Matematyka dla liceum/Rachunek prawdopodobieństwa

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Elementy kombinatoryki[edytuj]

Silnia[edytuj]

Jeśli mamy wyrażenie, którym jest ciąg mnożeń kolejnych liczb od 1, np. , możemy zapisać go w skrócie jako 5! (pięć silnia).

Definicja
DEFINICJA

Silnia z liczby naturalnej n jest oznaczana przez n!. Dla lub wynosi ona 1, natomiast dla jest równa iloczynowi wszystkich liczb naturalnych od 1 do n.


Przykłady:

Permutacje[edytuj]

Jeśli, mając liczbę 1243, zechcemy zamienić miejscami niektóre cyfry, możemy otrzymać np. 4321 lub 1432 lub 3214. Każda z nich jest permutacją zbioru cyfr .

Definicja
DEFINICJA

Ciąg utworzony ze wszystkich n elementów zbioru nazywamy jego permutacją. Liczbę wszystkich permutacji danego n-elementowego zbioru obliczamy wg wzoru   .

Przykłady:

Wyjaśnienie:

Załóżmy, że mamy zbiór składający się z 4 elementów: a, b, c oraz d. Ile możemy ułożyć permutacji? Pierwszy element permutacji wybieramy spośród liter a, b, c i d. Mamy więc 4 możliwości. Gdy już wybierzemy, zostaną nam 3 litery i spośród nich wybierzemy drugi element. Dla każdego wybranego pierwszego elementu drugi możemy wybrać na 3 możliwości. Możemy takich par stworzyć 3*4=12. Dla każdej z 12 par, trzeci element wybierzemy z pozostałych 2 liter, czyli na 2 możliwości, dzięki czemu możemy uzyskać 24 trójki (2*3*4). Zostaje nam jedna litera, która będzie czwartym elementem (tak więc 1 możliwość). Mamy więc 1*2*3*4=24 opcji ułożenia permutacji z 4 liter.

W przypadku, w którym zbiór składałby się z trzech elementów i tymi elementami byłyby a, b oraz c:

1. abc    2. acb

3. bac    4. bca

5. cab    6. cba

Wariacje z powtórzeniami[edytuj]

Ułóżmy dowolną 3-cyfrową liczbę, mając do dyspozycji cyfry 1,2,3,4,5. Może to być np. 134, 325, 222. Wszystkie one są 3-wyrazowymi wariacjami zbioru 5-elementowego.

Definicja
DEFINICJA

Wariacją z powtórzeniami nazywamy ciąg o długości k, którego wyrazy pochodzą z n-elementowego zbioru. Liczbę wszystkich wariacji danego zbioru obliczamy ze wzoru .

Przykłady:

Wyjaśnienie:

Policzmy, ile można stworzyć wariacji k=2 elementowych ze zbioru n=4 elementów, np. {a,b,c,d}. Pierwszym elementem ciągu (wariacji) może być dowolna z liter a,b,c,d. Są więc 4 możliwości, dla każdej z nich możemy wybrać drugi element, także z liter a,b,c,d. Dla każdego z 4 możliwych pierwszych elementów mamy 4 możliwości wybrania drugiego elementu, razem 4*4=16 możliwych wariacji (z powtórzeniami). Wg wzoru: .

1. aa     2. ab     3. ac     4. ad

5. ba     6. bb     7. bc     8. bd

Itd.

Wariacje bez powtórzeń[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Wariacją bez powtórzeń nazywamy ciąg k wyrazów, nie powtarzających się, które są elementami danego zbioru o liczności n. Ilość wszystkich wariacji obliczamy ze wzoru .

Przykład:

Tzn. mając zbiór n=3 elementowy, np. {a,b,c}, możemy uzyskać 6 wariacji o długości k=2:

1. ab     2. ac

3. ba     4. bc

5. ca     6. cb

Symbol Newtona[edytuj]

Ciekawostka
Czy wiesz, że...
Hw-newton.jpg
Isaac Newton - matematyk, fizyk, astronom i filozof angielski. Zasłynął odkryciami w fizyce. Był także współtwórcą rachunku różniczkowego i całkowego.
Definicja
DEFINICJA

Symbol Newtona

Symbol czytamy n po k lub n nad k.

Warto zapamiętać, że:

  1. Pewna równość dla symboli Newtona

Ciekawostka:
Wyżej wymienione równanie jest wykorzystane w trójkącie Pascala. Obliczamy k-tą liczbę w n-tym wierszu jako wartość . Zauważmy, że każda liczba jest sumą dwóch stojących nad nią (z wyjątkiem jedynek, tworzących "boki" trójkąta).

Pascal triangle.png

Kombinacje[edytuj]

W odróżnieniu od permutacji i wariacji, kombinacja nie jest ciągiem, a podzbiorem elementów. Ważna cecha - kolejność nie ma znaczenia.

Definicja
DEFINICJA

Kombinacją k-elementową nazywamy dowolny podzbiór (k- wyrazowy) danego n-elementowego zbioru. Liczbę wszystkich takich kombinacji wyraża wzór:   .

Przykład:
W urnie znajduje się biała, czarna i niebieska kula (zbiór {b,c,n}). Losujemy z niej 2 kule. W ten sposób uzyskujemy k=2 elementową kombinację zbioru n=3 elementowego. Wszystkich takich kombinacji jest

Istotnie, możemy wylosować tylko
1. białą i czarną,
2. białą i niebieską,
3. czarną i niebieską.


> Rozwiązane zadania


Pojęcie prawdopodobieństwa[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Prawdopodobieństwem zdarzenia A nazywamy iloraz liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A i liczby wszystkich zdarzeń elementarnych

Przykład 1 Zakładając, że wylosowanie każdej karty jest tak samo możliwe (tak samo prawdopodobne), obliczmy prawdopodobieństwo wylosowania asa. W talii kart do gry są 52 karty, w tym 4 asy, zatem z 52 kart cztery sprzyjają naszemu zdarzeniu. Prawdopodobieństwo wylosowania asa jest równe czyli .


Definicja
DEFINICJA

Doświadczeniem losowym nazywamy, takie doświadczenie, które można powtarzać wielokrotnie w jednakowych lub zbliżonych warunkach i którego wyniku nie można przewidzieć.

Przykład 2 Doświadczeniem losowym może być rzut kostką czy rzut monetą.


Definicja
DEFINICJA

Zdarzenie elementarne to najprostszy wynik doświadczenia losowego, tzn. zdarzenie losowe, którego nie da się rozłożyć na zdarzenia prostsze

Przykład 3 Zdarzenie elementarne: rzut kostką dwójki, rzut monetą orła, wyciągnięcie z talii kart asa pik.


Definicja
DEFINICJA

Zdarzeniem losowym nazywamy każdy podzbiór skończonego zbioru zdarzeń elementarnych.

Przykład 4 Wyrzucenie orła jak i wyrzucenie reszki jest zdarzeniem losowym. Wyrzucenie orła O i reszki R zapisujemy jako zbiór zdarzeń w postaci A={O,R}.


Definicja
DEFINICJA

Zbiór zdarzeń elementarnych to wszystkie możliwe wyniki zdarzeń elementarnych. Zbiór zdarzeń elementarnych zapisujemy grecką literą (Omega).

Przykład 5 Wszystkie możliwe zdarzenia elementarne przy rzucie kostką to: 1,2,3,4,5,6.
Czyli zapis matematyczny będzie taki: = {1,2,3,4,5,6}

Oznaczenia[edytuj]

- zdarzenie niemożliwe np. zdarzeniem niemożliwym jest wyrzucenie sumy oczek mniejszej niż 3 w rzucie trzema kostkami.
- zdarzenie pewne np. otrzymanie sumy oczek mniejszej niż 19 w rzucie trzema kostkami do gry.

Zdarzenia są zbiorami, dlatego możemy dokonywać rachunków zgodnych z działaniami na zbiorach.
A B - zdarzenie A pociąga zdarzenie B
A B - suma zdarzeń A i B
A B - iloczyn zdarzeń A i B
A \ B - różnica zdarzeń A i B
A' - zdarzenie przeciwne do zdarzenia A
A=B - zdarzenia A i B są identyczne wtedy gdy A B i B A


Elementy statystyki opisowej[edytuj]

Statystyka - wstęp[edytuj]

Statystyka zajmuje się badaniem cech danego zbioru obiektów, tj. populacji.

Z uwagi na to, że jej liczebność może być znaczna i uniemożliwiać przeprowadzenie badania, zwykle trzeba ograniczyć się do podzbioru o mniejszej ilości, zwanego próbą.

Do przedstawienia danych można użyć jednej z trzech form: tabelki, diagramu lub wykresu. Można także wyróżnić dwa szczególne diagramy:

  • histogram liczebności – oparty jest na tabelce zawierającej: (na co wskazuje nazwa – "liczebność") poszczególne 'wyniki pomiaru' oraz 'liczebność danego wyniku' (np. rodzaje ocen i ilość każdej z nich).
  • histogram częstości – podobny, jednak zamiast liczebności występują częstości względne – liczebność jest zastąpiona jej stosunkiem do łącznej liczby wyników (np. ilość 3, gdy suma wyników wynosi 10, w przypadku tego diagramu zapisana jest jako 3/10).

Szereg rozdzielczy[edytuj]

Gdy liczba danych jest znaczna, można dokonać ich klasyfikacji, polegającej na określeniu klas, na które zostaną podzielone nasze dane. Wówczas klasy –czyli wyznaczone przedziały - będą w przybliżeniu reprezentować zgromadzone wartości. Jedną z metod klasyfikacji danych jest: określenie ilości klas, wyznaczenie długości każdej klasy, stworzenie klas i przyporządkowaniu im wartości.
1. liczba klas  

n – ilość danych

2. długość klasy  

– największa i najmniejsza wartość

3. Tworzymy K przedziałów długości L, lewostronnie domkniętych i prawostronnie otwartych, tak aby pokryły wszystkie wartości.
4. Obliczamy liczebność klas (ile wartości należy do każdej klasy).

Dane przedstawione w postaci klas i ich liczebności nazywa się szeregiem rozdzielczym.
Można przyjąć, że histogram liczebności jest również przedstawieniem szeregu rozdzielczego (o jednowartościowych klasach).

Średnia[edytuj]

  • Gdy dane zawierają jedynie wartości, obliczamy średnią arytmetyczną:
  • W przypadku danych zawierających wartości wraz z wagami, obliczamy średnią ważoną:

  -waga i-tej wartości
  • Średnią dla danych zawierających wartości i ich liczebność obliczamy jako średnią ważoną, podstawiając w miejscu wag liczebość danej wartości:

  -liczebność i-tej wartości
  • Średnią dla szeregu rozdzielczego liczymy również jako średnią ważoną, używając - środka i-tej klasy w miejscach wag:
  -środek i-tej klasy (tzn połowa z sumy wartości lewego i prawego końca i-tej klasy)

Mediana[edytuj]

Jeśli spróbujemy znaleźć wartość cechy najbardziej 'przeciętnej’, konkretnie – wartość środkowego elementu, będziemy szukać właśnie mediany.

  • Gdy dane zawierają jedynie wartości, medianą jest środkowy element w ciągu, uporządkowanym niemalejąco (1 3 5...), lub średnia dwóch środkowych elementów w ciągu:
dla nieparzystego n
lub
dla parzystego n
Zamiast wzorów wystarczy zapamiętać "medianą jest środkowa wartość w ciągu (uporządkowanym niemalejącym)", a jeśli n jest parzyste: "medianą jest średnia dwóch środkowych w ciągu".
Pozostaje znaleźć w ciągu medianę - jako wartość na pozycji Me.
  • Jeśli dane zawierają wartości wraz z ich liczebnością – postępujemy podobnie, jednak uwzględniamy w ciągu liczebność wyników (np. 1 3 5 5 7 7 7).
  • W przypadku szeregu rozdzielczego:
1. oblicza się dla kolejnych klas liczebność skumulowaną    (jest to suma liczebności od 1. do i-tej klasy),
2. określa się pozycję mediany wg wzoru (zmienionego): oraz okreśa, w której klasie ta pozycja się znajduje,
3. szacuje się medianę wg wzoru

  – lewy koniec tej klasy, do której należy mediana
 - liczebność skumulowana klasy poprzedzającej klasę z medianą
  –liczebność klasy ‘z medianą’
  –długość klasy ‘z medianą’
Alternatywą jest użycie wzoru

  – analogicznie, prawy koniec klasy
  – liczebność skumulowana klasy 'z medianą' oraz klasy ostatniej (tzn. f = n)

Odchylenie standardowe[edytuj]

Jest to wartość przybliżająca jak bardzo wartości odbiegają od średniej. Używanym terminem jest również wariancja, jest to odchylenie stand. do kwadratu. Brane pod uwagę będą różnice pomiędzy kolejnymi wartościami xi i średnią, podniesione do kwadratu, tzn. .

Wariancja jest średnią arytmetyczną tychże kwadratów różnic pomiędzy wartościami a średnią. Obliczyć ją można z odchylenia (podnosząc je do kwadratu), wobec czego ograniczymy się do wzoru dla tej drugiej wartości. Oznaczamy jako .

Odchylenie standardowe

  • Dla danych zawierających tylko wartości lub wartości i ich liczności – używamy wzoru na średnią arytmetyczną kwadratów różnic, znajdującą się pod pierwiastkiem. W pierwszym przypadku, za podstawiamy 1.

  -liczność danej klasy
  -średnia
  • W przypadku danych w postaci szerego rozdzielczego – używamy powyższego wzoru, w miejsce wartości wstawiając środki klas

  -środek i-tej klasy


> Rozwiązane zadania


Matematyka dla liceum/Rachunek prawdopodobieństwa/Prawdopodobieństwo warunkowe Matematyka dla liceum/Rachunek prawdopodobieństwa/Prawdopodobieństwo całkowite

Definicja
DEFINICJA

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeśli

Zdarzenia, które nie są niezależne, nazywamy zależnymi.

Jeśli zdarzenie A i B są niezależne, to pary zdarzeń: A i B', A' i B, A' i B' też są niezależne.

Zdarzenia są niezależne, jeśli prawdopodobieństwo iloczynu dowolnych k (k n) zdarzeń spośród nich jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń.


Definicja
DEFINICJA

Schematem Bernoulliego nazywamy ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia o dwóch możliwych wynikach nazywanych sukcesem i porażką. Poszczególne doświadczenia w schemacie Bernoulliego nazywamy próbami Bernoulliego:

prawdopodobieństwo sukcesu to p

prawdopodobieństwo porażki to q,


Podsumowanie[edytuj]

Elementy kombinatoryki[edytuj]

Silnia
Permutacja (n-elementowego zbioru)
  • n-elementowy ciąg (ważna kolejność),
  • elementy nie mogą się powtarzać.
Wariacja z powtórzeniami
  • k-wyrazowy ciąg,
  • elementy mogą się powtarzać.
Wariacja bez powtórzeń
  • podobnie, choć jak nazwa mówi, elementy nie mogą się powtarzać.
Kombinacja
  • k-elementowy podzbiór, zbioru n-elementowego. W zbiorach nie występuje kolejność elementów! Elementy nie mogą się powtarzać.
Symbol Newtona


Zadania z rozwiązaniami[edytuj]

Elementy kombinatoryki - przykłady[edytuj]

Rozgrzewka[edytuj]

1

Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach, utworzonych z cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5?
W zadaniu jest ukryty dodatkowy warunek – w uzyskanej liczbie pierwszą cyfrą nie może być 0 (0354 nie jest poprawna).

2

Na ile sposobów czterech pasażerów może wsiąść do pociągu, jeśli każdy wybiera losowy wagon spośród sześciu?


Podstawa[edytuj]

1

W kolejce stoi 5 osób, oznaczmy je: A, B, C, D, E. Na ile sposobów można przestawić osoby, tak aby między osobami A i B stała jedna inna osoba?

2

W urnie jest 20 kul, w tym 6 czarnych. Na ile sposobów można wybrać 3 kule, tak aby były wśród nich przynajmniej 2 czarne?

3

Ile różnych słów (mających sens lub nie) można ułożyć przez przestawienie liter w wyrazie „matematyka”?

4

Na ile sposobów może usiąść przy okrągłym stole 6 osób, tak aby osoby A i B siedziały naprzeciwko siebie?

5

Ile liczb 6-cyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3, 4 i 5, tak aby liczba ta była podzielna przez 25?
W zadaniu jest ukryty dodatkowy warunek – w uzyskanej liczbie pierwszą cyfrą nie może być 0 (031425 nie jest poprawna).

6

Z talii 52 kart losujemy 3 karty. Ile jest możliwych wyników losowań, tak aby wśród wylosowanych były co najwyżej 2 piki?

Elementy statystyki opisowej – przykłady[edytuj]

Rozgrzewka[edytuj]

Tomek rzucił podczas meczu koszykówki 6 piłek za 2 punkty oraz dwie za 3 punkty.

Ile zyskał średnio punktów na rzut?

Ile wynosi mediana wśród uzyskanych punktów?



W woreczku mamy siedemnaście barwnych kulek w czterech kolorach. W każdym kolorze są co najmniej dwie kulki, w żadnym z kolorów nie ma tej samej liczby kulek. Najwięcej jest kulek zielonych.

Tomek ma za zadanie wyciągnąć z woreczka na ślepo (z zamkniętymi oczyma) tyle i tylko tyle kulek, aby być pewnym, że będzie miał w ręku co najmniej dwie kulki jednego z kolorów i co najmniej jedną kulkę jakiegoś innego koloru.

Ile kulek musi wyciągnąć Tomek aby być pewnym wyniku?