Matematyka dla liceum/Trygonometria

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcje trygonometryczne[edytuj]

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego[edytuj]

Funkcje trygonometryczne są głównymi pojęciami trygonometrii. Istnieje sześć funkcji trygonometrycznych:

  • sinus (czyt. sinus), symbol: sin
  • cosinus (czyt. kosinus), symbol: cos
  • tangens (czyt. tangens), symbol: tg, tan
  • cotangens (czyt. kotangens), symbol: ctg, cot, ctn
  • secans (czyt. sekans), symbol: sec,
  • cosecans (czyt. kosekans), symbol: cosec, csc

Argumentami funkcji trygonometrycznych mogą być:

  • kąt skierowany
  • liczba rzeczywista
Definicja
DEFINICJA

funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

Trojkat prostokatny.png

Sinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej


Cosinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie do przeciwprostokątnej


Tangensem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przyprostokątnej leżącej przy kącie

Cotangensem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie do przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta

    lub    

Secansem kąta ostrego nazywamy stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej leżącej przy kącie

    lub    

Cosecansem kąta ostrego nazywamy stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta

    lub    

Miara łukowa kąta[edytuj]

Narysujmy okrąg o promieniu r, a na nim zaznaczmy łuk L, dla którego kąt środkowy oparty o ten łuk będzie wynosił . Znajdźmy wzór na długość tego łuku.

Intuicyjnie długość łuku do obwodu okręgu jest równa mierze kąta w stopniach do :

ponieważ , otrzymujemy:

zatem:

Jak łatwo zauważyć wartość nie zależy od promienia naszego okręgu, tylko od kąta, który tworzy nasz łuk. Wartość ta nazywana jest miarą łukową kąta dla kąta . W ogólności wzór na długość łuku wyznaczonego przez kąt (wyznaczonego w stopniach) przybierze postać:

Tak jak długość nie musi wyrażać się w metrach, tak też kąt nie musi wyrażać się w stopniach. Możemy wykorzystać inną jednostkę kąta, jakim jest radian. Wtedy wartość kąta jest wyrażana w tzw. mierze łukowej. Załóżmy, że kąt jest wyrażony w stopniach, w radianach, wówczas wartości tych kątów wiąże zależność:

Jednostką miary łukowej jest radian, który w skrócie zapisywany jest przez rad. Często przy podawaniu kąta wyrażonego w mierze łukowej pomija się jednostkę np. zamiast pisze się po prostu .

Radian definition.png

Powróćmy znowu do wzoru na długość łuku L, tym razem jednak załóżmy, że kąt na którym jest oparty łuk jest wyrażony w radianach i wynosi . Wówczas wykorzystując zależność otrzymujemy zależność:

dzieląc obustronnie przez r otrzymujemy:


Definicja
DEFINICJA

Miarą łukową kąta nazywamy stosunek długości łuku do długości promienia. Jest ona równa kątowi , który wyznacza ten łuk:

Jednostką miary łukowej jest radian.

Ten drugi wzór jest o wiele łatwiejszy do zapamiętania.

Zauważmy, że miara kąta pełnego wyrażonego w stopniach wynosi , a w radianach . Zatem:

Aby zamienić stopnie na radiany możemy wykorzystać wcześniej wzór:

(który był przedstawiony wcześniej, lecz w nieco innej postaci).

Odwrotnie, aby zamienić radiany na stopnie wykorzystujemy wzór:

Możemy go otrzymać przekształcając poprzedni wzór.

Przykład 1 Zamieńmy miarę stopniową na miarę łukową

a)
b)
c)

Wówczas możemy to zrobić na dwa sposoby:

a) I sposób za pomocą proporcji:
-
-
czyli:
II sposób, wykorzystując wzór:
b)
c)

Przykład 2 Zamieńmy miarę łukową na miarę stopniową

a)
b)
b)

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, możemy to zrobić na dwa sposoby:

a) I sposób za pomocą proporcji:
-
-
zatem:
II sposób, wykorzystując wzór:
b)
c)


Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego[edytuj]

Miara kąta skierowanego na płaszczyźnie zorientowanej[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Kąt skierowany - jest to uporządkowana para półprostych o wspólnym początku; pierwsza półprosta - ramię początkowe, druga półprosta - ramię końcowe.

Przykład kąta skierowanego

Positive angle; alfa; blue-red.svg

Ramieniem początkowym kąta jest półprosta wyróżniona na niebiesko, a ramieniem końcowym półprosta koloru czerwonego.

Definicja
DEFINICJA

Płaszczyzna zorientowana - jest to taka płaszczyzna na której określono bieg dodatni dla każdego okręgu.

XOY plus.png
XOY minus.png
Przykład płaszczyzna zorientowana 1: Układ współrzędnych zorientowany dodatnio.
Przykład płaszczyzna zorientowana 2: Układ współrzędnych zorientowany ujemnie.

Kątowi skierowanemu na płaszczyźnie zorientowanej przyporządkowujemy ten kąt nieskierowany AOB (wypukły lub wklęsły) w którym leży łuk o początku w punkcie L i końcu w punkcie K, mający zwrot dodatni.

Kat skier AOB LK.png Kat skier AOB LK va.png

Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

funkcji trygonometrycznych dla kąta skierowanego na płaszczyźnie zorientowanej.

Kat skier w ukladzie oxy.png

Sinusem kąta skierowanego nazywamy stosunek rzędnej (y) do promienia (r)

Cosinusem kąta ostrego nazywamy stosunek odciętej (x) do promienia (r)

Tangensem kąta ostrego nazywamy stosunek rzędnej (y) do odciętej (x)

Cotangensem kąta ostrego nazywamy stosunek odciętej (x) do rzędnej (y)

    lub    
Secansem kąta ostrego nazywamy stosunek promienia (r) do odciętej (x)
    lub    
Cosecansem kąta ostrego nazywamy stosunek promienia (r) do rzędnej (y)
    lub    

Przykład 1.

Kąt w położeniu standardowym, P(3,1).png

Niech ramię początkowe kąta pokrywa się z dodatnią półosią OX, a ramię końcowe przechodzi przez punkt . Wyznaczmy wartości funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens dla tego kąta. Ponieważ wartości funkcji trygonometrycznych nie zależą od wyboru punktu należącego do końcowego ramienia kąta, zatem możemy wykorzystać do tego współrzędne punktu :

Mówimy, że kąt jest w położeniu standardowym, jeśli kąt został umieszczony tak w układzie współrzędnych, że jego ramię początkowe pokrywa się z dodatnią osią OX.

Przykład 2.

Kąt w położeniu standardowym, P(-3,4).png

Kąt znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt . Wyznaczmy , , , .

Przykład 3.

Kąt w położeniu standardowym, P(-2,-4).png

Kąt znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt . Obliczmy , , , .


Własności funkcji trygonometrycznych[edytuj]

Znak funkcji trygonometrycznej[edytuj]

Funkcja I II III IV
+ + - -
+ - - +
+ - + -
+ - + -
Ciekawostka
Czy wiesz, że...

Powyższe znaki funkcji trygonometrycznych można nauczyć się stosując prosty wierszyk: "W pierwszej ćwiartce wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus". (inna wersja pierwszego zdania: W pierwszej ćwiartce same plusy, ...)

Parzystość i nieparzystość[edytuj]

Funkcja jest parzysta, czyli zachodzi:

Natomiast funkcje , i są nieparzyste, czyli:

Okresowość[edytuj]

Dla funkcji trygonometrycznych , , , , gdzie jest dowolnym kątem, a k dowolną liczbą całkowitą, zachodzi:

Związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi[edytuj]


Wykresy funkcji trygonometrycznych[edytuj]

Wykres funkcji sinus nazywa się sinusoidą, funkcji cosinus cosinusoidą, funkcji tangens tangensoidą, a funkcji cotangens cotangensoidą.

Na podstawie wykresu poszczególnych funkcji trygonometrycznych można oszacować cechy tej funkcji:

Wykres sin w radianach.png

Sinusoida

  • dla gdzie
  • nieparzystość
  • okresowość


Wykres cos w radianach.png

Cosinusoida

  • dla gdzie
  • parzystość
  • okresowość

Wykres tan w radianach.png

Tangensoida

  • gdzie
  • dla gdzie
  • asymptoty pionowe gdzie
  • nieparzystość
  • okresowość


Wykres cot w radianach.png

Cotangensoida

  • gdzie
  • dla gdzie
  • asymptoty pionowe gdzie
  • nieparzystość
  • okresowość

Szkicowanie wykresu funkcji trygonometrycznych[edytuj]

Szkicowanie zaczynamy od narysowania układu współrzędnych i zaznaczenia na osi OY wartości:

  • w przypadku sinusa i cosinusa: od -1 do 1,
  • w przypadku tagensa i cotangensa od -4 do 4.

Natomiast na osi OX wartości od do . Zakładam, że będziesz rysował wykres na kartce w kratkę, więc zalecam byś przyjął jako jednostkę na osi Y 2 kratki. Wykonując podziałkę na osi X nanieś ją w następujący sposób:

  • większymi kreskami co kratkę, będą to wartości rosnące co
  • mniejszymi kreskami co półtorej kratki, będą to wartości rosnące co

Gdy mamy tak przygotowany wykres możemy przystąpić to nanoszenia punktów przez które wiemy, że funkcja będzie na pewno przechodziła (z tabeli), a następnie korzystając z wzorów redukcyjnych możemy je zaznaczyć dla dowolnego kąta.

Tak zaznaczone punkty łączymy płynną linią i gotowe.

Uwaga! W przypadku kreślenia wykresu funkcji tangens i cotangens należy zaznaczyć asymptotę linią przerywaną.


Tożsamości trygonometryczne[edytuj]

Podstawowe tożsamości trygonometryczne[edytuj]




Dowód prawdziwości :[edytuj]

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa możemy stwierdzić, że ponieważ

Dowód prawdziwości [edytuj]

Dowód prawdziwości [edytuj]

Dowód prawdziwości [edytuj]

Pozostałe tożsamości trygonometryczne[edytuj]

Drachen p.png

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Funkcje sumy i różnicy kątów[edytuj]


,     jeżeli    

,     jeżeli    

,     jeżeli    

,     jeżeli    

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych[edytuj]

Dla dowolnych kątów o miarach i

Funkcje kąta podwójnego[edytuj]

,     jeżeli    


,     jeżeli    


Wzory redukcyjne[edytuj]

Wzory redukcyjne – wzory pozwalające sprowadzić obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do obliczenia wartości funkcji dla kąta ostrego.

























Na szczęście nie trzeba uczyć się na pamięć powyższej tabeli. Wystarczy przyswoić sobie dwa zdroworozsądkowe fakty z niej wynikające:

  • gdy we wzorze redukcyjnym występuje liczba 90 lub 270 to funkcja sinus zmienia się w cosinus i na odwrót, a tangens w cotangens i na odwrót
  • o pojawieniu się znaku minus decyduje funkcja po lewej stronie, gdy w danej ćwiartce dana funkcja jest ujemna, to dopisujemy znak minus np.:
    – ponieważ cosinus w IV ćwiartce jest dodatni
    – ponieważ cosinus w II ćwiartce jest ujemny
    – ponieważ tangens w II ćwiartce jest ujemny

Łatwo zapamiętać, gdzie pojawia się znak minus, używając "praktycznej poezji matematycznej":

W pierwszej ćwiartce same plusy
W drugiej tylko sinus
W trzeciej tangens i cotangens
A w czwartej cosinus


Równania trygonometryczne[edytuj]

Równaniem trygonometrycznym będziemy nazywać równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wyrażeniach będących argumentem funkcji trygonometrycznej. Przykładami równań trygonometrycznych mogą być:


Twierdzenie
TWIERDZENIE

Równanie postaci ma nieskończenie wiele rozwiązań, przy założeniu, że :

  • lub , gdzie i


Równanie postaci ma nieskończenie wiele rozwiązań, przy założeniu, że :

  • lub , gdzie i


Równanie postaci ma nieskończenie wiele rozwiązań:

  • , gdzie i


Równanie postaci ma nieskończenie wiele rozwiązań:

  • , gdzie i

Przykład 1. Rozwiążmy równanie :

Ponieważ , więc
Stąd mamy:
lub , gdzie

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby postaci: lub , .

Przykład 2. Rozwiążmy równanie :

Zatem:
lub , gdzie

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby postaci: lub , .

Przykład 3. Rozwiążmy równanie :

Zatem:
, gdzie

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby postaci: , .


Nierówności trygonometryczne[edytuj]

Przykładami nierówności trygonometrycznych mogą być:

Przykład 1. Rozwiążmy graficznie nierówność: w przedziale .

Nierownosc sinx-0.5, x=-0;2pi-.png

Z wykresu możemy odczytać, że sinus przyjmuje wartości większe od dla .

Odp. Nierówność w przedziale jest spełniona dla .


Ćwiczenia[edytuj]

Ćw.1

Podaj wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych trójkąta prostokątnego o bokach:

a. 5,12,13

b. 7,24,25