozwiązań.


Tożsamość. Oznacza to, że w przedziale każda liczba spełnia równanie.


Liczba należy do przedziału, czyli x=2 jest rozwiązaniem równania.


Podsumowując wcześniejsze obliczenia otrzymujemy wniosek, iż:

Przykład 3.


Najprostszą metodą wyznaczania przedziałów jest wyobrażenie sobie liczb pod modułem jako miejsc zerowych funkcji liniowych.


W ten sposób wyznaczone zostały przedziały, więc teraz wystarczy już tylko wykonać obliczenia.

W tym przedziale nie ma rozwiązań.


Sprzeczność. W tym przedziale także nie ma rozwiązań.


Ta liczba należy do przedziału, więc jest rozwiązaniem równania.


Ta liczba należy do przedziału więc jest rozwiązaniem równania.


Podsumowując:


To samo można zapisać w postaci:

Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną[edytuj]

Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przy rozwiązywaniu nierówności można wykorzystać poniższe własności:

W przypadku niektórych nierówności możemy posłużyć się którąś z powyższych własności np.:


wykorzystując własność , gdzie zamiast x postawiamy x+5, a zamiast a liczbę 10 otrzymujemy:

Odp. .


Postać wykładnicza

Definicja
DEFINICJA

Postać wykładnicza jest określona wzorem:



Postać wykładniczą (notację naukową, notację wykładniczą) stosujemy do zapisu bardzo dużych lub bardzo małych liczb.


Przykłady[edytuj]

Liczba Postać
wykładnicza

Jak to zapisać? (intuicyjnie)[edytuj]

Mamy np. liczbę . Piszemy teraz 5,4 razy 10 do potęgi 12. Dlaczego 12? Ponieważ liczymy ilość cyfr od 4 włącznie do końca liczby. Przy mnożeniu przecinek przesuwa się w prawo i po doliczeniu do 12 wychodzi liczba 5400000000000. Czyli liczba to jest to samo co

Drugi przykład - liczba . Robimy podobnie jak w powyższym przykładzie. Zapisujemy 4 razy 10 do potęgi -7, ponieważ od 4 do ostatniego przecinka przed ostatnim zerem jest 7 cyfr. Teraz jednak zapisujemy -7, ponieważ jest to 'mała liczba'. Czyli liczba jest tym samym co

Przybliżenia liczbowe[edytuj]

Przykład 1. Często wykonując pewne obliczenia przybliżamy, czy też zaokrąglamy pewne wartości np. kupując telewizor za 999 zł i 99 gr, z reguły jak ktoś się spyta odpowiemy, że kosztował 1000 zł (ewentualnie dla niektórych 900 zł). Wartość 1000 zł jest podana z nadmiarem, bo jest większa od wartości telewizora. Natomiast wartość 900 zł jest podana z niedomiarem, ponieważ wartość ceny telewizora jest trochę większa.

Przykład 2. Liczba wynosi , w przybliżeniu będzie ona równa 0,666 (z niedomiarem) lub 0,667 (z nadmiarem).

Przykład 3. Jak wszyscy dobrze wiemy . Pamiętanym przez większość z nas przybliżeniem dziesiętnym tej liczby jest 3,14, co zapisujemy . Przybliżeniem tej liczby z niedomiarem będzie na przykład , a z nadmiarem .

Błąd przybliżenia[edytuj]

Aby obliczyć błąd przybliżenia pewnej liczby odejmujemy przybliżenie tej liczby od naszej liczby: , gdzie jest przybliżeniem liczby .

Przykład 4. Dla liczby , przybliżeniem tej liczby może być . Wtedy błąd przybliżenia będzie wynosił .

Jeśli błąd przybliżenia będzie liczbą dodatnią, to przybliżenie będzie z nadmiarem. Natomiast jeśli będzie liczbą ujemną, to nasze przybliżenie będzie z niedomiarem.

Zaokrąglanie liczb[edytuj]

Jeśli chcemy zaokrąglić pewien ułamek dziesiętny, to odrzucamy pewną liczbę cyfr końcowych i stosujemy poniższe zasady:

  1. jeśli pierwszą odrzuconą cyfrą jest któraś z cyfr od 0 do 4, to zaokrąglamy z niedomiarem (czyli pozostawiamy bez zmian)
  2. natomiast jeśli pierwsza odrzucana jest którąś z cyfr od 5 do 9, to zaokrąglamy z nadmiarem.

Przykład 6. Liczbę 3,02456 zaokrąglona z dokładnością do 0,01 będzie wynosiła 3,02, ponieważ odrzuciliśmy 456. Ponieważ pierwszą wykreśloną liczbą jest 4, więc 2 zostawiamy bez zmian (1).

Przykład 6. Liczba 2,076899 zaokrąglona z dokładnością 0,001 będzie wynosiła 2,077, ponieważ odrzuciliśmy 899, a pierwszą odrzuconą cyfrą jest 8, więc stosujemy zasadę 2 i zamieniamy 6 na 7.

Przykład 7. Liczbę 2,982 zaokrąglona z dokładnością do 0,1 będzie wynosiła 3,0, ponieważ pierwszą odrzuconą cyfrą jest 8, więc użyliśmy zasady 2 i do liczby 2,9 dodaliśmy dodatkowo 0,1.


Obliczenia procentowe[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Jeden procent to setna część całości, jest to inny zapis ułamka o mianowniku 100.

Zobaczymy teraz kilka przykładów.

Przykład 1. Oblicz 17% liczby 50.


Przykład 2. Jaki procentem liczby 25 jest liczba 7?

Zapiszmy równanie, które brzmi: x procent z 25 wynosi 7

Rozwiążmy i zapiszmy x w postaci procentów, tzn. w formie /100

Odpowiedź: liczba 7 to 28% z liczby 25


Przykład 3. Cenę towaru podniesiono o 20%, a następnie powiększono o 50%. Po tych dwóch podwyżkach cena towaru wynosiła 225 zł. Ile wynosiła pierwotna cena towaru?

Oznaczmy przez x pierwotną cenę towaru.
Po pierwszej podwyżce cena towaru zwiększyła się o 1/5, czyli wynosi:
Po drugiej podwyżce cena towaru zwiększyła się o 1/2, więc wynosiła:
Wiemy też, że
Otrzymujemy


Przykład 4.

Oblicz liczbę znając jej procent. 6% pewnej liczby wynosi 42.

Chcesz obliczyć 100%, czyli szukaną liczbę x. Można spróbować obliczyć ile wynosi 1% tej liczby, po czym pomnożyć to przez 100 - uzyskamy wtedy 100%.

Dzielimy przez 6 obustronnie:

Przykład 5.

Sylwia za ubezpieczenie swojego czerwonego skutera zapłaciła w Towarzystwie Ubezpieczeniowym 92,00 PLN. Powiedziała przy tym, że ma zniżkę 10% za bezszkodową jazdę w zeszłym roku, oraz 5% za kontynuowanie ubezpieczenia. Piotr wie, że Sylwia nie ma już 18 lat i nie obowiązuje jej zwyżka(10%) za wiek, choć sam będzie musiał ją zapłacić. Ile w tym samym Towarzystwie Ubezpieczeniowym powinien zapłacić Piotr przy takich warunkach, uwzględniając brak dyskryminacji płci?


Najpierw musimy ustalić jaka jest kwota bazowa. W tym celu policzymy procent sumy jaki zapłaciła Sylwia
Znając procent tej liczby obliczymy ją, oznaczając przez x






Teraz musimy doliczyć zwyżkę Piotra(10%):


Co wynosi ok. 119,06 (PLN).


Podsumowanie[edytuj]

Po zapoznaniu się z tym rozdziałem, powinieneś umieć:

  1. na poziomie podstawowym:
    • prawa rachunku zdań
    • czym jest zbiór, a także wyznaczać jego sumę, iloczyn i różnicę
    • czym jest zbiór liczb rzeczywistych, a także znać jego podzbiory
    • prawa dotyczące działań arytmetycznych
    • czym jest potęga o wykładniku wymiernym, a także znać prawa działań na potęgach
    • czym jest oś liczbowa
    • czym jest przedział, zaznaczać go na osi i wyznaczać sumę, iloczyn i różnicę przedziałów
    • definicję wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną
    • przybliżać i zaokrąglać liczby, a także wiedzieć czym jest błąd przybliżenia
    • czym jest procent, a także jak wykonuje się obliczenia procentowe
  2. a na poziomie rozszerzonym:
    • wyznaczać dopełnienie zbioru i przedziałów
    • stosować prawa logiczne w dowodzeniu twierdzeń
    • rozwiązywać równania i nierówności z wartością bezwzględną


Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Zadania z rozwiązaniami

Ćwiczenia

Zadania dodatkowe[edytuj]

1*. Pokaż, że "zbiór wszystkich zbiorów" nie tworzy zbioru. Wskazówka: Niech - "zbiór wszystkich zbiorów" będzie zbiorem. Rozważ jego podzbiór (jest on zbiorem)