Matematyka dla liceum/Stereometria/Wielościany w zadaniach

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wielościany w zadaniach[edytuj]

Graniastosłupy[edytuj]

(przekątne)
Zad. Dany jest graniastosłup prosty o podstawie rombu, którego bok ma długości a, natomiast kąt rozwarty ma miarę 120o. Wysokość bryły wynosi . Oblicz długości przekątnych graniastosłupa.

dane: wysokość , boki podstawy a, kąt w podstawie 120.

Przekątne graniastosłupa są podobne do przekątnych podstawy, jedynie, łączą one wierzchołek dolnej i górnej podstawy. Znajdują się więc 'nad' przekątnymi rombu, nachylone pod pewnym kątem, jak na rysunku pierwszym. Podstawą jest romb (rysunek drugi) o kątach wynoszących 120 oraz 60 stopni (z: suma kątów przy boku wynosi 180), przez co romb dzieli się na trójkąty 30-60-90, ADS.

Lozenge 60 diagonals.png Lozenge 120 diagonals.png

Znajdujemy długości przekątnych podstawy - z własności trójkąta 30-60-90.

po obliczeniach:

Aby znaleźć długości przekątnych bryły, rozpatrzymy trójkąty tworzone przez nie z krawędzią boczną i przekątnymi podstawy.

Triangle asqrt3 asqrt3 d1.png Triangle a asqrt3 d2.png

Wykorzystujemy przekątne podstawy w trójkątach z d1 i d2. Z tw. Pitagorasa obliczamy przekątne graniastosłupa.