Matematyka dla liceum/Wielomiany

Z Wikibooks, biblioteki wolnych podręczników.
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wiadomości wstępne

Jednomian[edytuj]

Zacznijmy od czegoś prostego, czyli od zdefiniowania czym są jednomiany.

Definicja
DEFINICJA

Jednomian to iloczyn czynników, w którym każdy czynnik jest liczbą lub pewną zmienną.

Jednomianem może być:

Wielomiany[edytuj]

Już znamy pojęcie jednomianu. Teraz kilka jednomianów możemy do siebie dodać np. do jednomianu możemy dodać otrzymując . Innym przykładem sumy jednomianów może być:

  • ,
  • ,
  • ,

a takie coś nazywamy wielomianami.

Definicja
DEFINICJA

Wielomian to suma jednomianów .

Wielomiany możemy podzielić ze względu na liczbę zmiennych np. będzie wielomianem czterech zmiennych a, b, c i d. Wielomian będzie wielomianem dwóch zmiennych x i y, a wielomian będzie wielomianem jednej zmiennej x. W tym podręczniku mówiąc o wielomianach, będziemy mieli najczęściej na myśli właśnie wielomiany jednej zmiennej.

Wielomiany jednej zmiennej[edytuj]

Zauważmy, że wielomiany jednej zmiennej są pewną funkcją, dlatego też dany wielomian będziemy najczęściej zapisywać jako , , np.:

  • ,
  • ,
  • .

Przyjmujemy, że dziedziną wielomianu jednej zmiennej jest zbiór liczb rzeczywistych.

Spójrzmy teraz na poniższą, pełną definicję wielomianu jednej zmiennej.

Definicja
DEFINICJA

Funkcja W określona wzorem , gdzie nazywana jest wielomianem jednej zmiennej stopnia n.

Liczby , , , ..., nazywane są współczynnikami wielomianu. W wielomianie współczynnikami będą , , i .

A ile wynosi współczynnik przy 23 potędze w wielomianie ? Odpowiedź wydaje się prosta, , ponieważ .

W powyższej definicji został wprowadzony stopień wielomianu. Stopień wielomianu to największe takie n, że np. jest wielomianem 6. stopnia, ale wielomian jest wielomianem pierwszego stopnia, ponieważ i każde .

Zauważmy, że funkcja stała jest wielomianem zerowego stopnia. Funkcja liniowa jest wielomianem pierwszego stopnia, a funkcja kwadratowa jest wielomianem drugiego stopnia.

Uporządkowanie wielomianu[edytuj]

Wielomiany mogą być uporządkowane rosnąco lub malejąco, według rosnących lub malejących wykładników potęg.

Wielomianami uporządkowanymi malejąco będą:

  • ,
  • ,
  • .

Natomiast wielomianami uporządkowanymi rosnąco będą:

Równość wielomianów[edytuj]

Wielomiany są funkcją, gdzie zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, zatem dwa wielomiany P i Q będą sobie równe, jeśli dla wszystkich zachodzi , a z tego z kolei wynika poniższe twierdzenie, które przedstawimy bez dowodu:

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach są sobie równe oraz mają te same dziedziny.

Na przykład wielomiany oraz są równe, ale oraz nie są równe. Podobnie wielomian jest równy wielomianowi , ale nie jest równy wielomianowi . Pamiętajmy, że dziedzina funkcji też ma znaczenie: wielomian nie jest równy wielomianowi .

Wielomiany możemy do siebie dodawać i odejmować. W następnym podrozdziale dowiemy się, jak to robić.


Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Wielomiany możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić.

Dodawanie wielomianów[edytuj]

Aby dodać wielomian musimy dodać wyrazy podobne oraz uporządkować je.


Dodawanie wielomianów jest przemienne oraz łączne:

- przemienność

- łączność

Odejmowanie wielomianów[edytuj]

Odejmowanie wielomianów jest podobne do dodawania. Od współczynników pierwszego wielomianu musimy odjąć współczynniki drugiego:


Odejmowanie wielomianów podobnie jak zwykłe odejmowanie nie jest przemienne ani łączne:

Ćwiczenia[edytuj]

1) Dodaj wielomiany

  • oraz
  • oraz

2) Odejmij wielomiany

  • oraz
  • oraz

3) Podaj wzór wielomianu Q(x) jeśli:

  • W(x)+Q(x)=P(x)
  • W(x)-Q(x)=P(x)


Mnożenie wielomianów

Mnożenie wielomianów polega na wymnożeniu przez siebie wyrazów obu wielomianów:

Mnożymy każdy wyraz pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego:

Redukujemy wyrazy podobne i porządkujemy otrzymany wielomian:


Dzielenie wielomianów

Wykonamy dzielenie wielomianu (x³-2x²-2x-3) przez (x-3) za pomocą metody podobnej do pisemnego dzielenia liczb.

Przykład Opis
(x³-2x²-2x-3):(x-3)=x²+x+1

-x³+3x²
-------------
     x²-2x-3
    -x²+3x
    ---------
         x-3
        -x+3
        -----
         = =
1. x³:x=x²
2. x²·x=x³ - przepisujemy ze zmienionym znakiem
3. x²·(-3)=(-3x²) - przepisujemy ze zmien. znakiem
4. -2x²+3x²=x²
5. -2x i -3 przepisujemy
6. x²:x=x
7. x·x=x² - przepisujemy ze zmienionym znakiem
8. x·(-3)=(-3x) - przepisujemy ze zmien. znakiem
9. -2x+3x=x
10. -3 przepisujemy
11. x:x=1
12. 1·x=x - przepisujemy ze zmienionym znakiem
13. 1·(-3)=(-3) - przepisujemy ze zmien. znakiem
14. -x+x=0; -3+3=0; = =

Wynik:

(x³-2x²-2x-3) = (x-3)*(x²+x+1)

Dodatek:

(x³ -2x²..):(..)=..

-x³ +3x²
-------
    ^^(-2x²+3x²)=x²


(dzielna):(dzielnik)=wynik

Schemat, jak wykonać dzielenie (uwaga: jednomian to np. -2x² lub np. 7)

  1. Nad kreską: dzielimy pierwszy jednomian z dzielnej przez pierwszy z dzielnika i wpisujemy w wynik, następnie wynik mnożymy po kolei przez jednomiany z dzielnika i zapisujemy ze zmienionym znakiem poniżej (nad kreską).
  2. Dodajemy do siebie oba wielomiany nad kreską, jak w ramce "dodatek", zapisując wynik pod kreską; pod kreską uzyskujemy nową dzielną.
  3. Nad kolejnymi kreskami: bierzemy pierwszy jednomian z nowej dzielnej (spod kreski) i znowu dzielimy przez pierwszy z dzielnika, dopisując do wyniku, po czym mnożymy wynik przez... tak jak w punkcie 1. i 2. dopóki w dzielnej jest niewiadoma x.
  • W razie gdyby na końcu została jakaś reszta (tzn. dzielna bez x), zapisujemy w wyniku: (iloraz)(dzielnik)+(reszta)
  • Ważne: zawsze bierzemy jednomian ze znakiem, nie można pomylić i zamiast np. -x³ wziąć x³ bez minusa!

Zamiast dzielenia możemy zastosować o wiele prostszy schemat Hornera.


Rozkład wielomianów stopnia trzeciego na czynniki

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias[edytuj]

Przykład:

Niech:

Zatem: 1-x3=x2-x

Grupowanie wyrazów[edytuj]

Przykład:

^3-15x^2+23x-<mat h>=(x-4)(2x^2+1)</math> 10=(x^3- 4)(2x^2+1)</math> 5x^2)+(12x- -4)(2x^2+1)</math> 10)=x^2</math>'(x - 5) '+2(x - 5)

<mat h>Q( x)=22x^3-28x^2+x-4=

Zastosowanie twierdzenia Bézouta[edytuj]

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x – p.


To twierdzenie nosi nazwę Twierdzenia Bézouta. Dla dowodu załóżmy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu . Na mocy twierdzenia o dzieleniu z resztą mamy , gdzie jest pewną stałą, a - wielomianem. Podstawiając dostajemy , zatem wielomian jest podzielny przez dwumian . Odwrotnie, niech , gdzie jest pewnym wielomianem. Wówczas , co kończy dowód.


Na podstawie tego twierdzenia można powiedzieć, że jeżeli wielomian jednej zmiennej posiada pierwiastek, to rozkłada się na czynniki.

Przykład:

Pierwiastkiem tego wielomianu jest x = (-4), ponieważ:

Wielomian W(x), na podstawie twierdzenia Bezouta, jest podzielny przez dwumian Q(x) = x + 4

Wykonujemy dzielenie W(x) : Q(x).

Otrzymujemy

Niech: . Dokonujemy rozkładu P(x).

Ostatecznie


Równania wielomianowe

Na początek definicja.

Definicja
DEFINICJA

Równanie wielomianowe to równanie otrzymane poprzez przyrównanie danego wielomianu do zera.

Zobaczmy na przykłady:

Rozwiązywanie równania wielomianowego polega na znalezieniu wszystkich , dla których wielomian jest równy zero. Niestety problem ten z reguły nie jest łatwy, jednak w standardowych zadaniach trzeba będzie z reguły skorzystać:

  • ze wzorów skróconego mnożenia
  • z dzielenia wielomianów i twierdzenia Bézout'a
  • z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych
  • metody podstawiania (tzn. sprawdzamy, czy dla danego x zachodzi W(x) = 0)
Twierdzenie
Twierdzenie Bézout

Liczba a jest miejscem zerowym wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a).

Twierdzenie
TWIERDZENIE

Jeśli jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu , to dzieli i dzieli .

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia[edytuj]

Wyciągamy x przed nawias

Zauważmy, że wyrażenie można zapisać korzystając ze wzoru , czyli:


Teraz przyrównujemy:



Rozwiązaniem równania są liczby 0 i 3.


Wiadomości wstępne

Nierównością wielomianową nazywamy nierówność postaci: W(x)<G(x), W(x)>G(x), W(x)<=G(x) lub W(x)>=G(x), gdzie W(x) i G(x) są wielomianami tej samej zmiennej.

Przykłady[edytuj]

, której rozwiązaniem jest zbiór liczb rzeczywistych. , której rozwiązaniem jest zbiór (-2, 2). , której rozwiązaniem jest zbiór pusty.

Sposób rozwiązywania[edytuj]

Aby rozwiązać nierówność wielomianową, należy wykonać następujące kroki:

  • Przenosimy wszystkie liczby i niewiadome na lewą stronę, tak aby, prawa strona była równa zeru.
  • Za pomocą znanych już nam sposobów (grupowanie, wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia, obliczenie miejsc zerowych funkcji kwadratowej) rozkładamy wielomian po lewej stronie na iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.
  • Następnie, dla każdego z wielomianów po rozkładzie znajdujemy przedział, w którym jest dodatni, miejsce zerowe i przedział, w którym jest ujemny.
  • Budujemy tabelkę znaków wielomianu w poszczególnych przedziałach.
  • Zapisujemy przedziały, w których wielomian jest dodatni, ujemny bądź równy zeru.
  • Formułujemy odpowiedź.


Przykładowo, rozwiążmy nierówność:

  • Możemy ją przekształcić do postaci: i metodą grupowania rozłożyć lewą stronę w następujący sposób:
  • Pierwsze wyrażenie () nie ma miejsc zerowych, a więc nie da się go rozłożyć na wyrażenia stopnia pierwszego (gdyż ).
  • drugiego wyrażenia wynosi 16 (), a jego miejscami zerowymi są liczby i . Wyrażenie to ma więc postać:

A cała nierówność ma postać:

Możemy więc zbudować tabelę znaków wielomianu i jego czynników:

  cała lewa strona nierówności
+ - - +
+ 0 - 0
+ + - -
+ + 0 0
+ + + +

Widzimy, że nierówność zachodzi (lewa strona jest dodatnia) gdy Matematyka dla liceum/Wielomiany/Równości i nierówności wielomianowe z wartością bezwzględną Matematyka dla liceum/Wielomiany/Równości i nierówności wielomianowe z parametrem Matematyka dla liceum/Wielomiany/Podsumowanie Matematyka dla liceum/Wielomiany/Zadania z rozwiązaniami

Ćwiczenia

1) Uporządkuj malejąco wielomiany:

2) Uporządkuj rosnąco wielomiany:

3) Czy poniższe wielomiany są równe:

  • oraz
  • oraz
  • oraz

4) Dla jakich wartości parametru a i b poniższe wielomiany są równe:

  • oraz
  • oraz