Matematyka dla liceum/Planimetria/Czworokąty i ich własności

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Czworokąt to wielokąt płaski o czterech bokach.

Podział czworokątów:

  • wklęsłe
  • wypukłe: trapezoidy, deltoidy, trapezy, równoległoboki, romby, prostokąty, kwadraty.

Klasyfikacja czworokątów:

Czworokąty wypukłe.png

Charakterystyka czworokątów[edytuj]

Deltoid[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

"Deltoid" to czworokąt wypukły, którego pary sąsiednich boków są równe, ale w którym żadne dwa boki nie są do siebie równoległe.

Deltoid2.png

Własności deltoidu:[edytuj]
  • Przekątne są prostopadłe.
  • Miary kątów między bokami o różnych długościach są jednakowe.
  • Przekątna AC jest jednocześnie dwusieczną kątów DAB i DCB.
  • Przekątna AC dzieli przekątną DB na pół.
Wzory:[edytuj]

Ob. = 2a + 2b

P = ½ × |DB| × |AC|

P = a × b × kąt ADC

Trapez[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Trapez jest to czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Własności trapezu:[edytuj]
  • Wysokością trapezu nazywamy odcinek zawarty między prostymi zawierającymi jego podstawy i prostopadły do nich.

Trapezoid.svg

  • Odcinek łączący środki ramion jest równoległy do podstaw i wynosi ½ × (a + b)
  • Odcinek łączący środki przekątnych jest równy ½ × (a - b)
  • Suma kątów przy tym samym ramieniu jest równa 180°
Wzory:[edytuj]

P = ½ × (a + b) × h

P = ½ × |DB| × |AC| × sin kąta pomiędzy przekątnymi

Równoległobok[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Równoległobok jest to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

Równoległobokiem nazywamy taki czworokąt, który spełnia chociaż jeden z warunków:

  1. Przeciwległe boki są równoległe oraz są tej samej długości
  2. Przekątne dzielą się na połowy
  3. Przeciwległe kąty są równe
  4. Suma miar kątów przylegających do każdego boku jest równa 180o
  • Obwód równoległoboku: Ob = 2a + 2b
  • Pole równoległoboku: P = a* h = a * b * sin α

Równoległobok.png

Romb[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Romb jest to równoległobok, którego wszystkie boki są równe.

Romb3.png

Własności rombu:

  • AB, BC, DC, AD = a – boki rombu
  • AC = d1 oraz BD = d2 – przekątne rombu
  • d1 , d2 – długości przekątnych rombu
  • h – długość wysokości rombu
  • r – długość promienia okręgu wpisanego w romb
  • kąt alfa – miara kąta ostrego, jaki tworzą boki rombu

W czworokącie tym przekątne dzielą się na połowy i przecinają się pod kątem prostym.

Miejsce przecięcia przekątnych (d1 i d2, które przecinają się pod kątem prostym) jest środkiem okręgu wpisanego.

Promień (r) jest połową jego wysokości (h).

Wzory:

Pole rombu

  • P = a*h
  • P = (d1*d2) / 2
  • P = 2a * r
  • P = a2 * sin alfa

Obwód rombu = 4a

Prostokąt[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Prostokąt jest to czworokąt, którego wszystkie kąty są równe (i wynoszą 90°).

Prostokat-rectangle.svg

Kwadrat[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Kwadrat jest to czworokąt, którego wszystkie kąty i boki są równe.

Kwadrat.png

Punkt przecięcia się przekątnych kwadratu wyznacza:

  • środek okręgu opisanego na kwadracie, którego promień R jest równy połowie długości przekątnej kwadratu
  • Środek okręgu wpisanego w kwadrat, którego promień r jest równy połowie długości boku (a) kwadratu.

własności ma 4 kąty proste ma 4 boki równe, które nie są równoległe ma dwie przekątne, które przcinają się w połowie


Pole kwadratu:

  • P = a2
  • P = ½ d2
  • P = 2R2
  • P= (2r)2

Długość przekątnej kwadratu: a pierwiastek z 2

Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie: R= ½ d =

Długość promienia okręgu wpisanego w kwadrat: r = ½ a