Matematyka dla liceum/Wersja do druku

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj


Matematyka dla liceum




Róg strony.svg
 
 




Róg strony.svg
 
 

Spis treści



Zaczynamy

Zbiory

Pojęcie zbioru[edytuj]

Zbiór jest jednym z podstawowych pojęć matematycznych. Pojęcia tego nie definiujemy – jest ono pojęciem pierwotnym. Czasami, zamiast „zbiór” możemy powiedzieć „rodzina”, „przestrzeń”, czy „kolekcja”. Zbiór będziemy intuicyjnie rozumieć jako pewną całość złożoną z wielu obiektów, które będziemy nazywać elementami tego zbioru. Jeszcze bardziej obrazowo, zbiór można przedstawić jako worek, wypełniony przedmiotami, które są elementami zbioru.

Popatrzmy na przykłady:

  • zbiór ciastek,
  • zbiór liczb całkowitych nieparzystych,
  • zbiór uczniów w klasie.


Wyobraźmy sobie, że trzymamy w ręce cztery cukierki – jeden o smaku cytrynowym, drugi o smaku truskawkowym, trzeci o smaku jabłkowym, a czwarty o smaku waniliowym. Zbiory są oznaczane zazwyczaj dużymi literami alfabetu, np. A, B, C, D. Możemy nasz zbiór cukierków nazwać literą C (oczywiście, od słowa „cukierki”).

Element (przedmiot), który należy do pewnego zbioru, najczęściej oznaczamy małą literą, np. x, y, z. W związku z tym, oznaczmy cukierek cytrynowy jako c, truskawkowy jako t, jabłkowy jako j, a waniliowy jako w.

Jeśli element a należy do zbioru A, zapisujemy to i czytamy „element a należy do zbioru A. Możemy zapisać, używając naszych oznaczeń, że cukierek truskawkowy t należy do naszego zbioru cukierków C jako .

Podobnie, aby zaznaczyć, że dany element nie należy do zbioru, użyjemy zapisu -czyli a nie należy do zbioru A. Ponieważ nie posiadamy cukierka pomarańczowego p, cukierek p nie należy do naszego zbioru cukierków C, co zapiszemy: .

Aby oznaczyć, że wymieniane elementy tworzą razem zbiór (lub odwrotnie, że zbiór składa się z danych elementów), umieszczamy je w nawiasach klamrowych. Nasz zbiór C składa się z cukierka cytrynowego c, truskawkowego t, jabłkowego j i waniliowego w, więc możemy zapisać .

Liczbę elementów zbioru A oznaczamy i nazywamy mocą zbioru A. W przykładzie z cukierkami powiemy, że moc zbioru cukierków C wynosi 4, co zapiszemy .

Ze względu na liczbę elementów w zbiorze, wyróżniamy zbiory skończone, np. nasz zbiór cukierków, oraz zbiory nieskończone, np. zbiór liczb rzeczywistych.

Szczególnym przypadkiem zbioru jest zbiór pusty, do którego nie należy żaden element. Oznaczamy go lub .

Zbiory liczb[edytuj]

Wyróżniamy pewne zbiory liczb, które odgrywają istotną rolę w matematyce; do najważniejszych zaliczamy:

  • zbiór liczb naturalnych,
  • zbiór liczb całkowitych,
  • zbiór liczb wymiernych,
  • zbiór liczb niewymiernych,
  • zbiór liczb rzeczywistych.

Przyjrzymy się teraz pokrótce każdemu z nich. Przedstawionych niżej opisów nie można traktować jako definicji tych zbiorów, ale raczej jako luźne wytłumaczenie tych pojęć, które może zawierać pewne nieścisłości.

Zbiór liczb naturalnych[edytuj]

Liczba naturalna to każda z liczb, do której możemy doliczyć, startując od 0 (co może trwać bardzo długo...). Zbiór liczb naturalnych jest więc zbiorem wszystkich takich liczb. Liczbą naturalną jest więc 4, 1001 i 100000000000. Liczbą naturalną nie będzie natomiast -5, czy też 2,5 lub π.

W matematyce, zbiór liczb naturalnych jest z reguły oznaczany przez . Ponieważ początkowe liczby naturalne to 0, 1, 2, 3 itd., zbiór liczb naturalnych będzie równy

.

Należy dodać, że czasami przyjmuje się, że 0 nie należy do naturalnych.

Zbiór liczb całkowitych[edytuj]

Co to znaczy, że liczba jest całkowita? Liczba całkowita, to liczba postaci -1, -5, 1000, czyli liczby całkowite różnią się od naturalnych tym, że mogą być ujemne. Liczbą całkowitą znowu nie będzie π, jako że π = 3,14..., więc ma jakąś niezerową część ułamkową.

Zbiór liczb całkowitych będziemy oznaczać przez . Widzimy, że

.
  • Ciekawostka
    Mała dygresja dla bardziej spostrzegawczych. Niektórzy może zarzucą, dlaczego , a nie . To prawda, że w wielu podręcznikach szkolnych używa się literki C do oznaczania zbioru liczb całkowitych, jednak w rzeczywistości, większość podręczników dotyczących matematyki zawiera oznaczenie . Są to jednocześnie oznaczenia międzynarodowe, ponadto, używane są na uczelniach wyższych. Z podobnych względów oznaczymy zbiór liczb wymiernych literką .

Zbiór liczb wymiernych[edytuj]

Liczba wymierna to taka liczba, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego, gdzie licznik i mianownik będą liczbami całkowitymi przy czym mianownik będzie różny od zera. Liczbami wymiernymi będą: 1, 2, , , czy też 2,7563. Czy będzie nią liczba π? Okazuje się, że nie - ponieważ liczba π jest na tyle skomplikowana, że nie da się jej zapisać w postaci ułamka zwykłego.

Zbiór liczb wymiernych w matematyce oznaczamy przez .

Zbiór liczb rzeczywistych[edytuj]

Jest to "uniwersalny worek", ponieważ wszystkie liczby (których będziemy używać w liceum) są liczbami rzeczywistymi. Wszystkie zbiory liczb, opisane wyżej, możemy do tego "worka" włożyć. Tak więc.. przykładem może być każda liczba, jaka przyjdzie do głowy.

Czym charakteryzują się liczby rzeczywiste? Otóż posiadają one w zapisie dziesiętnym cyfry od 0 do 9, mogą posiadać znak minus i część ułamkową po przecinku, ale nic więcej. Można by zapytać: jaka liczba nie spełnia tych warunków? Istnieje, na przykład, pewien zbiór (jest on jednakże w programie uczelni wyższych) liczb zespolonych [1] (oznaczenie: ).

Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy przez .

Zbiór liczb niewymiernych[edytuj]

Jest to dopełnienie zbioru liczb wymiernych. Oznacza to, że każda liczba rzeczywista, która nie jest liczbą wymierną, jest liczbą niewymierną (i żadna inna). Są to wszystkie liczby rzeczywiste, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego, gdzie licznik i mianownikliczbami całkowitymi. Tu też znajdzie się liczba π i pierwiastki takie jak np. pierwiastek z trzech czy pięciu, ale nie z czterech, gdyż wynosi on 2. Z kolei, nie będą już liczbami niewymiernymi:1, 2, , (do niewymiernych należą te liczby rzeczywiste, które nie są wymiernymi).

Zbiór liczb niewymiernych będziemy oznaczać przez (co można tłumaczyć jako "zbiór liczb rzeczywistych bez liczb wymiernych ", symbol oznacza różnicę zbiorów).

Zbiory - więcej[edytuj]


  1. Więcej o liczbach zespolonych można znaleźć np. na Wikipedii.


Działania arytmetyczne

Potęgi i pierwiastki[edytuj]

Potęga o wykładniku całkowitym[edytuj]

Zacznijmy od prostego przypadku, gdy wykładnik jest liczbą naturalną.

Definicja
DEFINICJA

Potęgą o podstawie a i wykładniku naturalnym n nazywamy liczbę

Pamiętajmy o tym, że nie ma sensu liczbowego.[1]

Powyższa definicja to tylko teoria, sprawdźmy co oznacza ona w praktyce:

Powinniśmy to pamiętać z wcześniejszych klas.

Co wtedy, gdy wykładnik jest liczbą całkowitą mniejszą od zera? Skorzystamy z poniższej definicji.

Definicja
DEFINICJA

Potęgą o podstawie a różnej od zera i wykładniku całkowitym ujemnym (-n) nazywamy odwrotność potęgi :

.

Zatem jeśli wykładnik jest ujemny, to aby zmienić go na dodatni, musimy odwrócić daną liczbę, na przykład:

Dla potęg całkowitych zachodzą poniższe własności:

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Jeśli m i n są liczbami całkowitymi, a i b liczbami rzeczywistymi różnymi od 0, to:

Powyższe własności można wykorzystać, aby obliczyć:




Pierwiastkowanie[edytuj]

Spójrzmy na definicję:

Definicja
DEFINICJA

Pierwiastek arytmetyczny n-tego stopnia z liczby nieujemnej a i oznaczany przez to liczba , która spełnia zależność .

W liczba a jest nazywana liczbą podpierwiastkową.

Definicja może wydawać się dziwna, ale powinniśmy przede wszystkim zapamiętać, że:

  • jeśli , to np. , ponieważ ;
  • ani a, ani b nie jest liczbą ujemną, np. nie wiemy, co oznacza ;
  • n jest liczbą całkowitą, większą bądź równą 2, np. , , , itd.

Jeśli widzimy pierwiastek, to szukamy takiej nieujemnej liczby b, aby , czyli:

, ponieważ ,
, ponieważ ,
, ponieważ .

Zauważmy, że pierwiastek drugiego stopnia zapisujemy jako zamiast .

Powyższa definicja jest niekiedy uogólniana dla pierwiastków nieparzystego stopnia, gdy a jest ujemne:

dla a nieujemnego i nieparzystego n

Na przykład:

,
,
.

W tym podręczniku będziemy korzystać z tego uogólnienia.

Stosowany tutaj symbol pierwiastka arytmetycznego został przyjęty w definicji pierwiastka arytmetycznego dla liczb nieujemnych, co może prowadzić do niejednoznaczności i błędów.

W Niemczech i wielu innych krajach uogólnienie to jest niedopuszczalne.

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Jeśli n i m są liczbami naturalnymi większymi od 1, oraz a i b są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to:

  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Zobaczmy, jak te własności możemy wykorzystać w praktyce:

  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Oczywiście powyższe przykłady można zrobić na wiele sposobów.

Zauważmy, że dla n parzystego i zachodzą poniższe własności:

  • , ale
  • .

Jednak nie są one spełnione dla n nieparzystego.

Dla n nieparzystego i dowolnego zachodzi[2]:

Zobaczmy na przykłady:

, ale także , ponieważ ;
, ale ;
, a także ();
, ale .

Potęga o wykładniku wymiernym[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Potęgę o podstawie i wykładniku określamy wzorem:

Popatrzmy na kilka przykładów:

  • ,
  • ,
  • .

Nie wiemy, co oznacza , czy też . Co prawda , ale wartość pozostawimy niezdefiniowaną.

Definicja
DEFINICJA

Potęgę o podstawie i wykładniku wymiernym określamy wzorem:

I znowu popatrzmy na kilka przykładów:

  • ,

Dla potęg zachodzą poniższe własności:

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Jeśli m i n są liczbami rzeczywistymi, a i b liczbami rzeczywistymi większymi od 0, to:

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Powyższe prawa możemy wykorzystać, aby policzyć na przykład:

  • ,
  • ,
  • .

Działania na liczbach rzeczywistych[edytuj]

Kolejność wykonywania działań[edytuj]

Kolejność wykonywania działań jest nastepująca:

  1. potęgowanie lub pierwiastkowanie,
  2. mnożenie lub dzielenie (w zależności od kolejności),
  3. dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna).

Oczywiście jeśli gdziekolwiek występują nawiasy, to najpierw wykonujemy działania w nich zawarte. Przypomnijmy to sobie na kilku przykładach.

Przykład 1.

Ze względu na nieobecność potęg przechodzimy od razu do mnożenia i dzielenia wykonując je w takiej kolejności, jakiej są zapisane – zaraz przed mnożeniem mamy dzielenie, więc wykonujemy je najpierw:
.
Teraz zostało tylko dodawanie i odejmowanie, więc dodajemy i odejmujemy zgodnie z kolejnością (od lewej do prawej):
.

Przykład 2.

Najpierw potęgowanie i pierwiastkowanie:
.
Aby obliczyć pierwiastek musimy najpierw obliczyć wartość pod nim:
najpierw dzielenie i mnożenie pod pierwiastkiem (bo już nie ma pod nim potęg):
,
następnie dodawanie i odejmowanie pod pierwiastkiem:
i w końcu wyciągamy pierwiastek:
.
Następne na liście jest mnożenie i dzielenie, które nas nie dotyczy, pozostaje więc dodawanie i odejmowanie:

Dwa poniższe przykłady rozwiążemy nieco szybciej.

Przykład 3.

Przykład 4.

Wzory skróconego mnożenia[edytuj]

Poznajmy lub przypomnijmy sobie ważniejsze wzory skróconego mnożenia:

  • (kwadrat sumy),
  • (kwadrat różnicy),
  • (różnica kwadratów),
  • (sześcian sumy),
  • (sześcian różnicy),
  • (suma sześcianów),
  • (różnica sześcianów).

Możemy je wykorzystać np. do obliczenia:

  • ,
  • ,
  • ,

choć jak widać metoda ta nie należy do najszybszych, zatem nazwa „wzorów skróconego mnożenia” wydaje się być nieuzasadniona. Spójrzmy jednak na następujący problem:

.

Obliczenie powyższej wielkości mogłoby być trochę nużące, jednak gdy zauważymy, że jest to po prostu jeden ze wzorów skróconego, to zadanie wyda się proste:

.

Oczywiście po nieco żmudnych i nudnych obliczeniach otrzymamy to samo.

Różne prawa działań[edytuj]

Pierwszym prawem, którym się pokrótce zajmiemy będzie prawo przemienności:

Czyli np. , podobnie też . Jednak prawo przemienności nie zachodzi dla odejmowania i dzielenia, ponieważ czy też .

Jednakże dla odejmowania spełnione jest następujące prawo:

Kolejnym prawem będzie prawo łączności, które zachodzi dla dodawania i mnożenia:

  • ,
  • ,

czyli na przykład:

, ponieważ
, a także
.

Podobnie dla mnożenia:

, ponieważ
i .

Prawo łączności nie sprawdza się w przypadku odejmowania i dzielenia. Zobaczymy to na dwóch przykładach:

  • , dosyć duża różnica.
  • , różnica jeszcze większa.

Innym prawem jest prawo redukcji (skreśleń):

  • jeśli , to (skreśliliśmy c),
  • jeśli i , to (także skreśliliśmy c)

Przykłady:

  • Jeśli , to .
  • Jeśli , to .

Kolejnymi prawami są prawa rozdzielności opisane niżej:

  • prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania:
  • prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania:
  • prawo rozdzielności dzielenia względem dodawania:
  • prawo rozdzielności dzielenia względem odejmowania:

Zobaczmy na kilka przykładów:

,
podobnie:
,
a także:

Ważną obserwacją jest na przykład:

,
,
.

Ze względu na tę własność, mianowicie , liczba 0 jest nazywana elementem neutralnym dodawania. Niezależnie jaką liczbę byśmy dodali do 0, to i tak byśmy otrzymali tę samą liczbę.

Podobnie w przypadku mnożenia liczba 1 jest elementem neutralnym mnożenia, ponieważ np.

,
,
.

Czy liczba 1 jest neutralna względem dzielenia? Nie. Co prawda zachodzi , jednak , np. . Dla elementu neutralnego dane działanie musi być przemienne.

Nie wszystkie działania posiadają element neutralny, przykładami są wspomniane wyżej odejmowanie i dzielenie.

Dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje dokładniej jedna liczba przeciwna (-a), która spełnia warunek:

.

Na przykład liczbą przeciwną do 7 jest -7, do -1000 jest 1000, a do 0 jest też 0.

Dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 istnieje dokładnie jedna liczba odwrotna spełniająca warunek:

.

Liczbą odwrotną do 2 będzie , do -10 będzie , do będzie , a do będzie .

Na koniec przedstawimy ważną własność mnożenia, otóż iloczyn liczb rzeczywistych jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy 0:

wtedy i tylko wtedy, gdy ,

np. jedynie wtedy, gdy .

Podrozdział ten stanowił powtórzenie z poprzednich lat nauki. Teraz przypominamy sobie, jak rozwiązywać proste równania i nierówności.


Przypisy


  1. W niektórych zastosowaniach wygodnie jest przyjąć, że także (zob. np. argumenty w Wikipedii), jednak nie jest to umowa przyjmowana powszechnie.
  2. Korzystamy z uogólnionej wersji pierwiastka arytmetycznego, który jest zdefiniowany także dla a ujemnego.


Rozwiązywanie równań i nierówności

Równania[edytuj]

Pewnie pamiętasz, czym jest równanie. Równanie jest to większe wyrażenie składające się z mniejszych wyrażeń połączonych znakiem równości. Najprostsze równanie wygląda mniej więcej tak:

wyrażenie po lewej = wyrażenie po prawej

Lewa strona równania często jest oznaczana przez L, a prawa przez P.

W równaniu z reguły występują jakieś niewiadome oznaczone najczęściej małymi literami.

Przykładami równania mogą być:

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Gdy zadanie zawiera polecenie „rozwiąż równanie”, oznacza to, że musimy znaleźć taką liczbę, która podstawiona do równania zamiast pewnej zmiennej (czyli niewiadomej) x, f, czy np. a spełni je, tzn. po lewej i po prawej stronie będziemy mieli te same wartości.

Dla równania jego rozwiązaniem będzie x równy 1, co wydaje się zresztą oczywiste. Gdy zamiast x podstawimy 1 otrzymamy:

,

rzeczywiście obydwie strony równania są sobie równe.

Rozwiązaniem tego równania nie będzie np. . Dlaczego? Podstawmy zamiast x liczbę 3:

,

widać, że coś nie pasuje! Przecież trzy nigdy nie będzie równe jeden: jeśli mamy jedno jajko, to nie zrobimy jajecznicy z trzech jaj.

A następny przykład, ? Ktoś spostrzegawczy mógłby od razu zauważyć, że gdy zamiast t damy 1, otrzymamy:

zatem będzie rozwiązaniem tego równania.

Podobnie dla równania rozwiązaniem będzie lub , ponieważ:

i jest wszystko się zgadza.

Rozwiązaniem nie będzie , ponieważ:

i teraz nic nie pasuje.

Tak naprawdę powinniśmy unikać zapisu typu , bo znak równości powinna oznaczać spełnioną równość, a tu przecież ona nie zachodzi. Możemy co najwyżej zapisać (4 nie jest równe -1). W takim razie jak to ładniej zapisać?

Zacznijmy od początku. Mamy równanie i chcemy pokazać, że nie jest rozwiązaniem. Rozbijamy to równanie na dwie części, na wyrażenie po lewej i wyrażenie po prawej, co zapisujemy następująco:

,
.

Jeśli , to:

,

ale

,

a więc:

.

Równanie nie jest spełnione, zatem nie jest rozwiązaniem tego równania.

Gdyby zaszła równość , to równanie zostałoby spełnione przez , a zatem 3 byłoby rozwiązaniem tego równania.

Nie powinniśmy jednak rozwiązywać równań w tak „brutalny” sposób (tzw. metoda brute force). Zdarza się, że równania mają często więcej niż jedno rozwiązanie, a strzelając, możemy po prostu niektóre pominąć.

Przekształcanie równań[edytuj]

Aby ładnie [1], a przede wszystkim poprawnie rozwiązać równanie, powinniśmy je upraszczać przekształcając je krok po kroku do prostszych, ale mu równoważnych równań.

W jaki sposób należy przekształcać równanie? Skorzystamy z faktu, że rozwiązania równania nie ulegną zmianie, gdy:

  1. dodamy (lub odejmiemy) z obu stron równania pewną wartość,
  2. wymnożymy (lub podzielimy) obie strony równania przez dowolną stałą różną od zera.

Gdy mamy równanie, np. , to liczbę 5 możemy przenieść na prawą stronę równania zmieniając znak na przeciwny, otrzymujemy:

, czyli

i doszliśmy do rozwiązania. Zauważmy, że przeniesienie 5 na przeciwną stronę równania jest równoważne dodaniu do obydwu stron równania -5, dlatego też podczas tej operacji należy zmienić znak na przeciwny:

.

Zapamiętajmy, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą musimy zmienić znak na przeciwny. Zobaczmy na trzy kolejne przykłady:

  • jeśli , to ,
  • jeśli , to ,
  • jeśli , to .

Jeśli równanie chcemy wymnożyć lub podzielić przez pewną liczbę, wówczas najlepiej o tym poinformować wstawiając „/⋅ ...” lub „/: ...”, na przykład:

  • - obustronnie mnożymy przez 2
  • - obustronnie dzielimy przez 3
  • - obustronnie mnożymy przez .

To koniec teorii. Przejdźmy do praktyki. Rozwiążmy cztery prościutkie równania:

  • (1)
  • (2)
  • (3)
  • (4)

Idziemy po kolei. Zacznijmy od (1):

- obustronnie dzielimy przez 2
, które jest poszukiwanym rozwiązaniem.

Przejdźmy do drugiego przykładu:

Teraz zrobimy (3):

Pozostał ostatni przykład:

I to już wszystko na temat równań. Przejdźmy teraz do nierówności.

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą[edytuj]

Mamy do rozwiązania następujące problemy:

  • 2x > 3 (1)
  • 5x - 2 < 2 (2)
  • (3)
  • (4)

Jednak na początek trochę teorii.

Nierówności przekształcamy w prawie taki sam sposób jak równania, z jednym wyjątkiem: jeśli obustronnie mnożymy (lub dzielimy) przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny, na przykład:

dla będziemy mieli:
(nie zmieniamy znaku na przeciwny, 2 nie jest ujemne)
ale dla będzie:
(musimy zmienić znak na przeciwny, -2 jest ujemne)

Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy powyższe przykłady.

Zaczniemy od (1):

Rozwiążmy teraz nierówność (2):

Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu (3):

I został ostatni przykład (4):

Przypisy


  1. zdaniem niektórych


Podsumowanie

Zbiory 
Zbiór jest pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Słowo zbiór rozumiemy jako pewną mnogość, zestaw, np. zbiór ciastek, zbiór liczb, zbiór uczniów w klasie.
Przyjęto oznaczać zbiory za pomocą wielkich liter, np. A, B, czy też X, natomiast elementy zbioru za pomocą małych, np. a, b, x.
element a należy do zbioru A,
b nie należy do B,
wypisanie elementów zbioru C,
ilość elementów zbioru, czyli jego moc.
Zbiory liczb
zbiór liczb naturalnych (nie zawiera ułamków i liczb ujemnych)
zbiór liczb całkowitych (nie zawiera ułamków), szkolny zapis: C
zbiór liczb wymiernych (nie zawiera liczb, których nie da się zapisać jako ułamek lub liczbę całkowitą), szkolny zapis: W
zbiór liczb rzeczywistych, inaczej zbiór (niemal) wszystkich liczb (suma zbiorów liczb wymiernych i niewymiernych)
zbiór pusty.


Potęga 
Potęga o wykładniku naturalnym n:
,
przy czym .
Liczba nie ma sensu liczbowego.
Pierwiastek 
Jeśli , to
dla nieparzystych n lub dla n parzystych ( to wartość bezwzględna liczby).
Kolejność wykonywania działań 
  1. potęgowanie lub pierwiastkowanie
  2. mnożenie lub dzielenie (wg kolejności zapisu)
  3. dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna)
Wzory skróconego mnożenia 
  • (kwadrat sumy)
  • (kwadrat różnicy)
  • (różnica kwadratów)
  • (sześcian sumy)
  • (sześcian różnicy)
  • (suma sześcianów)
  • (różnica sześcianów)
Przekształcanie równań i nierówności 
  • Do każdego równania możemy dodać lub odjąć obustronnie dowolną liczbę.
  • Przy przenoszeniu pewnej zmiennej lub liczby z jednej na drugą stronę równania/nierówności należy zmienić znak na przeciwny.
  • Każde równanie i nierówność można obustronnie wymnożyć przez liczbę różną od 0, jednak przy wymnażaniu nierówności przez liczbę ujemną należy zmienić znak nierówności na przeciwny.


Ćwiczenia

Podstawy[edytuj]

3. Co może stanowić zbiór, a co element zbioru?

a) książki do geografii e) bułka słodka i) głośnik
b) zwierzęta f) Jacek, Bolek i Agata j) zielone marchewki
c) kangur g) litera k) poziomka
d) kredki h) wszystkie zbiory l) zeszyty szkolne

4. Wypisz nieujemne elementy zbioru:

a) liczb naturalnych, mniejszych od 10 c)
b) liczb całkowitych mniejszych od 97 i podzielnych przez 5 d) liczb niedodatnich

5. Wyznacz moc zbioru:

a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)

6. Czy do zbioru A należy element a?

a) , e) ,
b) , f) ,
c) , g) ,
d) , h) ,

7. Pokaż, że dowolny niepusty podzbiór liczb naturalnych posiada element najmniejszy.

Ćwiczenia domowe[edytuj]

8. Która z poniższych liczb jest naturalna, całkowita, wymierna, a która niewymierna?

a) e) i)
b) f) j)
c) g) k)
d) h) l)

9. Rozwiąż równania:

a) d)
b) e)
c) f)

10. Rozwiąż nierówności:

a) d)
b) e)
c) f)

11. Oblicz:

a) j)
b) k)
c) l)
d) m)
e) n)
f) o)
g) p)
h) q)
i) r)

Ćwiczenia na myślenie[edytuj]

12. Wypiszmy wszystkie podzbiory zbioru :

  • , zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru
a) Wypisz wszystkie podzbiory zbioru:
b) Ile różnych podzbiorów ma zbiór:
  • 4-elementowy
  • 5-elementowy
  • 10-elementowy
  • n-elementowy

13. Pokaż, że:

a) jeśli liczba p i q jest wymierna (), to liczba p + q także jest wymierna (czyli ).
b) jeśli liczba p jest wymierna () i q jest niewymierna (), to liczba p + q jest niewymierna ().
c) oznaczmy przez zbiór dodatnich liczb wymiernych; jeśli liczba , i , to .

Ćwiczenia dodatkowe[edytuj]

14. Niektóre zbiory mają tę samą moc, tzn. mają taką samą liczbę elementów, np. zbiór ma taką samą liczbę elementów co . Zbiory są równoliczne (są tej samej mocy), gdy istnieje między nimi funkcja wzajemnie jednoznaczna. Pokaż, że:

a) zbiory i są równoliczne
b) zbiory i mają taką samą liczbę elementów
c) zbiory i są równoliczne
d) zbiór jest równoliczny z




Logika

Logika

Zdanie[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące, o którym można powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.

Zdania z reguły oznaczamy małymi literami. Prawdę oznaczamy przez 1 a fałsz przez 0. Na przykład zdanie „Księżyc krąży wokół Ziemi” jest prawdziwe, jego wartość logiczna wynosi 1. Z kolei zdanie „Pies ma osiem łap” nie jest prawdziwe, a jego wartość logiczna wynosi 0. Zdanie może mieć niewiadomą wartość logiczną: może to być wypowiedź pewnej nieudowodnionej hipotezy. Być może nie da się w ogóle określić jego wartości logicznej.

Informacja Nie każde zdanie języka polskiego jest zdaniem w matematyce. Przykładowo „To zdanie jest fałszywe" nie jest zdaniem logicznym, gdyż nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe - jeśli zdanie „To zdanie jest fałszywe" jest fałszywe, to prawdziwe jest zdanie „To zdanie jest prawdziwe", czyli zdanie jest zarówno prawdziwe, jak i fałszywe; podobnie gdy zdanie „To zdanie jest fałszywe" byłoby prawdziwe. W tym przypadku problemem nie jest to, że nie potrafimy określić jego wartości logicznej, lecz to że obie możliwości prowadzą do sprzeczności.

Proste zdania logiczne można łączyć w bardziej złożone. Można to osiągnąć za pomocą różnych spójników logicznych, np. „i” czy też „lub”, które mają określone symbole. Poniżej znajduje się lista podstawowych spójników.

symbol logiczny spójnik nazwa zdania złożonego
i koniunkcja
lub alternatywa
¬, ~ nieprawda, że... negacja (zaprzeczenie)
jeżeli..., to... implikacja
wtedy i tylko wtedy, gdy... równoważność

Zastanów się teraz, które z poniższych zdań może być prawdziwe?

  • „Księżyc krąży wokół Ziemi i pies ma osiem łap”.
  • „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap”.
  • „Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”.
  • „Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”.

Okazuje się, że tylko dwa zdania są prawdziwe – „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap” i „Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”. Dlaczego? Omówimy to w następnym podrozdziale.


Spójniki logiczne

Koniunkcja[edytuj]

Zajmijmy się takim prostym, logicznym zdaniem: „Byłem w księgarni i kupiłem książkę”. Oznaczmy to zdanie jako r. Zdanie to można podzielić na dwa zdania proste:

  • „Byłem w księgarni”, które oznaczymy przez p
  • „Kupiłem książkę”, które oznaczymy przez q

Te obydwa zdania proste łączą się spójnikiem i, które w matematyce oznaczamy przez . Zdania połączone spójnikiem i nazywamy koniunkcją. Możemy przyjąć, że zdanie r jest prawdziwe jedynie wtedy, kiedy rzeczywiście byliśmy w księgarni (p = 1) i kupiliśmy książkę (q = 1). Natomiast, jeśli któreś ze zdań p i q byłoby fałszywe (czyli nie byliśmy w księgarni lub nie kupiliśmy książki), oznaczałoby to, że skłamaliśmy, czyli wartość logiczna zdania r wynosiłaby 0. W zależności od wartości logicznych p i q możemy stworzyć tabelkę prawdziwości zdania (czyli zdania r), która jest pokazana niżej. Wynika z niej, że koniunkcja jest prawdziwa jedynie wtedy, kiedy obydwa zdania p i q są prawdziwe.

p q p ∧ q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

W przypadku zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi i pies ma osiem łap” pierwsza część zdania jest prawdziwa, a druga fałszywa. Zatem całe zdanie będzie fałszywe.

Alternatywa[edytuj]

Oznaczmy przez r zdanie: „Dziś rano posprzątam w pokoju lub pooglądam telewizję”. Zdanie r możemy podzielić na dwa zdania proste:

  • zdanie p: „Dziś rano posprzątam w pokoju”
  • i zdanie q: „Dziś rano pooglądam telewizję”

połączone spójnikiem lub. Jak było pokazane wcześniej w tabelce, spójnik lub oznaczamy przez . Nasze zdanie r będzie zarówno prawdziwe wtedy, kiedy zdanie p będzie prawdziwe (posprzątamy w pokoju) lub zdanie q będzie prawdziwe (pooglądamy telewizję). Ponadto nie skłamiemy, jeśli posprzątaliśmy i pooglądaliśmy telewizję (obydwa zdania p i q są prawdziwe). Tabelka przedstawiająca wartości logiczne alternatywy, w zależności od prawdziwości zdania p i q będzie wyglądać tak:

p q p ∨ q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

W poprzednim podrozdziale powiedzieliśmy, że zdanie złożone „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap” jest prawdziwe. Widzimy, że zdanie p „Księżyc krąży wokół Ziemi” jest prawdziwe, a zdanie q „pies ma osiem łap” jest fałszywe, dlatego wartość logiczna zdania p ∨ q wynosi 1 ∨ 0, czyli 1. Zatem to zdanie będzie rzeczywiście prawdziwe.

Negacja[edytuj]

Zdanie „Nieprawda, że byłem dzisiaj w kinie” oznaczmy jako zdanie r. Zdanie to jest zaprzeczeniem (negacją) zdania „Byłem dzisiaj w kinie”, które oznaczymy przez p. Negację zdania p przedstawiamy jako (w zapisie odręcznym: ∼p). Jeśli zdanie p jest prawdziwe (byliśmy w kinie), to zdanie r jest fałszywe, bo skłamaliśmy, że nie byliśmy w kinie. Natomiast jeśli zdanie p jest nieprawdziwe, oznacza to, że zdanie r jest prawdziwe. Wnioski te można to przedstawić w poniższej tabelce.

p ¬ p
0 1
1 0

Implikacja[edytuj]

Oznaczmy r jako zdanie „Jeżeli będziesz grzeczny, to dostaniesz czekoladę”. Zdanie to jest implikacją. Zdanie to składa się z dwóch zdań prostych:

  • zdania p: „Będziesz grzeczny”
  • zdania q: „Dostaniesz czekoladę”

Implikację zdań oznaczamy za pomocą spójnika , a w tym przypadku przez . Pozostaje zastanowić się, kiedy zdanie r będzie prawdą, a kiedy kłamstwem. Załóżmy, że zdanie to wypowiedziała mama do swojego syna. Jeśli syn był grzeczny i dostał czekoladę, mama nie skłamała. Jeśli syn był niegrzeczny i nie dostał czekolady, mama także nie skłamała. Jeśli syn był grzeczny, a nie dostał czekolady, oznacza to, że został okłamany. Okazuje się także, że gdyby syn był niegrzeczny i także dostał czekoladę, mama by nie skłamała. Dlaczego? Ponieważ, mama nie stwierdziła, co go spotka, jeśli będzie niegrzeczny. Powiedziała jedynie, co go spotka jeśli będzie grzeczny. Dlatego też o zdaniu p mówimy, że jest warunkiem wystarczającym do tego, by zaszło q, a o q, że jest warunkiem koniecznym do tego, by zaszło p. Tabelka wartości logicznych będzie wyglądać tak:

p q p ⇒ q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

Powróćmy znowu do przykładu przedstawionego w poprzednim podrozdziale. Otóż było tam zdanie „jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”. To zdanie złożone możemy podzielić na dwa proste zdania:

p: „pies ma osiem łap”,
q: „Księżyc krąży wokół Ziemi”.

Wiemy, że pierwsze p jest fałszywe, a zdanie q jest prawdziwe. Zatem wartość logiczna zdania p ⇒ q wynosi 0 ⇒ 1. Otrzymana wartość logiczna tego zdania wynosi 1. Jest to podobna sytuacja do tej, w której syn był niegrzeczny, a dostał czekoladę.

Wartość logiczną zdania można najprościej zapisać jako .

Równoważność[edytuj]

Gdyby poprzednie zdanie mama wypowiedziała tak: „Dostaniesz czekoladę jedynie wtedy, jeśli będziesz grzeczny” lub „Dostaniesz czekoladę wtedy i tylko wtedy, gdy będziesz grzeczny”, to okazałoby się, że gdyby synek był niegrzeczny, a mama i tak by mu dała czekoladę, to mama by skłamała. Spójnik logiczny „wtedy i tylko wtedy, gdy...” oznaczamy przez . Tabela równoważności będzie wyglądać tak:

p q p ⇔ q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Powróćmy teraz do zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”. Na pierwszy rzut oka nam coś w nim nie pasuje. Podzielmy to zdanie na dwa podzdania p i q:

p: „Księżyc krąży wokół Ziemi”
q: „pies ma osiem łap”

Wartość logiczna zdania p wynosi 1, a q wynosi 0. Ponieważ obie wartości logiczne zdań podrzędnych nie są sobie równe, więc zdanie to jest fałszywe, jego wartość logiczna wynosi 0. Jednak gdyby to zdanie brzmiało „Ziemia krąży wokół Księżyca wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”, wówczas byłoby prawdziwe, ponieważ wartości logiczne obu zdań podrzędnych byłyby sobie równe i wynosiłyby 0.


Czy można tworzyć zdania, które będą zawsze prawdziwe? Oczywiście. W następnym podrozdziale dowiemy się, jak to robić, a także jak sprawdzić, czy dane zdanie jest rzeczywiście prawdziwe.


Prawa rachunku zdań

Definicja
DEFINICJA

Prawem rachunku zdań nazywamy zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe np. .

Rzeczywiście zdanie jest zawsze prawdziwe. Mówiąc „Byłem w kinie lub nie byłem w kinie” nie skłamiemy. Prawo rachunku zdań nazywane jest też prawem logicznym lub tautologią. Innym przykładem zdania, zawsze prawdziwego jest zdanie „jeśli nieprawdą jest, że jadłem śniadanie lub nie jadłem obiadu, to nie jadłem śniadania i jadłem obiad”.

Ale jak sprawdzić, czy dane zdanie jest prawdziwe? Możemy do tego wykorzystać metodę „zero-jedynkową”. Zacznijmy od przykładu podanego na samym początku, czyli zdania . Najlepiej utworzyć do tego odpowiednią tabelkę i analizujemy wszystkie możliwości. W przypadku prostego zdania p mamy tylko dwie możliwości, jego wartość logiczna może wynosić albo 1 albo 0; czyli w tabelce pod p wstawiamy 1 i 0 i wyliczamy wartości logiczne poszczególnych zdań, które dodaliśmy do tabelki. Należy zauważyć, że nie można wpisać 1 dla zarówno p i ¬p, gdyż prowadzi to do sprzeczności. Podobnie, pod oba zdania nie można wpisać 0, gdyż i to prowadzi do sprzeczności. Przyjrzyjmy się możliwym przykładom umieszczonym w tabelce:

p ¬p p ∨ ¬p
1 0 1
0 1 1

Zobaczmy kolejny przykład. Udowodnimy, że zdanie jest tautologią. Najpierw w pierwszej (p) i w drugiej kolumnie (q) wypisujemy wszystkie możliwości, których tym razem będzie cztery.

p q (p ⇒ q) (p ⇒ q) ∨ p
1 1 1 1
1 0 0 1
0 1 1 1
0 0 1 1

Ponieważ zdanie jest zawsze prawdziwe (pokazuje nam to ostatnia kolumna, po prawej stronie), możemy wywnioskować, że jest tautologią (czyli prawem rachunku zdań).

Teraz jako ciekawostka metoda dowodu nie wprost, dla tych co nie lubią rysować tabelek. Zaczynamy:

Pierwszym krokiem jest założenie, że zdanie nasze jest fałszem: Załóżmy, że

Z definicji alternatywy wiemy, że jest ona fałszywa gdy oba jej składniki są fałszywe, czyli

.

Stąd widzimy, że nasza implikacja jest zawsze prawdziwa, bo p jest fałszem. Zatem całe zdanie jest prawdziwe. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, czyli nasze zdanie jest tautologią.

Jak widać metoda jest szybka i może oszczędzić dużo czasu przy bardziej skomplikowanych zdaniach. Trzeba pamiętać, że jeśli nie uzyskamy sprzeczności, to otrzymaliśmy przykład kiedy zdanie jest fałszem. Zwłaszcza kiedy mamy kilka przypadków kończymy sprawdzanie pozostałych w momencie gdy w którymś z nich nie otrzymaliśmy sprzeczności.

A jak pokazać, że zdanie „jeśli nieprawdą jest, że jadłem śniadanie lub nie jadłem obiadu, to nie jadłem śniadania i jadłem obiad” jest „politycznie poprawne”, czyli zawsze prawdziwe. Nawet intuicyjnie ciężko jest zrozumieć to zdanie, więc musimy je przerobić na zapis matematyczny. Mamy dwa zdania proste:

p: jadłem śniadanie
q: jadłem obiad.

Zdanie podrzędne „nieprawdą jest, że jadłem śniadanie lub nie jadłem obiadu” zapiszemy jako:

,

a zdanie „nie jadłem śniadania i jadłem obiad” jako:

.

Czyli całe zdanie przybierze postać:

.

Teraz tworzymy tabelę dla tego „logicznego giganta” i sprawdzamy wszystkie możliwości.

p q ¬p ¬q p ∨ ¬q ¬(p ∨ ¬q) ¬p ∧ q ¬(p ∨ ¬q) ⇒ (¬p ∧ q)
1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0 0 1

A teraz metodą poznaną wcześniej, o wiele krócej:

Załóżmy, że Z definicji wiemy, że implikacja jest fałszywa w jednym przypadku: . Zatem nasza implikacja jest fałszywa gdy:

Zajmijmy się lewą stroną implikacji.

Stąd

Alternatywa jest fałszem, gdy obydwa jej składniki są fałszywe, czyli , czyli q jest prawdą. Skoro znamy już p i q. Popatrzmy teraz na prawą stronę implikacji.

Podstawiamy nasze p i q

Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, czyli nasze zdanie jest zawsze prawdziwe.

No dobra, ale jak najłatwiej wypisać wszystkie możliwości, gdy zdanie składa się z wielu zmiennych np. z trzech p, q, r. Zobaczmy najpierw, jakby wyglądał początek takiej tabelki.

p q r ...
1 1 1 ...
1 1 0 ...
1 0 1 ...
1 0 0 ...
0 1 1 ...
0 1 0 ...
0 0 1 ...
0 0 0 ...

Widzimy, że mamy możliwości. Teraz jak je wypisać? Hmm... na samej górze mamy same jedynki, pod kolumną r mamy od góry 1, 0, 1, 0, 1 itp., czyli wartości co chwilę zmieniają, pod kolumną q wartości się zmieniają co dwa, a pod kolumną p co cztery. Czyli już mamy sposób:

  • na samej górze dajemy same jedynki,
  • pod trzecią kolumną (r) zmieniamy wartości co jeden,
  • pod drugą kolumną (q) zmieniamy wartości co dwa,
  • pod pierwszą kolumną (p) zmieniamy wartości co cztery.

Sytuacja dla czterech, pięciu, czy sześciu zmiennych będzie bardzo podobna, tylko gdzieniegdzie będzie trzeba zmieniać wartość co osiem, co szesnaście itp.

Czy zdanie jest tautologią? Sprawdźmy.

p q r ¬p ¬q ¬r p ∧ q ∧ r ¬(p ∧ q ∧ r) ¬p ∨ ¬q ∨ ¬r ¬(p ∧ q ∧ r) ⇔ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r)
1 1 1 0 0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 1 0 1 1 1
1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 1 1 1
0 1 1 1 0 0 0 1 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1

Ponieważ zdanie to ma zawsze wartość logiczną równą 1, więc jest prawem rachunku zdań.

A teraz szybszą metodą bez robienia tabelek. Załóżmy, że

Z definicji równoważności, są dwa przypadki kiedy jest fałszywa. Zatem musimy rozpatrzyć je obydwa. Pierwszy przypadek:

Zajmiemy się

Sprawdzamy

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w tym przypadku zdanie jest prawdą.

Drugi przypadek:

Zajmijmy się:

Sprawdzamy

Zatem sprzeczność z założeniem, więc i w tym przypadku zdanie jest prawdziwe. A skoro w obydwu przypadkach zdanie jest prawdziwe, to jest to tautologia.

Prawa De Morgana[edytuj]

Na koniec przedstawimy prawa De Morgana dotyczące zaprzeczeń zdań złożonych:

  • I prawo De Morgana:
    (Zaprzeczenie alternatywy dwóch zdań jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń tych zdań)
  • II prawo De Morgana:
    (Zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań jest równoważne alternatywie zaprzeczeń tych zdań)

Prawa te są oczywiście tautologiami. W ćwiczeniu 9 zostaniesz poproszony o udowodnienie tych praw.

Jak napisać zdanie „każdy pies ma cztery łapy” lub „są ludzie, którzy nie umieją liczyć”? W następnym podrozdziale dowiemy się, jak pisać zdania takiego typu, czyli zdania odnoszące się do własności pewnego zbioru. Dowiemy się, co oznacza tajemnicze słowo „kwantyfikator”...


Kwantyfikatory

Kwantyfikatory umożliwiają zapisanie długich zdań w krótszej formie. Na przykład zdanie „kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest większy bądź równy 0” możemy zapisać krócej . Podobnie zdanie „sześcian każdej liczby całkowitej dodatniej jest większy od 0”, możemy zapisać (zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez . Zdanie to przeczytamy „dla każdego x należącego do liczb całkowitych dodatnich, sześcian tej liczby jest większy od 0”. Podamy teraz formalną definicję.

Definicja
DEFINICJA

Kwantyfikator ogólny oznaczamy przez , mówi on, że dane stwierdzenie jest prawdziwe dla każdego x. Nazywany jest także kwantyfikatorem dużym lub kwantyfikatorem uniwersalnym.

Powróćmy teraz do pytania przedstawionego w poprzednim podrozdziale: jak zapisać za pomocą symboli matematycznych zdanie „każdy pies ma cztery łapy”? Jeśli zbiór wszystkich psów oznaczymy przez ZP, a liczbę łap psa p oznaczymy przez , wówczas możemy napisać:

.

Zdanie to przeczytamy tak: „dla każdego psa p należącego do zbioru wszystkich psów ZP liczba łap wynosi 4” lub bardziej po polsku „każdy pies ma cztery łapy”.

Czasami dane zdanie nie spełniają wszystkie liczby, lecz zaledwie jedna liczba np. istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi 0. Jest to tylko jedna liczba -- samo 0. Tak więc zdanie „istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi 0” możemy zapisać za pomocą pewnego kwantyfikatora: . Zdanie to przeczytamy „istnieje taka liczba x należąca do liczb rzeczywistych, że kwadrat tej liczby wynosi 0”. Kwantyfikator ten (łatwo zauważyć, że został zapisany jako nazywany jest kwantyfikatorem szczegółowym.

Definicja
DEFINICJA

Kwantyfikator szczegółowy oznaczamy przez , mówi on, że istnieje takie x, dla którego dane stwierdzenie jest prawdziwe. Nazywany jest także kwantyfikatorem małym lub kwantyfikatorem egzystencjalnym.

Innymi przykładami do których można zastosować kwantyfikator szczegółowy mogą być zdania:

  • Istnieje liczba rzeczywista, która jest mniejsza od 10.
  • Istnieje liczba całkowita, dodatnia, która jest podzielna przez 5.
  • Istnieje liczba rzeczywista większa od 0.

A jak można napisać, że „są ludzie, którzy nie umieją liczyć”? Oznaczmy zbiór wszystkich ludzi jako L i zdanie q(l), jako zdanie mówiące, że człowiek l umie liczyć. Teraz możemy napisać:

,

co przeczytamy nie uwzględniając kontekstu: „istnieje taki element l należący do zbioru L, że zdanie q(l), nie jest prawdziwe”. Z kolei patrząc na kontekst możemy przeczytać: „istnieje taki człowiek l należący do zbioru wszystkich ludzi L, że człowiek ten nie umie liczyć” lub krócej „istnieją ludzie, którzy nie umieją liczyć”.

Ciekawostka
Czy wiesz, że...

Dosyć często kwantyfikator ogólny w polskich podręcznikach (w szczególności dla liceum) jest oznaczany przez („dla każdego x...”), a kwantyfikator szczegółowy przez („istnieje takie x, że...”). Jednak te oznaczenia nie są stosowane w większości współczesnych książek. Natomiast używane przez nas oznaczenia kwantyfikatorów są międzynarodowe i pochodzą z języka angielskiego. pochodzi od All (wszystkie), od Exists (istnieje).


Podsumowanie

Zdanie 
W matematyce zdanie jest rozumiane jako wyrażenie, o którym można powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.
Koniunkcja 
Jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „i”. Koniunkcję zdań p i q oznaczamy jako , a będzie ono prawdziwe jedynie wtedy, gdy p i q są prawdziwe.
Alternatywa 
Alternatywa to zdanie połączone spójnikiem „lub”. Alternatywę zdań p i q jest oznaczana przez i jest prawdziwa, gdy któreś ze zdań p i q jest prawdziwe.
Negacja 
Negacja to inaczej zaprzeczenie zdania. Zaprzeczenie zdania p oznaczamy przez , choć można spotkać także zapis , a jest prawdziwe jedynie wtedy, gdy zdanie p jest fałszywe.
Implikacja 
Implikacja jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „jeżeli..., to...”. Implikację zdań p i q oznaczamy . Jest ona fałszywa, gdy zdanie p jest prawdziwe, a q fałszywe.
Równoważność 
Równoważność jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „... wtedy i tylko wtedy, gdy ...”. Równoważność zdań p i q oznaczamy przez . Jest ona prawdziwa, jedynie wtedy, gdy zdanie p i q mają tę samą wartość logiczną.
Tautologia 
Tautologia to inaczej zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe. Aby sprawdzić, czy dane zdanie jest tautologią, należy sprawdzić wszystkie możliwości. Jednymi z praw rachunku zdań są między innymi prawa De Morgana:
  • (I prawo De Morgana)
  • (II prawo De Morgana).


Kwantyfikatory 
Kwantyfikatory umożliwiają zapisanie pewnych zdań w krótszej formie. Do kwantyfikatorów zaliczamy kwantyfikator ogólny, który zapisujemy przez:
,
a który oznacza, że dla każdego x należącego do zbioru X zdanie p(x) jest prawdziwe.
Istnieje także kwantyfikator szczegółowy, który oznaczamy przez:
i który oznacza, że istnieje takie x w zbiorze X, że zdanie p(x) jest prawdziwe.
W Polsce można spotkać także oznaczenie kwantyfikatora ogólnego jako , a jako kwantyfikator szczegółowy.


Zadania z rozwiązaniami

Zadania[edytuj]

Zad.1
Przypisz zdaniom wartość 1 (prawda) lub 0 (fałsz).
a) 15 jest liczbą pierwszą
b) -3 jest liczbą naturalną
c) jest liczbą niewymierną
d) Warszawa jest stolicą Chin
e) jest liczbą całkowitą
f) Sześciokąt foremny ma 10 przekątnych
g) Słońce jest gwiazdą

Zad.2
Podaj zaprzeczenia zdań.
a) 4>3
b) 11=11
c)
d) 8451 jest liczbą podzielną przez 3
e)
f) Warszawa jest stolicą Chin.
g) 7 jest liczbą nieujemną.

Zad.3
Uzupełnij tabelę negacji.

p -
- 1
- -

Zad.4 Które z podanych zdań mają sens logiczny?
a) 2=2
b) Polska jest krajem europejskim.
c) 6 jest małą liczbą.
d) 11-2
e) 11-2=9
f) Każdy równoległobok jest prostokątem.
g) 13 to pechowa liczba.
h) -1>-2

Zad.5
Oceń wartość logiczną zdań.
a) 15 jest liczbą pierwszą i Ziemia jest planetą.
b) Kwadrat jest prostokątem i suma dwóch pierwszych liczb pierwszych to 3.
c) jest liczbą pierwszą i 5 jest liczbą nieujemną.


Rozwiązania
Zad.1
a - 0
b - 0
c - 1
d - 0
e - 1
f - 0
g - 1

Zad.2
a -
b - 1111
c -
d - 8451 nie jest liczbą podzielną przez 3
e -
f - Warszawa nie jest stolicą Chin.
g - 7 jest liczbą ujemną (lub: 7 nie jest liczbą nieujemną).

Zad.3

p ¬ p
0 1
1 0

Zad.4
Zdania: a,b,e,f,h są zdaniami o sensie logicznym. Zdania: c,d,g nie mają sensu logicznego.

Zad.5
W każdym z trzech zdań znajduje się spójnik i. Zauważmy, że spójnik i występuje w koniunkcji, więc bazujemy na tabeli koniunkcji zdań.
a) p - 15 jest liczbą pierwszą, q - Ziemia jest planetą. Zdanie p jest fałszem, zaś zdanie q jest prawdą, czyli p - 0 q - 1. Teraz odczytujemy z tabeli wartości i już wiemy, że zdanie '15 jest liczbą złożoną i Ziemia jest planetą' jest fałszywe.
b) p - Kwadrat jest prostokątem, q - Suma dwóch pierwszych liczb pierwszych to 3. p - 1 q - 0. Zdanie: 'Kwadrat jest prostokątem i suma dwóch pierwszych liczb pierwszych to 3' jest fałszywe.
c) p - jest liczbą pierwszą, q - 5 jest liczbą nieujemną. p - 1 q - 1. Zdanie: jest liczbą pierwszą i 5 jest liczbą nieujemną jest prawdziwe.


Ćwiczenia

Rozgrzewka[edytuj]

1. Podaj trzy przykłady zdań, których wartość logiczna wynosi 0 i trzy zdania, których wartość logiczna wynosi 1.

2. Dane są zdania:

p: Pada deszcz
q:Janek gra na gitarze
r: Mama Janka ogląda polskie seriale
s: Ojciec Janka czyta gazetę
Zapisz zdania:
a) s=>p
b) r=>q
c) p=>r
d) q=>p


3. Które z poniższych wyrażeń jest zdaniem logicznym?

a) Jestem w sklepie. d) Krowa pije wodę.
b) Stać na rękach. e) Nie palić!
c) Jak długo szedłeś do sklepu? f) W Polsce nie ma żółwi.

4. Jak myślisz, czy poprawny jest zapis:

  • ,
  • ,
  • ?

5. Wypisz wszystkie szesnaście możliwości przypisania wartości logicznych zdaniom p, q, r, s.

Podstawy[edytuj]

6. Oceń wartość logiczną zdań:

a) W sklepie spożywczym można kupić chleb. d) Liczba 6 jest dzielnikiem liczby 24.
b) lub . e) Dzielenie przez zero jest niewykonalne i zero nie jest równe zeru.
c) wtedy i tylko wtedy, gdy . f) Jeśli 10 jest liczbą dodatnią, to 5 jest liczbą ujemną.

7. Dane są zdania:

p: w logice 1 oznacza fałsz
q: liczba 25 dzieli się przez 5

Oceń wartość logiczną:

a) b) c) d)

8. Oceń wartość logiczną:

a) d)
b) e)
c) f)

9. Udowodnij I prawo De Morgana i II prawo De Morgana.

10. Pokaż, że zdanie ma taką samą wartość logiczną, co zdanie dla dowolnych wartości logicznych zdań p i q.

11. Sprawdź, czy poniższe zdania są tautologiami:

a) d)
b) e)
c) f)

12. Jurek powiedział takie mądre zdania:

„jeśli mam kanapkę lub ty ją masz, to ja mam kanapkę i ty masz lub ja nie mam kanapki, a ty ją masz”.

Kiedy Jurek skłamie?

13. Które zdanie jest prawdziwe, które fałszywe, a które nie jest zdaniem.

a) d)
b) e)
c) f)



Liczby i ich zbiory

Liczby i ich zbiory

Pojęcie zbioru[edytuj]

W poprzednim rozdziale tłumaczyliśmy czym jest zbiór, a także zapoznaliśmy się z kilkoma oznaczeniami dotyczącymi zbioru takimi jak zawieranie czy moc. Dla przypomnienia spójrzmy na kilka przykładów. Przykładami zbiorów może być:

  • zbiór książek,
  • zbiór ciasteczek,
  • zbiór możliwych do otrzymania ocen.

Załóżmy, że zbiór książek, który oznaczymy przez , składa się z czterech książek o tytułach:

„W pustyni i w puszczy”,
„Matematyka dla liceum”,
„C++ w 24 godziny”,
„Angielski w 2 minuty”.

Liczba elementów, czyli inaczej moc zbioru, wynosi . Jeśli książkę „Angielski w 2 minuty” oznaczymy przez a, wówczas możemy napisać , ponieważ książka ta należy do naszego zbioru książek K. Jednak jeśli książkę o tytule „Język niemiecki” oznaczymy przez j, wówczas zapiszemy , ponieważ nie posiadamy tej książki.

Za chwilę zobaczymy, czym jest zawieranie i równość zbioru, a także czym się one od siebie różnią. A trochę później powiemy, jak można definiować zbiory.

Zawieranie i równość zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór A zawiera się w zbiorze B, kiedy każdy element należący do zbioru A należy także do zbioru B. Piszemy to w ten sposób: lub . Zawieranie zbiorów nazywane jest także inkluzją. Zapis ten możemy czytać w różny sposób:

  • „Zbiór A zawiera się w zbiorze B”
  • „Zbiór A jest podzbiorem zbioru B”
  • „Zbiór B zawiera zbiór A”

Przykład.

Oznaczmy jako zbiór wszystkich dodatnich dzielników liczby 8, a także B jako zbiór wszystkich liczb naturalnych dodatnich mniejszych od 10. Wówczas:

Ponieważ wszystkie elementy w powtarzają się także w , więc zbiór . Kiedy mówimy, że jeden zbiór zawiera się w drugim, mamy na myśli to, że jest on po prostu podzbiorem tego zbioru. W przykładzie zbiór jest podzbiorem . Odwrotna relacja nie zachodzi, ponieważ nie wszystkie elementy w znajdują się także w np. . Gdyby taka relacja zachodziła, wynikałaby wtedy równość tych zbiorów, , co zaraz zobaczymy w kolejnej definicji.

Definicja
DEFINICJA

Dwa zbiory A i Brówne, jeśli każdy element należący do zbioru A należy do zbioru B (czyli ), a także każdy element w B należy do zbioru A (czyli ). Tak więc:

Przykład.

Jeśli i , to zbiory te są równe. Jak weźmiemy dowolny element w A, znajdziemy go także w B - . Podobnie jeśli weźmiemy dowolny element z B znajdziemy go także w A - . Wynika z tego, że zbiory te muszą być równe.

Definiowanie zbiorów[edytuj]

Zbiory możemy definiować wymieniając wszystkie elementy danego zbioru lub podając własność, która charakteryzuje dany zbiór. Własność możemy podać słownie lub używając specjalnego zapisu, który zaraz zobaczymy.

Przykład.

Niech A oznacza zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8, wówczas możemy go opisać:

  • słownie:
    zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8.
  • wypisując wszystkie elementy:
    ,
  • używając zapisu:

Zapis czytamy: „zbiór A jest zbiorem wszystkich elementów a takich, że a należy do liczb całkowitych i a>0 i a<8. Podobnie zapis możemy przeczytać „zbiór X jest zbiorem wszystkich elementów x takich, że x należy do liczb rzeczywistych i x należy do zbioru A”.

Jeśli mamy na myśli zbiór liczb rzeczywistych, często możemy skrócić nasz zapis. Na przykład możemy zapisać jako i obydwa będą oznaczały to samo.

Przykład.

Oznaczmy jako zbiór dodatnich dzielników 15. Wypiszmy z tego zbioru wszystkie elementy parzyste, tworząc z nich zbiór X.

Ponieważ , więc nie znajdziemy w nim żadnego elementu parzystego, w związku z tym zbiór X jest zbiorem pustym:
.


Działania na zbiorach

Suma zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B, matematycznie zapisujemy ją tak: .

Sumę zbiorów A i B ilustruje poniższy diagram Venna:

Set union.png


Przykład.

Jeżeli i , to . Pomimo tego, że 1 występuje w obydwu zbiorach, w sumie tych zbiorów występuje tylko jeden raz.

Iloczyn zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Iloczynem/Częścią wspólną zbioru A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B, formalnie zapisujemy ją tak: . Iloczyn zbiorów nazywany jest także częścią wspólną zbiorów lub przekrojem zbiorów.

Set intersection.png


Przykład.

Jeśli i , to . Liczba 1 jest jedynym wspólnym elementem tych zbiorów.

Różnica zbiorów[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A, a które nie należą do zbioru B, możemy ją zapisać tak: . Różnica zbiorów A i B zapisywana jest też .

Set difference2.svg


Jeśli i , to . Jedynym wspólnym elementem obydwu zbiorów jest liczba 1, więc otrzymany zbiór będzie bardzo podobny do zbioru A, lecz nie posiadający liczby 1.

Dopełnienie zbioru[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni U nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni U, które nie należą do zbioru A. Dopełnienie zbioru A oznaczamy jako lub . Dopełnienie możemy zapisać tak: .

Z definicji dopełniania wynika także, że jest to po prostu różnica przestrzeni U i zbioru A: . Zbiór U zwany jest zbiorem uniwersum. Czasami zamiast U używa się innego oznaczenia przestrzeni np. X.

Absolute complement.svg


Przykład.

Jeśli , a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór .

Przykład.

Jeśli , a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczby całkowitych dodatnich jednocyfrowych, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór , ponieważ:

Własności działań na zbiorach i prawa De Morgana[edytuj]

Prawa przedstawione wyżej mają pewne własności, które zaraz przedstawimy. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą prawa:

  • -- I prawo De Morgana
  • -- II prawo De Morgana
  • -- przemienność dodawania zbiorów
  • -- przemienność mnożenia zbiorów
  • -- łączność dodawania zbiorów
  • -- łączność mnożenia zbiorów
  • -- rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia
  • -- rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania


Przykład.

Mamy zbiór , , . Obliczyć :

(W rozwiązaniu celowo wykorzystano własności działań na zbiorach. Gdyby ich nie użyto rozwiązanie byłoby odrobinę krótsze.)


Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

Zbiór liczb naturalnych[edytuj]

Liczb naturalnych używamy do określenia ile jest osób w jakimś miejscu, do ustalania kolejności, ile sztuk czegoś mamy itp. Mówiąc o liczbach naturalnych mamy na myśli liczby należące do zbioru . Jednym z podzbiorów liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych dodatnich, które oznaczamy .

Definicja
DEFINICJA

Zbiorem liczb naturalnych nazywamy zbiór .

Podzbiorami liczb naturalnych jest zbiór liczb pierwszych i zbiór liczb złożonych.

Definicja
DEFINICJA

Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która posiada dokładnie dwa dodatnie dzielniki -- 1 oraz samą siebie.

Liczbę złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą.

Zbiór wszystkich liczb pierwszych czasami jest oznaczany przez , a i-ta liczba pierwsza przez np. .

Zbiór liczb całkowitych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiorem liczb całkowitych nazywamy zbiór .

Ponadto w zbiorze liczb całkowitych możemy wyróżnić dwa podzbiory -- zbiór liczb całkowitych dodatnich i zbiór liczb całkowitych ujemnych. Zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez , natomiast zbiór liczb całkowitych ujemnych przez . Łatwo zauważyć, że .

W polskiej literaturze czasami można się spotkać z oznaczeniem zbioru liczb całkowitych poprzez (jednak nie jest on znanym, międzynarodowym oznaczeniem, dlatego też nie będziemy korzystać z niego w tej książce).

Zbiór liczb wymiernych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których każdą liczbę można zapisać w postaci ułamka zwykłego , gdzie i .

Podobnie jak to było w zbiorze liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych dodatnich oznaczamy przez , a ujemnych przez .

W niektórych polskich książkach zbiór liczb wymiernych jest oznaczany przez .

Zbiór liczb niewymiernych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne tzn. tych, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego , dla i

Zbiór liczb niewymiernych nie ma własnego oznaczenia, zapisuje się go jako różnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych: . Mimo wszystko niekiedy spotyka się polskie oznaczenie .

Przykładem liczby niewymiernej może być liczba , czy też .

Zbiór liczb rzeczywistych[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych.

Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez , a ujemnych przez .

Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możemy zaobserwować poniższe związki:

Set of real numbers (diagram).svg

Rozwinięcie dziesiętne[edytuj]

Rozwinięcie dziesiętne części liczb rzeczywistych może być skończone np. Jednak nie wszystkie liczby cechuje ta własność.

Przyjrzyjmy się bliżej liczbie . Na pewno pamiętamy, że . Aby otrzymać rozwinięcie dziesiętne danej liczby, po prostu wykonujemy zwyczajne dzielenie. Ale jak przejść z rozwinięcia dziesiętnego na postać ułamka? Zobaczmy:

, ponieważ

Otrzymaliśmy oczekiwany wynik.

Innym przykładem, trochę trudniejszym jest . Wprawni weterani mogą się domyślać, że będzie ona równa . Zobaczmy na rozwiązanie:

, ponieważ

Szukaną liczbą jest .

A teraz ciekawostka. Pokażemy, że . Oto rozwiązanie:

, ponieważ

Jeżeli:

to:

Skoro , to:

Teraz rozwiążemy trudniejszy przykład: .

Jeżeli:

to:

Liczbę możemy zapisać także w formie Podobnie możemy zapisać jako a także W takiej formie możemy zapisać dowolną liczbę o rozwinięciu dziesiętnym okresowym.

Nie wszystkie liczby rzeczywiste można zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego, czy też nawet rozwinięcia nieskończonego okresowego. W takiej formie można zapisać wszystkie liczby wymierne, natomiast nie możemy zapisać w ten sposób rozwinięcia liczby niewymiernej. Przykładem liczby niewymiernej może być liczba Eulera a także liczba Jak widać, nie są one liczbami okresowymi.



Oś liczbowa[edytuj]

Definicja
DEFINICJA

Oś liczbowa jest to prosta, na której wyróżniono kierunek, punkt zerowy oraz jednostkę.

Przypomnijmy sobie, jak wygląda oś liczbowa:

Real number line.svg

Możemy przyporządkować każdej liczbie rzeczywistej dokładnie jeden punkt na osi liczbowej czyli np. 1, -1000, . Taką liczbę nazywamy współrzędną. Na powyższym rysunku zostały wyróżnione punkty o współrzędnych całkowitych, a także położenie trzech często spotykanych liczb niewymiernych.


Przedziały liczbowe

Spójrzmy na kilka przykładów, które za chwile omówimy:

  • Przykład 1. - przedział domknięty
  • Przykład 2. - przedział otwarty
  • Przykład 3. - przedział lewostronnie otwarty
  • Przykład 4. - przedział nieograniczony
  • Przykład 5.

Przedział domknięty[edytuj]

W podręczniku używany jest zapis oznaczający przedział domknięty, jednak może on być znany czytelnikowi również pod postacią: . Będziemy jednak używać pierwszego sposobu, gdyż drugi jest często używany do oznaczania pary liczb.

  • Przykład 1. Pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy , będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych od -50 do -20, łącznie z -50 i -20. Podobnie pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od a do b, łącznie z a i b (oczywiście a i b są liczbami rzeczywistymi). Definicja będzie wyglądała tak:
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem domkniętym o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek .

Przedział liczbowy zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

Przedział ((-4;7)).png

Zwróćmy uwagę, że krańce przedziałów oznaczyliśmy kółkami zamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i 7 należą do tego przedziału.

Przedział otwarty[edytuj]

  • Przykład 2. Za pomocą oznaczamy wszystkie liczby rzeczywiste większe od -4 i mniejsze od 7, podobnie w przedziale znajdują się wszystkie liczby, które są większe od a i mniejsze od b. Przedział otwarty różni się od przedziału domkniętego tym, że nie zawiera on liczb a i b.
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem otwartym o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek .

Przedział otwarty na osi zaznaczymy w ten sposób:

Przedział (-4;7).png

Krańce przedziałów oznaczone zostały kółkami niezamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i liczba 7 nie należy do tego przedziału. Dodatkowo można narysować linie pod pewnym kątem, podobnie jak to zrobiliśmy na rysunku.

Przedział lewostronnie otwarty[edytuj]

  • Przykład 3. oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4, ale mniejszych bądź równych 7. Możemy zdefiniować przedział lewostronnie otwarty dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b dla a<b w ten sposób:
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym (prawostronnie domkniętym) o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek .


Przedział na osi liczbowej zaznaczymy tak:

Przedział (-4;7)).png

Analogicznie możemy zdefiniować przedział prawostronnie otwarty:

Definicja
DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym (lewostronnie domkniętym) o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek .

Przedziały nieograniczone[edytuj]

Do oznaczania przedziałów nieograniczonych wykorzystujemy symbol nieskończoności -- .

  • Przykład 4. Przez oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4 (łatwo zauważyć, że wszystkie liczby są mniejsze od . Podobnie wszystkie liczby rzeczywiste większe bądź równe -4 będziemy oznaczać przez .
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych od a. Podobnie przedziałem lewostronnie domkniętym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych bądź równych a.

Przedział możemy zaznaczyć na osi liczbowej w ten sposób:

Przedział ((-4;+oo).png

  • Przykład 5. oznacza przedział wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych bądź równych 5. Analogicznie przez będziemy oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych od 5.
Definicja
DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych od a. Podobnie przedziałem prawostronnie domkniętym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych bądź równych a.

Przedział analogicznie, jak to robiliśmy w poprzednich przykładach, zaznaczymy na osi liczbowej tak:

Przedział (-oo;5).png

Działania na przedziałach[edytuj]

Ponieważ przedział jest zbiorem, więc możemy wyznaczać między innymi sumę, iloczyn czy też różnicę przedziałów.


  • Przykład 6

Wyznaczmy , , , , i , gdzie , a

Zaznaczmy najpierw oba przedziały na osi liczbowej:

Przedział A=((-2;3) i B=(1;4).png

Z rysunku widzimy, że:


Wartość bezwzględna liczby

Definicja
DEFINICJA

Wartość bezwzględna liczby jest określona wzorem:
.

Wartość bezwzględna liczby nazywana jest także czasami modułem lub wartością absolutną liczby.

Zobaczmy kilka przykładów:

Bezwzględna wartość to odległość liczby od zera.

Własności[edytuj]

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzą poniższe własności:

Interpretacja geometryczna[edytuj]

Wartość bezwzględną liczby można interpretować jako odległość współrzędnej tego punktu od punktu zerowego:

Wartość bezwzględna jako odległość.png

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną[edytuj]

Przy rozwiązywaniu równania można wykorzystać własność:


Przykład 1. W przypadku równań z jedną wartością bezwzględną można posłużyć się tylko definicją, np.:

Przykład 2. Jeżeli wartości bezwzględnych jest więcej, równanie liczy się inną metodą. Oto przykładowe równanie:

Tutaj również należy posłużyć się definicją. Pierwsze wyrażenie objęte wartością bezwzględną jest ujemne w przedziale i dodatnie w przedziale . Natomiast drugie wyrażenie jest ujemne w przedziale i dodatnie w przedziale . Dostajemy więc trzy przedziały, które należy rozpatrzeć (jeśli tego nie widzimy od razu, warto rozrysować sobie cztery wcześniejsze zbiory na osi liczbowej i zobaczyć, jaką pozycję względem siebie zajmują):

  1. gdzie oba wyrażenia są ujemne
  2. gdzie pierwsze jest nieujemne a drugie ujemne
  3. gdzie oba wyrażenia są nieujemne

Wykres math.svg

W przypadku pierwszej wartości bezwzględnej, jeżeli trzeba będzie zmienić w niej znaki występujące przy liczbach, gdyż musi ona być dodatnia. Tą metodą tworzy się przedziały. I teraz należy obliczyć równanie do każdego z przedziałów.


W tym przypadku zmienią się znaki dla każdej wartości bezwzględnej:

Liczba ta nie należy do przedziału, więc w przedziale równanie nie ma rozwiązań.


Tożsamość. Oznacza to, że w przedziale każda liczba spełnia równanie.


Liczba należy do przedziału, czyli x=2 jest rozwiązaniem równania.


Podsumowując wcześniejsze obliczenia otrzymujemy wniosek, iż:

Przykład 3.


Najprostszą metodą wyznaczania przedziałów jest wyobrażenie sobie liczb pod modułem jako miejsc zerowych funkcji liniowych.


W ten sposób wyznaczone zostały przedziały, więc teraz wystarczy już tylko wykonać obliczenia.

W tym przedziale nie ma rozwiązań.


Sprzeczność. W tym przedziale także nie ma rozwiązań.